ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন – একটি উদাহরণ

তোমরা দেখেছো যে ষ্টেশনারি স্টেটগুলোকে মিশিয়ে আমরা ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর জেনারেল সমাধান লিখতে পারি। মনে কর ইনফাইনাইট ওয়েলে অবস্থিত কোন কণার প্রারম্ভিক (t=0) ওয়েভ ফাংশন ওই ওয়েলের m ও n তম লেভেলের স্থানু বা ষ্টেশনারি স্টেটের সংমিশ্রণ। অর্থাৎ,

\displaystylePsi(x, 0) = A\left[Psi_n(x) + Psi_m(x)\right] ———– (1)

যেখানে A হল নর্মালাইজেশন ধ্রুবক। আমাদের আজকের আলোচনার বিষয়বস্তু হল উপরোক্ত প্রারম্ভিক ওয়েভ ফাংশন সময়ের সাথে কিভাবে পরিবর্তিত হয় সেটা দেখা এবং তার থেকে কণাটির অবস্থান (x), রৈখিক ভরবেগ (p) ও শক্তির গড় মান বা এক্সপেকটেশন মান নির্ণয় করা। চল প্রথমে নর্মালাইজেশনের শর্ত ব্যবহার করে A এর মান বের করা যাক।

\displaystyle\int Psi(x, 0)^* Psi(x,0) mathrm{d}x = 1

\displaystyle A^2 \int\left[ Psi_n(x)^*Psi_n(x) + Psi_n(x)^*Psi_m(x) + Psi_m(x)^*Psi_n(x) + Psi_m(x)^*Psi_m(x)\right] mathrm{d}x= 1  —– (2)

যেহেতু স্থানু স্টেটগুলি পরষ্পরের সাথে অর্থোনর্মাল তাই \displaystyle\int Psi_n(x)^*Psi_m(x)mathrm{d}x = delta_{mn}। সুতরাং, (2)  নং সমীকরণ থেকে আমরা পাই

A^2 ( 1+0+0+1) = 1

বা, A = \frac{1}{sqrt{2}}। এবারে আমরা চটপট (1) নং সমীকরণে প্রদত্ত প্রারম্ভিক শর্ত থেকে সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন লিখে ফেলতে পারি।

Psi(x, t) = \frac{1}{sqrt{2}}\left(Psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar} + Psi_m(x)e^{-iE_mt/\hbar}\right)  ——- (3)

আমাদের পরবর্তি কর্তব্য হচ্ছে (3) নং সমীকরণ ব্যবহার করে কণাটির অবস্থানের গড় মান বের করা। তোমরা আগেই দেখেছো যে,

\displaystyle \langle x \rangle = \int Psi(x,t)^*xPsi(x,t)mathrm{d}x

\displaystyle = \frac{1}{2}\int \left[ Psi_n(x)^*xPsi_n(x)+ Psi_n(x)^*xPsi_m(x)e^{i(E_n-E_m)t/\hbar} + Psi_m(x)^*xPsi_n(x)e^{i(E_m-E_n)t/\hbar} + Psi_m(x)^*xPsi_m(x)\right] mathrm{d}x

উপরোক্ত সমীকরণে প্রথম ও শেষ ইন্টিগ্রাল দুটি সহজ। এটা সহজেই করে দেখা যেতে পারে যে ইনফাইনাইট ওয়েলের ক্ষেত্রে \displaystyle \int Psi_n(x)^*xPsi_n(x) mathrm{d}x = L/2। মাঝের দুটি ইন্টিগ্রেশন অপেক্ষাকৃত কঠিন।

\displaystyle \int Psi_n(x)^*xPsi_m(x)mathrm{d}x = \frac{2}{L}\int_0^L x.mathrm{sin}(npi x/L)mathrm{sin}(mpi x/L)mathrm{d}x

ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করে,

\displaystyle = \frac{1}{L}\int_0^L x\left[mathrm{cos}\left(\frac{m-n}{L}pi x \right)-mathrm{cos}\left(\frac{m+n}{L}pi x \right)\right]

ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস -এর নিয়ম মেনে যদি এই ইন্টিগ্রেশনটি করা হয়, তবে যে ফল পাওয়া যায় তা হল (তোমরা করে দেখ, আমিও করেছি)

\displaystyle \frac{L}{pi^2 (m-n)^2}\left[mathrm{cos}(m-n)pi -1\right] - \frac{L}{pi^2 (m+n)^2}\left[mathrm{cos}(m+n)pi -1\right] = I_{mn}

সুতরাং, অবস্থানের গড় মান,

\displaystyle \langle x \rangle = \frac{1}{2}\left(L/2 + L/2 + I_{mn}e^{-i(E_m-E_n)t/\hbar} + I_{mn}e^{i(E_m-E_n)t/\hbar} \right)= \frac{L}{2} + I_{mn}mathrm{cos}\left(\frac{E_m - E_n}{\hbar}t\right)

উপরের গণনাতে জটিল রাশি সম্পর্কিয় এই সূত্রটি e^{ix} = mathrm{cos}(x) + imathrm{sin}(x) ব্যবহার করা হয়েছে।

এখন যদি আমরা ধরে নেই যে m = 2 এবং n=1,  তবে \displaystyle I_{mn} = -\frac{16L}{9pi^2}। সুতরাং,

\displaystyle \langle x \rangle = \frac{L}{2} - \frac{16L}{9pi^2}mathrm{cos}\left(\frac{E_m - E_n}{\hbar}t\right)  ——- (4)

(4) নং সমীকরণ একটি সরল দোলগতির (simple harmonic motion) সমীকরণ। অর্থাৎ অবস্থানের এক্সপেকটেশন ভ্যালূ সরল দোলগতিতে কম্পমান। এই গতির কম্পাঙ্ক হল (E_m - E_n)/\hbar। দুটো লেভেলের শক্তির পার্থক্য যত বাড়ে, কম্পাঙ্কও তত বাড়তে থাকে।

এবারে চল শক্তির এক্সপেকটেশন মান বের করা যাক। এর আগের পোষ্ট অনুসরণ করে,

\displaystyle \langle E \rangle = \sum_n |a_n|^2E_n

\displaystyle =A^2 E_n + A^2 E_m = \frac{1}{2}\left(E_n + E_m\right)

যেহেতু কণাটির প্রারম্ভিক ওয়েভ ফাংশনে দুটো স্থানু লেভেলের অবদান সমান, তাই মোট শক্তির এক্সপেকটেশন ভ্যালূতেও দুটো লেভেলের অবদান সমান। যদি কণাটির শক্তি পরিমাপ করা হয়, তবে বলতো কত ফল পাওয়া যাবে?

ওই যা, রৈখিক ভরবেগের এক্সপেকটেশন মান তো বের করাই হয়নি! ঠিক আছে ওটা তোমরা চেষ্টা করে দেখ। আজকে এ পর্যন্তই।

2 thoughts on “ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন – একটি উদাহরণ”

  1. mathematical solution korte giye nesha dhore galo.. Mne hy aro kori.. Btw durdanto post.. Asa kr6i sequel ta taratari pabo

    Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published.