কোয়ান্টাম স্টেপ পোটেনশিয়াল (একমাত্রিক)

আজ আরও একটি নতুন ও মজাদার পোটেনশিয়ালের জন্য সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান বের করবো। সেটা হল একমাত্রিক স্টেপ পোটেনশিয়াল। বস্তুর তরঙ্গ ধর্মের কিছু আজব পরিণাম দেখানোর জন্য এই পোটেনশিয়াল একটি আদর্শ উদাহরণ। ম্যাটার ওয়েভ কিভাবে কোনো পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত (incident) হয় ও কোনো পোটেনশিয়াল থেকে কিভাবে প্রতিফলিত (reflected) বা প্রেষিত(transmitted) হয়, সেটা এই স্টেপ পোটেনশিয়াল ব্যবহার করে খুব সুন্দরভাবে দেখানো যায়। নিচের ১ নং চিত্রে একটি স্টেপ পোটেনশিয়াল এ৺কে দেখানো হয়েছে। পোটেনশিয়ালটিতে স্টেপের উচ্চতা $V_0$ , অর্থাৎ পোটেনশিয়াল $V(x)$ কে $x$ এর ফাংশন হিসেবে এভাবে লেখা যায়,

$\displaystyle V(x) =V_0 Theta(x)=\left{ begin{matrix}0 & text{ if } x<0 \ V_0 & text{ if } x> 0end{matrix}\right.$

যেখানে $Theta (x)$ হল হেভিসাইড স্টেপ ফাংশন যার সংজ্ঞা,

$\displaystyle Theta (x) = \left{ begin{matrix} 0 & text{ if } x<0 \1 & text{ if } x> 0 end{matrix}\right.$

চিত্র ১ - স্টেপ পোটেনশিয়াল — চিত্র ১ – স্টেপ পোটেনশিয়াল

ক্লাসিকাল মেকানিক্স অনুসারে যদি একটি কণাকে বামদিক থেকে ডানদিকে (I নং অঞ্চল থেকে II তে) ছুড়ে দেওয়া যায়, তবে কণাটি স্টেপ পার হতে পারবে কিনা তা ওই কণার শক্তির উপর নির্ভর করে। যদি কণাটির শক্তি স্টেপের উচ্চতার থেকে বেশি হয়, তবে কণাটি স্টেপ পার হয়ে যেতে পারবে (যদিও স্টেপ পার হওয়ার পর ওর গতিশক্তি কমে যাবে)। আর যদি কণাটির শক্তি স্টেপের উচ্চতার থেকে কম হয়, তবে কণাটি স্টেপ থেকে প্রতিফলিত হয়ে ফিরে আসবে। এর উদাহরণ হল – মাটির দেওয়ালে ঢিল ছুড়লে তা দেওয়ালে ধাক্কা খেয়ে ফিরে আসে, কিন্তু বুলেট ছুড়লে তা দেওয়াল ভেদ করে চলে যাবে। কোয়ান্টাম কণার ক্ষেত্রে ব্যাপারটা অন্যরকম হয়ে যায়। কণার শক্তি $V_0$ থেকে বেশি হলেও তার স্টেপ থেকে প্রতিফলিত হয়ে ফিরে আসার সম্ভাবনা থাকে, এবং শক্তি $V_0$ থেকে কম হলেও কণাটির স্টেপ পার হয়ে যাওয়ার সসীম সম্ভাবনা থাকে (যদি পোটেনশিয়ালের প্রস্থ ফাইনাইট হয়; এ সম্মন্ধে বিস্তারিত আলোচনা পরে আসছে)। অদ্ভুত নয় ব্যাপারটা? যদি দেখ যে মাটির দেওয়ালে ধাক্কা খেয়ে বুলেট ফিরে এসে বন্দুকবাজকে ঘায়েল করল, অথচ পিলে জ্বরে ভোগা আর পেপের ঝোল খাওয়া পটলার ছোড়া ঢিল দেওয়াল ফু৺ড়ে হুস করে বেরিয়ে গেল! এটাই ভূতের, থুড়ি, কোয়ান্টাম মেকানিক্সের কেরামতি! চল দেখা যাক এই তথাকথিত ক্লাসিকালি অসম্ভব ঘটনা, ঘটে কিভাবে। যথারীতি আমরা স্টেপের দুপাশে সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ লিখে শুরু করব। I -নং অঞ্চলে (region I) অর্থাৎ $x<0$ হলে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ,

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Psi_1}{dx^2} + 0.Psi_1 = EPsi_1$ (1a)

II -নং অঞ্চলে অর্থাৎ, $x>0$ তে,

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Psi_{2}}{dx^2} + V_0Psi_{2} = EPsi_2$ (1b)

যেহেতু $x =0$ বিন্দুর দুপাশে পোটেনশিয়ালের মান আলাদা, তাই I -নং ও II -নং অঞ্চলের ওয়েভ ফাংশনও আলাদা (যথাক্রমে $Psi_1$ ও $Psi_2$ )। $E$ হল কণাটির শক্তি।

(1) ও (2) নং সমীকরনদ্বয়কে একটু সাজিয়ে লিখে,

$\displaystyle \frac{d^2Psi_1}{dx^2} = -k_1^2Psi_1$ (2a)

$\displaystyle \frac{d^2Psi_2}{dx^2}= -k_2^2Psi_1$ (2b)

যেখানে $\displaystyle k_1 = sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$ এবং $\displaystyle k_2 = sqrt{\frac{2m(E -V_0)}{\hbar^2}}$ । স্টেপের ডানদিকে, অর্থাৎ I -নং অঞ্চলে কণাটির পোটেনশিয়াল বা স্থিতিশক্তি শূন্য। তাই কণার গতিশক্তি ওর মোট শক্তির সমান। অতএব, যদি I -নং অঞ্চলে কণাটির রৈখিক ভরবেগ $p_1$ হয়, তবে $p_1 = sqrt{2mE}=\hbar k_1$ । অপরপক্ষে যেহেতু II -নং অঞ্চলে কণাটির পোটেনশিয়াল বা স্থিতিশক্তি $V_0$ , তাই ওর গতিশক্তি = $(E-V_0)$ এবং রৈখিক ভরবেগ $p_2 = sqrt{2m(E-V_0)}=\hbar k_2$ । মনে রাখবে $k_1$ ও $k_2$ কে ওয়েভ নম্বরও বলা হয়। (2) নং সমীকরনদ্বয়ের সমাধান করতে হলে আমাদের জানতে হবে কণাটির শক্তি ( $E$ ) পোটেনশিয়াল স্টেপের উচ্চতা $V_0$ থেকে কম না বেশি। আগেই বলেছি এই দুরকম ক্ষেত্রে দুটো আলাদা সমাধান বের হবে। চল প্রথমে দেখা যাক যদি $E > V_0$ হয় তবে কি হবে। এক্ষেত্রে $k_1$ ও $k_2$ দুটোই ধনাত্মক সংখ্যা। (2) নং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণদুটির সমাধান করা খুব সহজ। আমরা একটি ট্রায়াল সমাধান $Psi_1 propto e^{mx}$ ধরে শুরু করি। এই ট্রায়াল সমাধানটিকে (2a) সমীকরণে বসিয়ে,

$m^2 + k_1^2 = 0 implies m = pm ik_1$ । সুতরাং (2a) সমীকরণের সমাধান,

$\displaystyle Psi_1 = Amathrm{e}^{ik_1x} + Bmathrm{e}^{-ik_1x}$ (3a)

একইভাবে,

$\displaystyle Psi_2 = Cmathrm{e}^{ik_2x} + Dmathrm{e}^{-ik_2x}$ (3b)

যেহেতু কণাটির শক্তি $E$ , তাই আমরা যদি সময়ের উপর নির্ভর ওয়েভ ফাংশন লিখতে চাই তবে,

$\displaystyle Psi_1(x,t) = [Amathrm{e}^{ik_1x} + Bmathrm{e}^{-ik_1x}]mathrm{e}^{-iEt/\hbar}$

$\displaystyle = Amathrm{e}^{i(k_1x -omega t)} + B mathrm{e}^{-i(k_1x+omega t)}$ (4)

(4) নং সমীকরণের প্রথম পদটি নির্দেশ করে বামদিক থেকে ডানদিকে অর্থাৎ ধনাত্মক $x$ অক্ষ বরাবর চলন্ত একটি প্লেন ওয়েভ। ওই সমীকরণের দ্বিতীয় পদটি বোঝায় ডানদিক থেকে বামদিকে অর্থাৎ নেগেটিভ $x$ অক্ষ বরাবর চলমান আরেকটি প্লেন ওয়েভ। সুতরাং (3a) এবং (3b) সমীকরণের প্রথম পদ বা টার্মগুলি $t=0$ সময়ে ধনাত্মক $x$ অক্ষ বরাবর চলন্ত প্লেন ওয়েভ এবং দ্বিতীয় পদগুলি $t=0$ সময়ে নেগেটিভ $x$ অক্ষ বরাবর চলন্ত প্লেন ওয়েভ। এটুকু জানার পর আমরা (3) নং সমীকরণদ্বয়ের তাৎপর্য বোঝার চেষ্টা করতে পারি।

যদি আমরা ধরে নেই যে কণাটি বা কণাগুলি শুধু বামদিক থেকে ডানদিকে চলতে চলতে অর্থাৎ I -নং অঞ্চল থেকে এসে (ধনাত্মক $x$ অক্ষ বরাবর) পোটেনশিয়ালটির উপর আপতিত (incident) হয়েছে, তবে (3a) সমীকরণের প্রথম পদ $Amathrm{e}^{ik_1x}$ আপতিত (কণার) ওয়েভ ফাংশন। ওই সমীকরণের দ্বিতীয় পদ $Bmathrm{e}^{-ik_1x}$ আপতিত ওয়েভের উল্টোদিকে চলমান, তাই তা পোটেনশিয়াল থেকে প্রতিফলিত ওয়েভ। একইভাবে (3b) সমীকরণের প্রথম পদ $Cmathrm{e}^{ik_2x}$ , অঞ্চল I -থেকে অঞ্চল II -তে প্রেষিত বা ট্রান্সমিটেড (transmitted) ওয়েভ ফাংশন। যেহেতু II -নং অঞ্চলে ডানদিক থেকে বামদিকে (নেগেটিভ $x$ অক্ষ বরাবর) কোনো আপতিত ওয়েভ নেই, তাই (3b) সমীকরণের দ্বিতীয় পদ $Dmathrm{e}^{-ik_2x}$ শূন্য হবে। তার মানে $D = 0$ ।

এবারে আমরা বাউন্ডারী শর্ত ব্যবহার করব। প্রথম শর্ত হল যে বাউন্ডারীতে ওয়েভ ফাংশন কন্টিনিউয়াস হবে, অর্থাৎ,

$\displaystyle Psi_1|_{x=0} = Psi_2|_{x=0}$

বা, $\displaystyle A + B = C$ (5a)

দ্বিতীয় শর্ত হল যে বাউন্ডারীতে ( $x = 0$ ) ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরীভেটিভ কন্টিনিউয়াস হবে (যেহেতু $x = 0$ তে পোটেনশিয়াল ফাইনাইট বা সসীম),

$\displaystyle \left.\frac{dPsi_1}{dx}\right|_{x=0} = \left.\frac{dPsi_2}{dx}\right|_{x=0}$

বা, $\displaystyle Ak_1 - Bk_1 = Ck_2$ (5b)

(5a) ও (5b) সমীকরণদুটির সমাধান করে আমরা পাই,

$\displaystyle \frac{B}{A} = \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}$ (6a)

$\displaystyle \frac{C}{A} = \frac{2k_1}{k_1+k_2}$ (6b)

এই দুটি সমীকরণ থেকে দেখতে পাচ্ছো যে যদিও কণার শক্তি $V_0$ থেকে বেশি, তথাপি $B neq 0$ । অর্থাৎ প্রতিফলিত ওয়েভ ফাংশন শূন্য নয়। তার মানে স্টেপ পোটেনশিয়াল থেকে কণাটির প্রতিফলিত হয়ে ফিরে আসার ফাইনাইট (সসীম) সম্ভাবনা আছে। পোটেনশিয়াল থেকে প্রতিফলন ও ট্রান্সমিশন হওয়ার এই সম্ভাবনা নির্ণয় করার জন্য আমরা প্রোবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি বলে একটি বিষয় ব্যবহার করব। সুতরাং এর পরের পোষ্টের উপর নজর রাখো। (এটা অনেকটা টিভি ধারাবাহিকের স্টাইলে উদ্বেগজনক অবস্থায় সমাপ্তি। 😉 )

কোয়ান্টাম স্টেপ পোটেনশিয়াল (একমাত্রিক)

Related

One thought on “কোয়ান্টাম স্টেপ পোটেনশিয়াল (একমাত্রিক)”

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

One thought on “কোয়ান্টাম স্টেপ পোটেনশিয়াল (একমাত্রিক)”

Leave a Reply Cancel reply