November 2013 – My Physics Blog

হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর

এর আগের পোস্টে তোমরা দেখেছো যে হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেটের উপর ক্রমাগত রেইজিং অপারেটর প্রয়োগ করে বিভিন্ন এক্সাইটেড স্টেটগুলি তৈরি করা সম্ভব। যদি গ্রাউন্ড স্টেটের ( $Psi_0$ ) উপর রেইজিং অপারেটর $n$ বার প্রয়োগ করা হয় তবে $n$ তম এক্সাইটেড স্টেট ( $Psi_n$ ) পাওয়া যায়,

$Psi_n = C_n (a^{\dagger})^nPsi_0$ এবং $E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbaromega$ (1)

যেখানে $C_n$ হল নর্মালাইজেশন ধ্রুবক যার মান আমরা এখন বের করব। সেজন্য আমাদের রেইজিং ও লোয়ারিং অপারেটরদের সম্মন্ধে আরও কিছু জানতে হবে। Continue reading “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর”

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর সম্মন্ধে জ্ঞান পদার্থবিদ্যার চর্চা ও ব্যবহারিক প্রয়োগের জন্য অত্যন্ত প্রয়োজনীয়। নাম থেকেই বোঝা যায় যে কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর হল সরল দোলকের কোয়ান্টাম সংস্করণ। বস্তুর যেকোনো ধরনের গতি বা চলন, তা সে যতই জটিল হোক না কেন, সবসময়ই একাধিক সরল দোলগতির সমন্বয় হিসেবে প্রকাশ করা যায়। ফুরিয়ের ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে সেটা করা সম্ভব। তাই সরল দোলকের কোয়ান্টাম মেকানিকাল সমাধান কোয়ান্টাম পদার্থবিদ্যায় একটি বিশষ স্থান দখল করে। অজস্র ব্যবহারিক ক্ষেত্রে, যেমন কোয়ান্টাম ফিল্ড থিয়োরী, কনডেন্সড ম্যাটার ফিজিক্স ইত্যাদিতে এর প্রয়োগ হামেসাই হয়। এই পোস্টে আমরা সরল দোলক বা হারমোনিক অসিলেটরের কোয়ন্টাম মেকানিক্স নিয়ে আলোচনা করব। সরল দোলকের একটি খুব প্রচলিত দৃষ্টান্ত হল ভারহীন স্প্রীংয়ের এক মাথায় বাধা একটি বস্তু। যদি বস্তুটির ভর $m$ ও স্প্রীংয়ের বল ধ্রুবক বা force constant $k$ হয়, তবে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র প্রয়োগ করে তোমরা জানো যে Continue reading “কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর”

কমিউটেটর ও ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সূত্র (পরিবর্ধিত)

কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র আজ তোমাদের বলব। ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সূত্র বা সম্পর্ক (canonical com\mutation relation)। তোমরা হয়তো গণিতে কমিউটেশন কি সেটা জানো। তবুও এখানে সেটার একটু পুনরাবৃত্তি নেহাত অপ্রাসঙ্গিক হবেনা। ধর $a$ ও $b$ দুটি জটিল রাশি। এই দুটি রাশির পরষ্পরের সাথে গুণের একটি বৈশিষ্ট হল যে তা কমিউটেটিভ, অর্থাৎ,

$atimes b = btimes a$ ———– (1)

(1) নং সমীকরণকে অন্যরকম ভাষায় এরকম ভাবেও ব্যক্ত করা হয় – “গুণের ক্ষেত্রে $a$ , $b$ -এর সাথে কমিউট করে”। Continue reading “কমিউটেটর ও ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সূত্র (পরিবর্ধিত)”