হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর

এর আগের পোস্টে তোমরা দেখেছো যে হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেটের উপর ক্রমাগত রেইজিং অপারেটর প্রয়োগ করে বিভিন্ন এক্সাইটেড স্টেটগুলি তৈরি করা সম্ভব। যদি গ্রাউন্ড স্টেটের ( $Psi_0$ ) উপর রেইজিং অপারেটর $n$ বার প্রয়োগ করা হয় তবে $n$ তম এক্সাইটেড স্টেট ( $Psi_n$ ) পাওয়া যায়,

$Psi_n = C_n (a^{\dagger})^nPsi_0$ এবং $E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbaromega$ (1)

যেখানে $C_n$ হল নর্মালাইজেশন ধ্রুবক যার মান আমরা এখন বের করব। সেজন্য আমাদের রেইজিং ও লোয়ারিং অপারেটরদের সম্মন্ধে আরও কিছু জানতে হবে। এটা অনেকটা চাষ করার আগে জমি তৈরির মত ব্যাপার। আর যত ভালো জমি তৈরি হয়, জানই তো যে তত ভালো ফসল হয়। সুতরাং মন দিয়ে লক্ষ্য কর। চল প্রথমেই রেইজিং ও লোয়ারিং অপারেটর ব্যবহার করে একটি নতুন অপারেটর তৈরি করি, যাকে আমরা নম্বর অপারেটর ( $N$ ) নামে ডাকব।

$N = a^{\dagger}a$ (2)

যদি এই নম্বর অপারেটরকে হারমোনিক অসিলেটরের কোন একটি স্টেট $Psi_n$ এর উপর প্রয়োগ করা যায় তাহলে কি হবে? চল দেখাই যাক! আমরা জানি যে,

$HPsi_n = E_nPsi_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbaromegaPsi_n$

বা, $\left(a^{\dagger}a +\frac{1}{2}\right)\hbaromegaPsi_n= \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbaromegaPsi_n$ [ $H = \left(a^{\dagger}a +\frac{1}{2}\right)\hbaromega$ ব্যবহার করে]

বা, $a^{\dagger}aPsi_n = nPsi_n$

বা, $NPsi_n = nPsi_n$ (3a)

সুতরাং দেখতেই পাচ্ছো যে হারমনিক অসিলেটরের কোন একটি স্টেটের উপর নম্বর অপারেটর $N$ প্রয়োগ করলে ওই স্টেটের কোয়ান্টাম নম্বর ( $n$ ) জানা যায়। এই $n$ এর তাৎপর্য প্রকৃতপক্ষে আরও বৃহৎ। তোমরা দেখেছো যে হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেটের সাথে $n\hbaromega$ পরিমান অতিরিক্ত শক্তি যোগ করলে $n$ তম এক্সাইটেড স্টেটে পৌছে যাওয়া যায়। যদি তোমাদের প্লাংকের সূত্র মনে থাকে তবে তোমরা জান যে $\hbaromega = h\nu$ একটি $\nu$ কম্পাঙ্ক বিশিষ্ট ফোটনের শক্তি ছাড়া আর কিছুই নয়। সুতরাং কোন এক্সাইটেড স্টেটে কতগুলো ফোটনের শক্তি সঞ্চিত আছে, $n$ সেটাই প্রকাশ করে। এইখানেই নম্বর অপারেটরের বিশেষ গুরুত্ব। হারমোনিক অসিলেটরের কোন স্টেটের উপর এই অপারেটর প্রয়োগ করে জানা যায় তাতে কতগুলো ফোটন রয়েছে। বুঝতেই পারছো যদি গ্রাউন্ড স্টেটের উপর $N$ প্রয়োগ করা যায় তবে,

$NPsi_0 = 0$ (4)

এর মানে হল যে গ্রাউন্ড স্টেটে কোন ফোটন সঞ্চিত নেই। এজন্যই গ্রাউন্ড স্টেটকে ভ্যাকূম বা শূন্যস্থান বলা হয় এবং গ্রাউন্ড স্টেটের শক্তিকে বলা হয় ভ্যাকূম শক্তি (vacuum energy)। এছাড়াও যেহেতু $a^{\dagger}$ ও $a$ অপারেটর কোন স্টেটের উপর প্রয়োগ করলে তারা যথাক্রমে ওই স্টেটের সাথে একটি ফোটন যুক্ত করে (সৃষ্টি করে) বা ওই স্টেট থেকে একটি ফোটন বের করে নেয় (ধ্বংস করে), তাই তাদের যথাক্রমে ক্রীয়েশন ও annihilation অপারেটর বলা হয়।

(3a) নং সমীকরণ যেভাবে আহরন করা হয়েছে সেই একইভাবে অংক কষে দেখানো যায় যে,

$aa^{\dagger}Psi_n = (n+1)Psi_n$ (3b)

[এটা প্রমাণ করার জন্য $H = \hbaromega\left(aa^{\dagger}-\frac{1}{2}\right)$ ব্যবহার কর।]

এবারে আমরা ল্যাডার অপারেটরগুলির আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট সম্মন্ধে আলোচনা করব। যদি $\phi (x)$ ও $chi (x)$ দুটি ওয়েভ ফাংশন হয়, তবে,

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty} \phi^*(a^{\dagger}chi)dx = \int_{-infty}^{infty} (a \phi)^*chi dx$ (5)

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty} \phi^*(achi)dx = \int_{-infty}^{infty} (a^{\dagger} \phi)^*chi dx$ (6)

লিনীয়ার বীজগণিতের (linear algebra) ভাষায় বলা হয় যে $a^{\dagger}$ হল $a$ অপারেটরের হারমিশিয়ান কনজুগেট। চল উপরের সমীকরণ দুটিকে প্রমাণ করা যাক,

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty} \phi^*(a^{\dagger}chi)dx = \frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}\int_{-infty}^{infty} \phi^* \left(momega x -ip\right)chi dx$

$\displaystyle = \frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}\int_{-infty}^{infty} \phi^* \left(momega x -\hbar\frac{d}{dx}\right)chi dx$

$\displaystyle = \frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}\left[\int_{-infty}^{infty} \phi^* (momega x)chi dx - \int_{-infty}^{infty}\phi^*\hbar\frac{dchi}{dx} dx\right]$

$\displaystyle = \frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}\left[\int_{-infty}^{infty} \phi^* (momega x)chi dx - \hbar\phi^*chi|_{-infty}^{infty}+\hbar\int_{-infty}^{infty}\frac{d\phi^*}{dx}chi dx\right]$

$\displaystyle = \frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}\int_{-infty}^{infty}\left[(momega x)\phi^*chi + \hbar\frac{d\phi^*}{dx}chi\right] dx$

$\displaystyle = \frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}\int_{-infty}^{infty}\left[\left(momega x+\hbar\frac{d}{dx}\right)\phi\right]^*chi dx$

$\displaystyle = \frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}\int_{-infty}^{infty}\left[\left(momega x+ip\right)\phi\right]^*chi dx$

$\displaystyle = \int_{-infty}^{infty} (a \phi)^*chi dx$ (প্রমাণিত)

নোটঃ যেহেতু (5) ও (6) নং সমীকরণের ইন্টিগ্রেশনগুলির মান সসীম বা ফাইনাইট হতে হবে তাই $\phi (x)$ ও $chi(x)$ এর মান $x =pm infty$ তে শূন্য হতেই হবে। সেজন্যই উপরের প্রমাণের চার নম্বর লাইনের দ্বিতীয় পদটির (term) মানও শূন্য।

একইরকম ভাবে (6) নং সমীকরণের সত্যতাও প্রমাণ করা যায়। ওটা তোমরা করে দেখ।

যেহেতু হারমোনিক অসিলেটরের কোন স্টেট $Psi_n$ এর উপর $a^{\dagger}$ অপারেট করলে তা ওই স্টেটের সাথে একটি ফোটন যুক্ত করে তাকে পরবর্তি এক্সাইটেড স্টেটে নিয়ে যায়, সুতরাং

$a^{\dagger}Psi_n proptoPsi_{n+1}=c_nPsi_{n+1}$ (7a)

এবং $Psi_n$ এর উপর $a$ অপারেট করলে তা ওই স্টেটের থেকে একটি ফোটন সড়িয়ে নিয়ে তাকে পরের নিম্নবর্তি স্টেটে নামিয়ে আনে, তাই

$aPsi_n proptoPsi_{n-1}=d_nPsi_{n-1}$ (7b)

$c_n$ ও $d_n$ হল ধ্রুবক যাদের মান আমরা এবারে বের করব। যেহেতু $Psi_{n+1}$ কে নর্মালাইজড হতে হবে, তাই,

$\displaystyle 1= \int_{-infty}^{infty} Psi_{n+1}^*Psi_{n+1} dx=\int_{-infty}^{infty}\left(\frac{a^{\dagger}Psi_n}{c_n}\right)^*\left(\frac{a^{\dagger}Psi_n}{c_n}\right)dx$

$\displaystyle = \frac{1}{|c_n|^2}\int_{-infty}^{infty}(a^{\dagger}Psi_n)^*(a^{\dagger}Psi_n)dx$

$\displaystyle = \frac{1}{|c_n|^2}\int_{-infty}^{infty}(aa^{\dagger}Psi_n)^*Psi_ndx$ [(5) নং সমীকরণে $\phi$ ও $chi$ এর স্থানে যথাক্রমে $a^{\dagger}Psi_n$ ও $Psi_n$ ব্যবহার করে,]

$\displaystyle = \frac{1}{|c_n|^2}\int_{-infty}^{infty}(n+1)Psi_n^*Psi_ndx$ (যেহেতু $aa^{\dagger}Psi_n = (n+1)Psi_n$ )

$\displaystyle = \frac{1}{|c_n|^2}(n+1)$ (যেহেতু $Psi_n$ নর্মালাইজড।)

সুতরাং, $c_n = sqrt{n+1}$ । একইরকম ভাবে $Psi_{n-1}$ ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায় যে $d_n = sqrt{n}$ । তাই,

$\displaystyle a^{\dagger}Psi_n =sqrt{n+1}Psi_{n+1}$ (8a)

$\displaystyle aPsi_n =sqrt{n}Psi_{n-1}$ (8b)

এর পরের অংশ সাধাসিধে। চোখ বন্ধ করে কষে ফেলতে পারবে।

$\displaystylePsi_1= \frac{1}{sqrt{0+1}}a^{\dagger}Psi_0$

$\displaystylePsi_2=\frac{1}{sqrt{1+1}}a^{\dagger}Psi_1 = \frac{1}{sqrt{1+1}}\frac{1}{sqrt{0+1}}(a^{\dagger})^2Psi_0$

$\displaystylePsi_3 = \frac{1}{sqrt{2+1}}a^{\dagger}Psi_2 = \frac{1}{sqrt{3.2.1}}(a^{\dagger})^3Psi_0$

$\displaystylePsi_4 = \frac{1}{sqrt{3+1}}a^{\dagger}Psi_3 = \frac{1}{sqrt{4.3.2.1}}(a^{\dagger})^4Psi_0$

সুতরাং এটা পরিষ্কার যে,

$\displaystyle Psi_n = \frac{1}{sqrt{n.(n-1).(n-2)......4.3.2.1}}(a^{\dagger})^nPsi_0 = \frac{1}{sqrt{n!}}(a^{\dagger})^nPsi_0$ (9)

এবারে নিশ্চয় বুঝতেই পারছো যে (1) নং সমীকরণের নর্মালাইজেশন ধ্রুবক $C_n$ এর মান $1/sqrt{n!}$ ।

এতক্ষণে তোমরা অনেক কিছুই তো শিখলে। তো এবারে একটা ছোট্ট পরীক্ষা হয়ে যাক। উরে বাবা, পরীক্ষার নাম শুনেই গায়ে কম্প দিয়ে জ্বর এল যে! তবুও আমি কিন্তু ছাড়ছি না। দুটো অংক করতেই হবে। চিন্তা কোরোনা। খুবই সহজ। হারমোনিক অসিলেটরের প্রথম দুটি এক্সাইটেড স্টেটের ওয়েভ ফাংশন বের কর। আর হ্যাঁ, ভালো থাকতে ভুলোনা যেন।

References:
1. D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics
2. Wikipedia
3. Hyperphysics

2 thoughts on “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর”

sujoy says:

December 7, 2013 at 2:36 pm

গাণিতিক বিবরণ পূর্ণ অসাধারণ
পোস্ট,আপনার পোস্ট এখন
কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান
বিষয়ে একটি উচ্চ মানের
বক্তৃতা সিরিজ হয়ে উঠছে/

1. admin says:
  
  December 7, 2013 at 6:32 pm
  
  অনেক ধন্যবাদ sujoy তোমার অসাধারণ মন্তব্যের জন্য। 🙂 এমন ভাল ভাল প্রসংশাসূচক মন্তব্য পেলে চরম অলস ব্যক্তিও ব্লগ লিখতে বসে যাবে! ভাল থেকো।

হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর

Related

2 thoughts on “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর”

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

2 thoughts on “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর”

Leave a Reply Cancel reply