কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর – কয়েকটি অংক

এই পোস্টে কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের উপর কয়েকটি অংক করব, যাতে ধারণা আরও একটু পরিষ্কার হয়। আসলে আজ ভোরবেলায় স্বপ্ন দেখলাম যে আমাদের কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অধ্যাপকের সাথে বসে গল্প করছি। উনি অসাধারন শিক্ষক; কোয়ান্টাম মেকানিক্সে যা কিছু শিখেছি তাতে সবথেকে বড় ভূমিকাটা ওনারই। ক্লাসে উনি আমাদের উৎসাহ দিতেন বেসিক প্রিন্সীপল থেকে শুরু করে সমস্ত অংকটাই বুঝে বুঝে করতে। হয়তো ব্ল্যাকবোর্ডে তিনি একটি সমীকরণ লিখলেন, আমাদের কাজ হত সেটাকে প্রমাণ করা। অবশ্যই ইঙ্গিত দিয়ে দিতেন যে কিভাবে করতে হবে। আর খুব ভাল ভাল (পড় কঠিন কঠিন) হোমটাস্ক দিয়ে দিতেন। ওনার ক্লাস থেকেই মনে এটা বদ্ধমূল হয়ে গেছে যে যদি ফিজিক্সের কোন একটি বিষয় ভাল করে শিখতে হয়, তবে সেই বিষয় সম্মন্ধে যত বেশি সম্ভব অংক করা উচিত। অংকই প্রকৃতির নিজস্ব ভাষা। প্রকৃতির ভাষা না শিখে তাকে জানবে কি করে? সুতরাং চল লেগে পড়া যাক।

প্রথম অংকঃ হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেটে অবস্থান ও রৈখিক ভরবেগের আনসার্টেনটি $\Delta x$ ও $\Delta p$ বের কর।

সমাধানঃ আমরা জানি যে, $\Delta x = sqrt{\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2}$

$\displaystyle \langle x^2\rangle = \int_{-infty}^{infty}Psi_0^*.x^2.Psi_0 dx$

যেহেতু $\displaystyle a = \frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}(momega x + ip)$ ও $\displaystyle a^{\dagger} = \frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}(momega x - ip)$

সুতরাং, $\displaystyle x = sqrt{\frac{\hbar}{2momega}}(a^{\dagger}+a)$ (1a)

$\displaystyle p = isqrt{\frac{\hbar momega}{2}}(a^{\dagger}-a)$ (1b)

$\displaystyle x^2 = \frac{\hbar}{2momega}(a^{\dagger}+a).(a^{\dagger}+a)$

$\displaystyle = \frac{\hbar}{2momega}(a^{\dagger} a^{\dagger} +a^{\dagger}a +a a^{\dagger} + a a)$

সুতরাং,

$\displaystyle \langle x^2\rangle = \int_{-infty}^{infty}Psi_0^*.x^2.Psi_0 dx$

$\displaystyle = \frac{\hbar}{2momega}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a^{\dagger} a^{\dagger}Psi_0 dx + \int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a^{\dagger}aPsi_0 dx +\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a a^{\dagger}Psi_0 dx +\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a aPsi_0 dx\right]$

$\displaystyle = \frac{\hbar}{2momega}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a^{\dagger}Psi_1 dx + 0 + (0+1) + 0\right]$ [কিভাবে হল? ভাবো একটু।]

$\displaystyle = \frac{\hbar}{2momega}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*sqrt{1+1}Psi_2 dx + 0 + (0+1) + 0\right]$

$\displaystyle = \frac{\hbar}{2momega}\left[0+ 0 + (0+1) + 0\right]$

$\displaystyle \langle x^2\rangle= \frac{\hbar}{2momega}$

এবারে $\langle x\rangle$ বের করতে হবে।

$\displaystyle \langle x\rangle = \int_{-infty}^{infty}Psi_0^*.x.Psi_0 dx$

$\displaystyle = \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/2}\int_{-infty}^{infty}x e^{-\frac{momega}{\hbar}x^2} dx = 0$

কারণ ইন্টিগ্রেশনের ভেতরের ফাংশনটি, যাকে ইন্টিগ্র্যান্ড (\integrand) বলা হয়, একটি অযুগ্ম বা odd ফাংশন। সুতরাং সরল দোলকের দোদূল্যমান বস্তুর গ্রাউন্ড স্টেটে অবস্থানের আনসার্টেনটি

$\displaystyle \Delta x = sqrt{\langle x^2\rangle -\langle x\rangle^2} = sqrt{\frac{\hbar}{2momega}}$ (2a)

এবারে আমরা রৈখিক ভরবেগ $p$ এর আনসার্টেনটি বের করবো।

$\displaystyle \langle p^2\rangle =\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*.p^2.Psi_0 dx$

$\displaystyle = -\frac{\hbar momega}{2}\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*.(a^{\dagger}-a).(a^{\dagger}-a).Psi_0 dx$

$\displaystyle = -\frac{\hbar momega}{2}\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*.(a^{\dagger}a^{\dagger} - a^{\dagger} a - a a^{\dagger} + a a).Psi_0 dx$

$\displaystyle = -\frac{\hbar momega}{2}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a^{\dagger} a^{\dagger}Psi_0 dx - \int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a^{\dagger}aPsi_0 dx -\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a a^{\dagger}Psi_0 dx +\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a aPsi_0 dx\right]$

$\displaystyle = -\frac{\hbar m omega}{2}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a^{\dagger}Psi_1 dx - 0 - (0+1) + 0\right]$

$\displaystyle = -\frac{\hbar momega}{2}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*sqrt{1+1}Psi_2 dx - 0 - (0+1) + 0\right]$

$\displaystyle = -\frac{\hbar momega}{2}\left[0- 0 -(0+1) + 0\right]$

$\displaystyle \langle p^2\rangle= \frac{\hbar momega}{2}$

এবং,

$\displaystyle \langle p \rangle= \int_{-infty}^{infty}Psi_0^*.p.Psi_0 dx$

$\displaystyle = isqrt{\frac{\hbar momega}{2}}\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*.(a^{\dagger}-a).Psi_0 dx$

$\displaystyle = isqrt{\frac{\hbar momega}{2}}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*a^{\dagger}Psi_0 dx - \int_{-infty}^{infty}Psi_0^*aPsi_0 dx\right]$

$\displaystyle = isqrt{\frac{\hbar momega}{2}}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi_0^*Psi_1 dx - 0\right]$

$\displaystyle \langle p \rangle= 0$

সুতরাং, রৈখিক ভরবেগ $p$ এর আনসার্টেনটি

$\displaystyle \langle p\rangle = sqrt{\langle p^2\rangle -\langle p\rangle^2} = sqrt{\frac{\hbar m omega}{2}}$

এবারে আমরা হাইজেনবার্গের আনসার্টেনটি প্রিন্সীপল টেস্ট করতে পারি।

$\displaystyle\Delta x \Delta p =sqrt{\frac{\hbar}{2momega}} .sqrt{\frac{\hbar m omega}{2}}= \frac{\hbar}{2}$

দ্বিতীয় অংকঃ $n$ তম স্টেশনারি স্টেটে স্থিতিশক্তি ও গতিশক্তির এক্সপেকটেশন ভ্যালূ গণনা কর।

সমাধানঃ নিজেরা কর। 😉

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর – কয়েকটি অংক

Related

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

Leave a Reply Cancel reply