ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স

ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার গতি ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে একটি মামুলী বিষয় – এতটাই যে কোন পাঠ্যবইতে ওর সম্মন্ধে আলাদা করে কিছু লেখা হয়না। অথচ ফ্রী পার্টিকলের কোয়ান্টাম মেকানিক্স একটি অত্যন্ত চমত্কার ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। নাম থেকেই বোঝা যাচ্ছে যে ফ্রী পার্টিকল হচ্ছে এমন একটি বস্তুকণা যার স্থিতিশক্তি সর্বদা শূন্য। আরও পরিষ্কার করে বললে – ওর জন্য বিশ্বব্রহ্মান্ডের সর্বত্রই পোটেনশিয়ালের মান শূন্য ( $V(x) = 0$ )। এর মানে এটাও হয় যে কণাটি আকর্ষণ বা বিকর্ষণ কোন রকম বল অনুভব করেনা। অর্থাৎ ফ্রী পার্টিকল যেন কোয়ান্টাম মেকানিকাল খোলা ষাঁড়। অথবা যেন স্থিতপ্রজ্ঞ সন্ন্যাসী – যেখানে খুশি সেখানে অবাধ গতি, কোন কিছুর প্রতিই কোন আসক্তি বা বিরক্তি নেই। যেহেতু আমাদের উদ্দেশ্য এইরকম একটি ফ্রী পার্টিকলের কোয়ান্টাম মেকানিক্স আলোচনা করা সুতরাং আর অধিক বিলম্ব না করে আমরা ওর জন্য একমাত্রিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি লিখে ফেলব।

$\displaystyle \frac{-\hbar^2}{2m}\frac{d^2Psi}{dx^2} + 0.Psi = EPsi$ (1)

যেখানে যথারীতি $E$ হল কণার শক্তি ও $m$ কণার ভর। একটু সরল করে লিখলে,

$\displaystyle \frac{d^2Psi}{dx^2} = -k^2Psi$ (2)

যেখানে $\displaystyle k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$ । সুতরাং দেখতেই পাচ্ছো যে ফ্রী পার্টিকলের জন্য শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণটি অত্যন্ত সহজ ও সুন্দর রূপ ধারন করে। কিন্তু জানোই তো, রুপে ভুলতে নেই! এই সহজ সমীকরণের অন্তরালে লুকিয়ে রয়েছে বিস্তর জটিলতা। আগেই জানিয়ে দিলুম যে ফ্রী পার্টিকলের শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ যত সরল মনে হয়, ওর তাৎপর্য কিন্তু ততটা সরল নয়। তোমরা জানো যে (2) নং সমীকরণের সমাধান,

$\displaystyle Psi_k (x) = Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ (3)

এবারে প্রশ্ন হল যে $k$ -এর মানের কি কোন সীমাবদ্ধতা আছে? তোমরা দেখেছ, ইনফাইনাইট পোটেনশিয়াল ওয়েলের ক্ষেত্রে আমরা সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের অনুরূপ সমাধানের উপর দুটি বাউন্ডারী কন্ডিশন বা শর্ত আরোপ করেছিলাম যার ফলে এটা দেখা গিয়েছিল যে $k$ এর শুধু কিছু নির্দ্দিষ্ট বিযুক্ত মান (discrete values) থাকতে পারে। অপরপক্ষে ফ্রী পার্টিকলের গতি কিন্তু অবাধ; যেহেতু সর্বত্রই পোটেনশিয়ালের মান শূন্য, তাই ওর গতির উপর কোন বাউন্ডারী শর্ত চাপানো যায়না। এর ফলস্বরূপ ফ্রী পার্টিকলের ক্ষেত্রে $k$ এর মানের কোন উপর বিধিনিষেধ নেই। ওর যেকোন মান থাকতে পারে এবং $k$ একটি কন্টিনিউয়াস রাশি। সুতরাং কণার শক্তি $\displaystyle E = \frac{\hbar^2k^2}{2m}$ -ও একটি কন্টিনিউয়াস রাশি এবং শক্তিরও যেকোন ধনাত্মক মান থাকতে পারে। এবারে আমরা সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশনটি লিখব –

$\displaystyle Psi_k (x, t) = \left(A e^{ikx} + B e^{-ikx}\right) e^{-iEt/\hbar}$ (4)

$\displaystyle = A e^{ik(x-v_{text{phase}}t)} + B e^{-ik(x+v_{text{phase}}t)}$ (5)

$\displaystyle = A e^{i(kx-omega t)} + B e^{-i(kx +omega t)}$ (6)

যেখানে $v_{text{phase}} = \hbar |k|/2m$ ও $omega = E/\hbar$ , যাকে কৌণিক কম্পাঙ্ক (angular frequency) বলা হয়। (5) নং সমীকরণটিকে ভাল করে লক্ষ্য কর। ওই সমীকরণের প্রথম পদটি $+x$ -অক্ষ বরাবর চলন্ত তরঙ্গ ও দ্বিতীয় পদটি $-x$ -অক্ষ বরাবর চলন্ত তরঙ্গ প্রকাশ করে। ওই তরঙ্গদের উপর অবস্থিত কোন স্থির দশা যুক্ত বিন্দুর জন্য (যেমন শীর্ষবিন্দু (crest) বা সর্বনিম্নবিন্দু (trough)),

$x mp v_{text{phase}}t = text{constant} implies x = pm v_{text{phase}}t + text{constant}$

তার মানে, ওই তরঙ্গদ্বয়ের উপর অবস্থিত প্রত্যেকটি বিন্দু একই গতিতে ( $+ v_{text{phase}}$ ও $- v_{text{phase}}$ , যথাক্রমে $+x$ ও $-x$ -অক্ষ বরাবর চলন্ত তরঙ্গের জন্য) চলছে এবং যেহেতু প্রত্যেক বিন্দুর গতিবেগ সমান তাই চলতে চলতে ওগুলো ছড়িয়ে পড়েনা। শুদ্ধ পদার্থবিদ্যার ভাষায় বললে, ওইরকম তরঙ্গ বিচ্ছুরণহীণ (dispersionless)। অতএব, এতক্ষণের আলোচনা থেকে এটা পরিষ্কার যে ফ্রী পার্টিকলের ক্ষেত্রে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের ষ্টেশনারী সমাধান হল বিচ্ছুরণহীণ চলতরঙ্গ। যেহেতু $pm k$ যথাক্রমে $pm x$ -অক্ষ বরাবর গতিশীল তরঙ্গ প্রকাশ করে তাই (5) নং সমীকরণকে নিম্নলিখিতভাবে সহজ করে লেখা যায়,

$\displaystyle Psi_k (x,t)= A e^{ik(x-v_{text{phase}}t)}$ (7)

যেখানে $\displaystyle k = pm \frac{sqrt{2mE}}{\hbar}$ । অর্থাৎ $k$ এর ধনাত্মক ও ঋণাত্মক দুই ধরনের মান একসাথে ধরা হয়েছে। $v_{text{phase}}$ কে বলা হয় তরঙ্গের ফেজ ভেলোসিটি (phase velocity), যার মানে হল স্থির দশা সম্পন্ন বিন্দুর গতিবেগ। দেখতেই পাচ্ছো যে,

$\displaystyle v_{text{phase}} = \frac{\hbar |k|}{2m}=\frac{\hbar (sqrt{2mE}/\hbar)}{2m}=sqrt{\frac{E}{2m}}$ ।

অপরপক্ষে ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স অনুসারে $E$ শক্তি সম্পন্ন কণার গতিবেগ

$\displaystyle v_{text{particle}} = \frac{sqrt{2mE}}{m}=sqrt{\frac{2E}{m}} = 2v_{text{phase}}$

সুতরাং ফ্রী পার্টিকলের শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত চলতরঙ্গ যে ফেজ ভেলোসিটিতে গতিশীল তা বস্তুকণার গতিবেগের অর্ধেক। অর্থাৎ শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের এই ধরনের ষ্টেশনারী সমাধান গতিশীল কণাকে নিখুঁতভাবে চিত্রিত করতে পারেনা। শুধু এটুকুই নয়, এই চলতরঙ্গরূপ ষ্টেশনারী সমাধানের আরও একটি বড় সমস্যা রয়ে গেছে। এই চলতরঙ্গকে নর্ম্যালাইজ করা যায়না।

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty}Psi_k (x,t)^*Psi_k (x,t) dx = |A|^2 \int_{-infty}^{infty} dx = |A|^2 (infty)$

তার মানে (7) নং সমীকরণের চলতরঙ্গ কোন গতিশীল কণার ওয়েভ ফাংশন হতে পারেনা, কারণ বাস্তবায়িত করা সম্ভব এরকম ওয়েভ ফাংশনের একটি প্রধাণ বৈশিষ্ট হল যে সেটা নর্ম্যালাইজেশনের উপযুক্ত। তাহলে উপায়? এতখানি যে পরিশ্রম করা হল তা কি সব ফালতু? ভয় পেয়োনা! “None of your endeavour ever goes in vain, success may elude but you get closer to your aim”। আমরাও ফ্রী পার্টিকলের কোয়ান্টাম মেকানিক্স আবিষ্কার করবার অনেক কাছে পৌঁছে গেছি। তোমাদের কি মনে আছে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের জেনারেল সমাধানের কথা? $Psi_n(x,t)$ যদি ইনফাইনাইট পোটেনশিয়াল ওয়েলের ক্ষেত্রে $n$ ষ্টেশনারী তম স্টেট হয় তবে তোমরা দেখেছো যে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের জেনারেল সমাধান

$\displaystyle Psi(x,t) = \sum_n c_n Psi_n (x,t)$

এই প্রণালী অনুসরণ করে আমরা ফ্রী পার্টিকলের জন্যও জেনারেল সমাধান লিখতে পারি। শুধু একটি ব্যাপার এক্ষেত্রে আলাদা। ইনফাইনাইট ওয়েলের জন্য $n$ সূচকগুলো discrete রাশি ছিল, কিন্তু ফ্রী পার্টিকলের জন্য $k$ সূচকগুলি কন্টিনিউয়াস রাশি। সেজন্য আমরা উপরিউক্ত সমীকরণের সামেশন চিহ্নটিকে $k$ এর উপর ইন্টিগ্রেশন দিয়ে এবং $c_n$ ধ্রুবকগুলিকে $k$ এর একটি ফাংশন $\Phi(k)$ দিয়ে প্রতিস্থাপিত করব। অতএব ফ্রী পার্টিকলের জন্য শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের জেনারেল সমাধান,

$\displaystyle Psi(x,t) = \frac{1}{sqrt{2pi}} \int_{-infty}^{infty} \Phi(k) Psi_k(x,t) dk = \frac{1}{sqrt{2pi}} \int_{-infty}^{infty} \Phi(k) text{e}^{i(kx-omega t)} dk$ (8)

$1/sqrt{2pi}$ কে নেওয়া হয়েছে পরবর্তীতে অংক করার সুবিধের জন্য। ইনফাইনাইট ওয়েলের মত এক্ষেত্রেও $\Phi(k)$ এর মান বা রুপ বের করা যায় প্রদত্ত প্রারম্ভিক শর্ত থেকে।

জেনারেল সমাধান তো লেখা হল, কিন্তু প্রশ্ন হচ্ছে এই সমাধানটিকে কি নর্ম্যালাইজেশন করা সম্ভব? উত্তর হচ্ছে, হ্যাঁ! উপযুক্ত $\Phi(k)$ ব্যবহার করে ফ্রী পার্টিকলের জেনারেল সমাধানকেও নর্মালাইজ করা সম্ভব। অর্থাৎ (8) নং সমীকরণের ওয়েভ ফাংশন একটি বাস্তবসম্মত ফ্রী পার্টিকেলের ওয়েভ ফাংশন হওয়ার যোগ্য। আর যেহেতু $\Phi(k)$ একটি ফাংশন, তাই ফ্রী পার্টিকলের ওয়েভ ফাংশনে $k$ এর মানের একটি ব্যাপ্তি (range) অতি অবশ্যই থাকবে। এর ফলস্বরুপ ফ্রী পার্টিকলের ভরবেগ ( $\hbar k$ ) ও শক্তিরও ( $E = \hbar^2 k^2/2m$ ) কোনো নির্দ্দিষ্ট মান থাকতে পারেনা, তার বদলে ওদের মানের একটি বিস্তৃতি (spread) থাকে। এই ধরনের ওয়েভ ফাংশনকে বলা হয় ওয়েভ প্যাকেট, যা একাধিক $Atext{e}^{i(kx-omega t)}$ এর মত চলতরঙ্গের সমষ্টি। (8) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত ওয়েভ ফাংশনের গ্রাফ আঁকলে দেখা যাবে যে কোন নির্দ্দিষ্ট মুহুর্তে একটি সীমিত অঞ্চলে ওয়েভ ফাংশনের মান সবথেকে বেশি ও অন্যান্য অঞ্চলে তা অনেক কম। অর্থাৎ কোন নির্দ্দিষ্ট মুহুর্তে ওয়েভটি যেন একটি অঞলে সীমাবদ্ধ (localised)। তাই ওর নামের সাথে প্যাকেট কথাটি জুড়ে দেওয়া হয়েছে। বুঝতেই পারছ যে বস্তুকণাকে প্রকাশ করার জন্য এই ধরনের সীমাবদ্ধ ওয়েভ ফাংশন একেবারে আদর্শ, কারণ বস্তুকণাও একটি সীমাবদ্ধ জিনিস। ১-নং চিত্রে ২০ টি চলতরঙ্গের সমাহারে তৈরী একটি ওয়েভ প্যাকেট দেখানো হয়েছে। দেখ যে ওটা একটি অঞ্চলে সীমাবদ্ধ।

wave packet — চিত্র-২: ২০ টি তরঙ্গের উপরিপাতের ফলে সৃষ্ট ওয়েভ প্যাকেট।

চল এবারে $\Phi(k)$ ফাংশন কেমন হবে সেটা দেখা যাক। আমরা সেজন্য প্রারম্ভিক শর্ত ব্যবহার করব,

$\displaystyle Psi(x,0) = \frac{1}{sqrt{2pi}} \int_{-infty}^{infty} \Phi(k) text{e}^{ikx} dk$ (9)

দুপাশে $\displaystyle \frac{1}{sqrt{2pi}} text{e}^{-ik'x}$ দিয়ে গুণ করে $x$ এর সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করলে,

$\displaystyle \frac{1}{sqrt{2pi}} \int_{-infty}^{infty} Psi(x,0) text{e}^{-ik'x} dx= \frac{1}{2pi} \int_{-infty}^{infty} \int_{-infty}^{infty} \Phi(k) text{e}^{i(k-k')x} dk dx$

$\displaystyle = \frac{1}{2pi} \int_{-infty}^{infty} \Phi(k) \int_{-infty}^{infty} text{e}^{i(k-k')x} dx dk$

$\displaystyle = \int_{-infty}^{infty} \Phi(k) delta(k-k') dk$ [ডেল্টা ফাংশনের সংজ্ঞা $\displaystyle delta(k-k') = \frac{1}{2pi}\int_{-infty}^{infty} text{e}^{i(k-k')x} dx$ ব্যবহার করে।]

$\displaystyle = \Phi(k')$

সুতরাং,

$\displaystyle \Phi(k) = \frac{1}{sqrt{2pi}} \int_{-infty}^{infty} Psi(x,0) text{e}^{-ikx} dx$ (10)

(8) ও (10) নং সমীকরণ একত্রে ফ্রী পার্টিকলের ওয়েভ ফাংশন প্রকাশ করে। যদি প্ৰারম্ভিক ওয়েভ ফাংশন নর্ম্যালাইজ্ড হয় তবে জেনারেল সমাধান সবসময়ই নর্ম্যালাইজ্ড থাকবে। আশা করি তোমরা এটা লক্ষ করেছ যে $\Phi(k)$ ও $Psi(x, 0)$ পরষ্পরের ফুরিয়ের ট্রান্সফর্ম। অর্থাৎ ফুরিয়ের ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে একাধিক $Atext{e}^{i(kx-omega t)}$ এর মত চলতরঙ্গের সমন্বয়ের মাধ্যমে একটি সীমাবদ্ধ ওয়েভ প্যাকেট তৈরী করা হয়েছে যা ফ্রী পার্টিকলকে সুন্দরভাবে অঙ্কিত করতে সক্ষম।

ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স

Related

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

Leave a Reply Cancel reply