মিনকোভস্কি চিত্র (Minkowski diagram)

মিনকোভস্কি চিত্র হল স্থান ও কালের (স্পেস-টাইম) চিত্রানুগ রূপ (gra\phical representation)। তোমরা জানো যে মিনকোভস্কি স্পেস ত্রিমাত্রিক স্থান ও একমাত্রিক কালের সমন্বয়ে গঠিত একটি চতুর্মাত্রিক স্থান-কাল বিশেষ। কিন্তু আমরা যেহেতু কাগজে পরিষ্কার করে দুটোর বেশি মাত্রা সমন্বিত স্থানের গ্রাফ আঁকতে পারিনা, তাই সাধারণত মিনকোভস্কি চিত্রে সময় ও কেবলমাত্র একটি স্পেস স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা হয়, আপেক্ষিকতার ভাষায় যাকে $(1+1)$ মাত্রিক স্পেস-টাইম বলা হয়। এখন প্রশ্ন হচ্ছে যে ত্রিমাত্রিক স্থানের কোন মাত্রাকে বা অক্ষকে আমরা মিনকোভস্কি চিত্র আঁকতে ব্যবহার করব? স্বভাবতই যেদিকে বস্তু বা বস্তুসমষ্টি গতিশীল, সেই দিকের অক্ষই গুরুত্বপূর্ণ, কারণ লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের প্রভাব সেদিকেই হবে। যেমন কোন বস্তু যদি $O$ ফ্রেমের $x$ অক্ষ বরাবর $v$ বেগে গতিশীল হয় তবে মিনকোভস্কি চিত্র আঁকার জন্য আমরা $(t,x)$ স্থানাঙ্কদ্বয় ব্যবহার করব। প্রথা অনুসারে মিনকোভস্কি চিত্রে অনুভূমিক অক্ষ বরাবর $x$ ও উল্লম্ব অক্ষ বরাবর $ct$ প্রকাশ করা হয়, যেখানে যথারীতি $c$ হল শূন্যস্থানে আলোর বেগ। কয়েকটি বস্তুর জন্য মিনকোভস্কি চিত্র একে দেখালে বিষয়টি আরো পরিষ্কার হবে। প্রথমেই চল $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে স্থির রয়েছে এমন দুটি বস্তুর স্থানাঙ্ক মিনকোভস্কি চিত্রে আঁকা যাক। স্পষ্টতই, যেহেতু বস্তুদুটি স্থির রয়েছে তাই ওদের মিনকোভস্কি চিত্র মূলত $ct$ অক্ষের সমান্তরাল দুটি সরলরেখা হবে। এটা ১ নম্বর ছবিতে কালো রেখাদ্বয়ের সাহায্যে দেখানো হয়েছে। এখানে উল্লেখ করব যে মিনকোভস্কি চিত্রে বিভিন্ন সময়ে কোন বস্তুর অবস্থানের গ্রাফ আঁকলে যে রেখা তৈরি হয় তাকে বলা হয় ওই বস্তুর ওয়ার্ল্ড লাইন বা বিশ্বরেখা। আর মিনকোভস্কি স্থানের প্রত্যেকটি বিন্দুকে বলা হয় এক একটি ইভেন্ট বা ঘটনা। যাইহোক, এবারে বলতো $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $x$ অক্ষ বরাবর $v$ বেগে গতিশীল একটি বস্তুর বিশ্বরেখা কেমন হবে দেখতে? মনে কর বস্তুটি $t = 0$ তে $x = 0$ বিন্দুতে ছিল। এরপর বস্তুটি $t$ সময়ে $x = vt$ দূরত্ব অতিক্রম করবে। সুতরাং $t$ সময় পরে মিনকোভস্কি চিত্রে ওর স্থানাঙ্ক $(ct,vt)$ । অতএব ওই বস্তুর জন্য মিনকোভস্কি চিত্রে $text{tan}(\alpha)= c/v$ নতিবিশিষ্ট একটি সরলরেখা তৈরি হবে যা ওর বিশ্বরেখা বা ওয়ার্ল্ড লাইন। ১ নম্বর ছবিতে লাল রঙের রেখার মাধ্যমে ওটা দেখানো হয়েছে। আবার বস্তুটি যদি $t = 0$ তে $x = x_0$ বিন্দুতে থাকত, তবে ওর ওয়ার্ল্ড লাইনও $text{tan}(\alpha)= c/v$ বিশিষ্ট একটি সরলরেখা হবে যা $x$ অক্ষকে $x = x_0$ বিন্দুতে ছেদ করবে (১ নম্বর ছবিতে নীল রেখা)। যেহেতু কোন বস্তুর বেগ আলোর বেগের থেকে বেশি হতে পারেনা (কেন? একটু ভাব!) তাই কোন বস্তুকণার ওয়ার্ল্ড লাইনের নতি ( $x$ অক্ষের সাপেক্ষে) সবসময়ই $1$ এর থেকে (অথবা $45^0$ ) বেশি হবে।

world lines of object at rest and at uniform motion bengali — চিত্র ১- মিনকোভস্কি চিত্রে বস্তুর ওয়ার্ল্ড লাইন। উল্লম্ব কালো রেখা স্থির বস্তুর ও আনত লাল ও নীল রেখা গতিশীল বস্তুর জন্য ওয়ার্ল্ড লাইন।

এ’তো গেল $O$ ফ্রেমের মিনকোভস্কি চিত্র। এবারে মনে কর অপর একটি রেফারেন্স ফ্রেম $O'$ এই $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $v$ বেগে $x$ অক্ষ বরাবর গতিশীল। তাহলে $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $O'$ এর মিনকোভস্কি চিত্র কেমন হবে? সেজন্য আমরা লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের সাহায্য নেব। যদি $O'$ ফ্রেমে কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(ct',x')$ দিয়ে প্রকাশ করা হয় তবে তোমরা জানো,

$\displaystyle ct' = \gamma (ct - \beta x)$ (1a)

$\displaystyle x' = \gamma (-\beta ct + x)$ (1b)

যেখানে যথারীতি $\gamma = 1/sqrt{1-v^2/c^2}$ এবং $\beta = v/c$ ।

বুঝতেই পারছো যে $ct'$ অক্ষের জন্য $x'=0$ হতে হবে। অন্যভাবে বললে, মিনকোভস্কি চিত্রে $x'=0$ বিশিষ্ট সমস্ত বিন্দুর লোকাস হল $ct'$ অক্ষ। তাই (1b) সমীকরণে $x'=0$ বসিয়ে $ct'$ অক্ষের জন্য আমরা পাই,

$\displaystyle x = \beta ct implies ct = \frac{c}{v}x$ (2a)

অতএব, $O$ ফ্রেমের মিনকোভস্কি চিত্রে $ct'$ অক্ষ হল $c/v$ নতিবিশিষ্ট একটি সরলরেখা (২ নং ছবি দেখ)। তার মানে $ct$ ও $ct'$ অক্ষের মাঝে কোণের মান $text{tan}^{-1}(v/c) = theta$ । অনুরূপভাবে যেহেতু $x'$ অক্ষের জন্য $ct' = 0$ , তাই ওর জন্য

$\displaystyle ct = \beta x = \frac{v}{c}x$ (2b)

সুতরাং, $O$ ফ্রেমের মিনকোভস্কি চিত্রে $x'$ অক্ষ হল $text{tan} theta=v/c$ নতিবিশিষ্ট একটি সরলরেখা (২ নং ছবি দেখ)। ২ নম্বর ছবি আসলে হল দুটি একে অন্যের উপর আরোপিত ইনার্শিয়াল ফ্রেমের ( $O$ এবং $O'$ ) মিনকোভস্কি চিত্র (superimposed Minkowski diagram)। অবশ্য এখানে আমরা ধরে নিয়েছি যে দুটি ফ্রেমর জন্য $t = t'=0$ সময়ে $x=x'=0$ , অর্থাৎ সেইসময় দুটো ফ্রেমের মূলবিন্দু একই স্থানে ছিল। এর ফলে ছবিটি আঁকতে একটু সুবিধে হয়েছে। যদি তা না হত তাহলেও মিনকোভস্কি চিত্র আঁকা যেত, কিন্তু তাতে সামান্য কিছু জটিলতা আসতো।

minkowski diagram of two frames moving relative to each other bengali — চিত্র ২ – পরষ্পরের সাথে আপেক্ষিক বেগযুক্ত দুটি ইনার্শিয়াল ফ্রেমে মিনকোভস্কি চিত্র। টিকচিহ্ন যুক্ত স্থানাঙ্ক নির্দেশ করে টিকচিহ্ন ছাড়া ফ্রেমের সাপেক্ষে $v$ বেগে গতিশীল একটি ফ্রেম।

চিত্র ২ – পরষ্পরের সাথে আপেক্ষিক বেগযুক্ত দুটি ইনার্শিয়াল ফ্রেমে মিনকোভস্কি চিত্র। টিকচিহ্ন যুক্ত স্থানাঙ্ক নির্দেশ করে টিকচিহ্ন ছাড়া ফ্রেমের সাপেক্ষে $v$ বেগে গতিশীল একটি ফ্রেম।

এবারে আমরা দুটি ফ্রেমের মিনকোভস্কি চিত্রের সময় ও স্থানের অক্ষ বরাবর পরিমাপের এককের (unit of measurement) মান তুলনা করব। উপরের ২ নং ছবিতে $ct'$ অক্ষ বরাবর মূলবিন্দু থেকে একক দূরত্বে অবস্থিত $A$ বিন্দুর জন্য $ct' = 1$ । অতএব (1a) নম্বর সমীকরণ থেকে,

$\displaystyle 1 = \gamma(ct - \beta x)$ (3a)

আবার (2a) সমীকরণে তোমরা দেখেছো যে $ct'$ অক্ষের জন্য, $x = \beta ct$ । সেজন্য (3a) সমীকরণ অনুযায়ী,

$\displaystyle 1 = \gamma(ct - \beta^2 ct) implies ct = \frac{1}{\gamma (1-\beta^2)}$

বা, $\displaystyle ct = \frac{sqrt{1-v^2/c^2}}{1-v^2/c^2}= \frac{1}{sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma$ (3b)

সুতরাং $O$ ফ্রেমে $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(ct,x) = (\gamma, \beta \gamma)$ [(2a) সমীকরণ থেকে $x$ এর মান বের করা হয়েছে]। যদি $U$ ও $U'$ যথাক্রমে $O$ এবং $O'$ ফ্রেমে সময় পরিমাপের একক হয় তবে ২ নম্বর ছবি থেকে স্পষ্টতই,

$\displaystyle \frac{U'}{U} = \frac{OA}{OB}$ (4a)

এখন যেহেতু $O$ ফ্রেমে $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(ct,x) = (\gamma, \beta \gamma)$ , অতএব,

$\displaystyle OA = sqrt{\gamma^2+\beta^2 \gamma^2} = sqrt{\frac{1+v^2/c^2}{1-v^2/c^2}}$

এবং যেহেতু $O$ ফ্রেমে $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(ct,x)=(1,0)$ , তাই $OB = 1$ [মনে রাখবে $O'$ ফ্রেমে কিন্তু মূলবিন্দু থেকে $A$ বিন্দুর দূরত্ব $1$ ] । অতঃপর,

$\displaystyle \frac{U'}{U} = \frac{OA}{OB} = sqrt{\frac{1+v^2/c^2}{1-v^2/c^2}}$ (4b)

একইভাবে ২ নম্বর ছবিতে $x$ ও $x'$ অক্ষের উপর দুটি বিন্দু ব্যবহার করে দেখানো যায় যে $O'$ এবং $O$ ফ্রেমে স্থান-সংক্রান্ত দূরত্ব পরিমাপের এককের অনুপাতও ওই দুটি ফ্রেমে সময় পরিমাপের এককের অনুপাতের সমান, যা (4b) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে বের করা যায়।

relativity of si\multaneity bengali — চিত্র ৩ – যুগপত্তার আপেক্ষিকতা। $O$ ফ্রেমে যুগপত দুটি ঘটনা $M$ ও $N$ অপর একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেম $O'$ এ ভিন্ন সময়ে ঘটে। $O'$ ফ্রেমে ওদের মধ্যে সময়ের পার্থক্য $\Delta t'$ ।

চিত্র ৩ – যুগপত্তার আপেক্ষিকতা। $O$ ফ্রেমে যুগপত দুটি ঘটনা $M$ ও $N$ অপর একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেম $O'$ এ ভিন্ন সময়ে ঘটে। $O'$ ফ্রেমে ওদের মধ্যে সময়ের পার্থক্য $\Delta t'$ ।

$ct$ অক্ষের সাথে সমান্তরাল সমস্ত সরলরেখা যেমন $O$ অক্ষের সাপেক্ষে স্থির বস্তুর ওয়ার্ল্ড লাইন, তেমনি $ct'$ অক্ষের সাথে সমান্তরাল সমস্ত সরলরেখাও $O'$ ফ্রেমে স্থির বস্তুর ওয়ার্ল্ড লাইন। উল্লেখ্য যে $O'$ ফ্রেমে স্থির বস্তু কিন্তু $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $v$ বেগে $x$ অক্ষ বরাবর গতিশীল। অতএব $ct'$ অক্ষ আসলে $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $v$ বেগে $x$ অক্ষ বরাবর গতিশীল বস্তুকণার ওয়ার্ল্ড লাইন। অপরপক্ষে $x$ অক্ষের সাথে সমান্তরাল সরলরেখার উপর অবস্থিত বিন্দুগুলি $O$ ফ্রেমে ভিন্ন স্থানে কিন্তু একই সময়ে ঘটে যাওয়া ঘটনাবলী বোঝায়। একইভাবে $x'$ অক্ষের সমান্তরাল কোন সরলরেখাও $O'$ ফ্রেমে ভিন্ন ভিন্ন স্থানে কিন্তু একই সময়ে সংঘটিত ঘটনাসমূহ বোঝায়। ধর $O$ ফ্রেমে দুটি ভিন্ন যায়গায় একই মুহূর্তে দুটি পটকা ফাটল। ৩ নম্বর ছবিতে এই দুটি ঘটনাকে $M$ ও $N$ বিন্দু দিয়ে দেখানো হয়েছে। দেখ যে $MN$ সরলরেখা $x$ অক্ষের সমান্তরাল। কিন্তু যেহেতু $M$ ও $N$ বিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখা $x'$ অক্ষের সমান্তরাল নয়, তাই ওই দুটি ঘটনা $O'$ ফ্রেমে একই সময়ে ঘটতে দেখা যাবেনা। বস্তুতপক্ষে এই ফ্রেমে অবস্থিত দর্শকের সাপেক্ষে $N$ আগে ঘটবে। অর্থাৎ একাধিক ঘটনা কোন ইনার্শিয়াল ফ্রেমে যুগপত ঘটলেও তা অপর ইনার্শিয়াল ফ্রেমে একসাথে সংঘটিত নাও হতে পারে। একেই বলা হয় যুগপত্তার আপেক্ষিকতা (relativity of si\multaneity)। ব্যাপারটিকে লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের মাধ্যমেও দেখানো যায়, যার সম্মন্ধে এর পরের পোস্টে আলোচনা করব।

time dilation in minkowski diagram bengali — চিত্র ৪- মিনকোভস্কি চিত্রে সময় প্রসারণ।

চল এবারে দেখি মিনকোভস্কি চিত্র থেকে কিভাবে দৈর্ঘ্য সংকোচন ও সময় প্রসারণ ব্যাখ্যা করা যায়। প্রথমে সময় প্রসারণ নিয়ে আলোচনা করব। ৪ নম্বর ছবিতে $ct'$ অক্ষের উপর দুটি ঘটনা (ওরফে বিন্দু) $A$ ও $B$ । স্পষ্টতই $O'$ ফ্রেমে এই দুটি ঘটনা একই বিন্দুতে $(x'=0)$ কিন্তু ভিন্ন সময়ে ঘটেছে। যদি ওই ফ্রেমে ঘটনা দুটির মাঝে সময়ের পার্থক্য $\Delta t'$ হয়, এবং $O'$ ফ্রেমে ওই দুটি বিন্দুর মধ্যে স্পেস-টাইম ইন্টারভাল $ds'$ হয় তবে,

$\displaystyle ds'^2 = (c\Delta t')^2 -(\Delta x')^2 = (c\Delta t')^2 -0 = (c\Delta t')^2$ (5a)

যেখানে $\Delta x' =0$ হল $O'$ ফ্রেমে ঘটনা দুটির অবস্থানের পার্থক্য।

অপরপক্ষে ৪ নং ছবি থেকে এটা স্পষ্ট যে $O$ ফ্রেমে ওই দুটি ঘটনা ভিন্ন সময়ে এবং ভিন্ন স্থানে ঘটবে, কেননা $AB$ সরলরেখা $x$ কিংবা $ct$ , কোন অক্ষের সাথেই সমান্তরাল নয়। যদি এই ফ্রেমের সাপেক্ষে ওই দুটি ঘটনার মাঝে সময়ের পার্থক্য $\Delta t$ ও অবস্থানের পার্থক্য $\Delta x$ হয় (৪ নং ছবি দেখ) তবে এই ফ্রেমে ওই দুটি ঘটনার মাঝের স্পেস-টাইম ইন্টারভাল $ds$ নিচের সমীকরণ থেকে পাওয় যায়।

$\displaystyle ds^2 = (c\Delta t)^2 -(\Delta x)^2$ (5b)

যেহেতু বিশেষ আপেক্ষিকতায় স্পেস-টাইম ইন্টারভাল একটি স্কেলার রাশি, অর্থাৎ এর মান লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের ফলে অপরিবর্তিত থাকে, তাই $ds' = ds$ । অতএব, (5a) ও (5b) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে,

$\displaystyle (c\Delta t')^2 = (c\Delta t)^2 -(\Delta x)^2$ (6a)

এই সমীকরণ থেকে বোঝা যায় যে $A$ , $B$ ও $C$ বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিভূজ পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলেনা, যদিও দেখে ওটাকে সমকোণি ত্রিভূজ বলে মনে হচ্ছে। তার কারণ ওই বিন্দুগুলি ইউক্লিডিও স্থানে নয়, মিনকোভস্কি স্থানে অবস্থিত। যেহেতু (2a) নং সমীকরণে তোমরা আগেই দেখেছো যে $ct'$ অক্ষের জন্য $ct = (c/v) x$ । অতএব,

$\displaystyle c\Delta t = \frac{c}{v}\Delta x implies \Delta x = \beta c\Delta t$ (6b)

(6a) ও (6b) সমীকরণদ্বয়কে একত্র করে সহজেই দেখা যায় যে,

$\displaystyle (c\Delta t')^2 = (c\Delta t)^2(1 -\beta^2) implies \Delta t = \frac{\Delta t'}{sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma \Delta t'$ (7)

এটাই সময় প্রসারণের সমীকরণ, যা বলছে যে চলমান ফ্রেমে ঘড়ি স্লো চলে। অনুরূপভাবে দেখানো যায় যে $O'$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $O$ ফ্রেমের ঘড়িও স্লো চলবে।

মিনকোভস্কি চিত্রে দৈর্ঘ্য সংকোচন দেখানোর জন্য ধরে নেব যে $O$ ফ্রেমে $x$ অক্ষের উপর একটি $\Delta x$ দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট রড স্থিরাবস্থায় রাখা আছে। $t=0$ সময়ে মিনকোভস্কি চিত্রে ওই রডের দুই প্রান্তের অবস্থান যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দু। যেহেতু রডটি স্থির তাই ওর দুই প্রান্তের ওয়ার্ল্ড লাইন $ct$ অক্ষের সমান্তরাল ও পরষ্পরের থেকে $\Delta x$ দূরত্বে থাকা দুটি উল্লম্ব রেখা, যা ৫ নং ছবিতে লাল কালি দিয়ে আঁকা হয়েছে। এবারে $O'$ ফ্রেম থেকে এই রডের দৈর্ঘ্য মাপতে গেলে ওই ফ্রেমের সাপেক্ষে ওর দুপ্রান্তের অবস্থান একই সময়ে মাপতে হবে, কারণ $O'$ ফ্রেমের সাপেক্ষে রডটি গতিশীল। অর্থাৎ $x'$ অক্ষের সমান্তরাল (মানে একই $ct'$ যুক্ত) কোন লাইন ওই লাল রেখাদ্বয়কে ( $O$ ফ্রেমে রডটির দুপ্রান্তের ওয়ার্ল্ড লাইন) যে দুটি বিন্দুতে ছেদ করবে তাদের মধ্যে দূরত্বই হবে $O'$ ফ্রেমে ওই রডটির দৈর্ঘ্য। এই ব্যাপারটি ৫ নং ছবিতে পরিষ্কার করে দেখানো হয়েছে।

length contraction in minkowski diagram bengali — চিত্র ৫- মিনকোভস্কি চিত্রে দৈর্ঘ্য সংকোচন।

যেহেতু $O'$ ফ্রেমে রডের দুপ্রান্তের অবস্থান একই সময়ে মাপতে হবে (অর্থাৎ $\Delta t' = 0$ ), তাই এই ফ্রেম রডের দুপ্রান্তের মাঝের স্পেস-টাইম ইন্টারভাল যদি $ds'$ হয় তবে,

$\displaystyle ds'^2 = (c\Delta t')^2 -(\Delta x')^2 = 0 - (\Delta x')^2 = -(\Delta x')^2$ (8a)

আবার ওই দুটি বিন্দুর জন্যে $O$ ফ্রেমে ইন্টারভাল $ds$ হলে,

$\displaystyle ds^2 = (c\Delta t)^2 -(\Delta x)^2$ (8b)

মিনকোভস্কি স্থানে ইন্টারভালের সমতা ব্যবহার করে,

$\displaystyle -(\Delta x')^2 = (c\Delta t)^2 -(\Delta x)^2$ (9a)

(2b) সমীকরণে তোমরা দেখেছো যে $O$ ফ্রেমে $x'$ অক্ষের জন্য $\displaystyle ct = \beta x$ । অতএব $x'$ অক্ষ বা ওর সমান্তরাল কোন রেখার জন্য,

$\displaystyle c\Delta t = \beta \Delta x$ (9b)

(9a) ও (9b) কে একত্র করে,

$\displaystyle (\Delta x')^2 = (1-\beta^2)(\Delta x)^2 implies \Delta x' = sqrt{1-v^2/c^2} \Delta x$ (10)

এখানে আবার মনে করিয়ে দেব যে আমাদের নেওয়া উদাহরণে রডটি কিন্তু $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে স্থির এবং $O'$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $v$ বেগে গতিশীল। অতএব $O'$ ফ্রেমের সাপেক্ষে চলন্ত রডের দৈর্ঘ্য রডের সাপেক্ষে স্থির $O$ ফ্রেমে ওর দৈর্ঘ্যের থেকে ছোট। তোমরা জানো এটাই বিশেষ আপেক্ষিকতায় দৈর্ঘ্য সংকোচন। যদি রডটি $O'$ ফ্রেমের সাপেক্ষে স্থির থাকতো তাহলে মিনকোভস্কি চিত্র একে দেখানো যায় যে $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে ওর দৈর্ঘ্য সংকুচিত হবে। এটা নিজেরা করে দেখ।

আজকের এই পোস্ট থেকে দেখা গেল যে মিনকোভস্কি চিত্র আইনস্টাইনের বিশেষ আপেক্ষিকতার সমস্ত খুটিনাটি বিষয়কে চিত্রানুগ ভাবে প্রকাশ (gra\phically represent) করতে সক্ষম।

মিনকোভস্কি চিত্র (Minkowski diagram)

Related

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

Leave a Reply Cancel reply