শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ সমাধান না করেও কিভাবে ওয়েভ ফাংশন আঁকা যায়?

আজ তোমাদের বলব শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান না করেও কিভাবে কোন প্রদত্ত পোটেনশিয়াল (potential) বা স্থিতিশক্তির ফাংশনের জন্য নির্দিষ্ট কোয়ান্টাম কণার ওয়েভ ফাংশন আঁকা যায়। এর ব্যবহারিক প্রয়োগই বা কি, সেটাও জানাবো। অবশ্য এই আলোচনা শুধু বাউন্ড স্টেটগিলুর জন্যই প্রযোজ্য। তবে তাতে কোন অসুবিধা নেই। স্ক্যাটারিং স্টেটের ওয়েভ ফাংশন আঁকা এমনিতেই খুব সহজ, কারণ ওগুলো বেশিরভাগ সময় প্লেন ওয়েভ। যদিও আমরা শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের স্পষ্টভাবে (explicitly) সমাধান করব না, তবুও যেহেতু কোন সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশনের সম্মন্ধে তথ্য জানার একমাত্র রাস্তা শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ তাই সেটা লিখেই আমরা আজকের আলোচনার সূত্রপাত করব। বলাই বাহুল্য যে আজকের আলোচনা একমাত্রিক সিষ্টেমের উপর ভিত্তি করে গড়া, তবে ত্রিমাত্রিক সিষ্টেমের জন্যেও এগুলোকে পরিবর্ধিত করা সম্ভব।

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Psi(x)}{dx^2} + V(x)Psi(x) = EPsi(x)$ (1)

যেখানে যথারীতি $\hbar = h/2pi$ , $h$ হল প্লাংক ধ্রুবক, $m$ হল কোন কণার ভর, $V(x)$ হল পোটেনশিয়াল ফাংশন, $Psi(x)$ কণার ওয়েভ ফাংশন ও $E$ হল মোট শক্তি। (1) নং সমীকরণকে একটু সাজিয়ে লিখলে,

$\displaystyle \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Psi(x)}{dx^2} = \left[V(x) - E \right]Psi(x)$

বা, $\displaystyle \frac{d^2Psi(x)}{dx^2} = \frac{2m}{\hbar^2}\left[V(x) - E \right]Psi(x)$ (2)

(2) নং সমীকরণ থেকে ওয়েভ ফাংশন সম্মন্ধে একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয় জানা যায়। যদি কোন বিন্দুতে কণার স্থিতিশক্তির মান $V(x)$ ওর মোট শক্তির থেকে বেশী হয়, অর্থাৎ $\left[V(x) - E\right] > 0$ হয়, তবে স্পষ্টতই $\frac{d^2Psi(x)}{dx^2} (= Psi'')$ এবং $Psi(x)$ এর চিহ্ন একই হবে। তার মানে যদি $Psi(x)$ ধনাত্মক হয়, তবে $\frac{d^2Psi(x)}{dx^2}$ ও ধনাত্মক হবে এবং যদি $Psi(x)$ ঋণাত্মক হয়, তবে $\frac{d^2Psi(x)}{dx^2}$ ও ঋণাত্মক হবে। অপরপক্ষে যদি স্থিতিশক্তি $V(x)$ ওর মোট শক্তির থেকে কম হয়, অর্থাৎ $\left[V(x) - E\right] < 0$ হয়, তাহলে $\frac{d^2Psi(x)}{dx^2}$ এর চিহ্ন $Psi(x)$ এর চিহ্নের বিপরীত হয়। এবারে আরও একটি বিষয় আমাদের খেয়াল রাখতে হবে। ক্যালকুলাস থেকে আমরা জানি যে $\frac{d^2Psi(x)}{dx^2}$ ওয়েভ ফাংশনের বক্রতা ছাড়া আর কিছুই নয়। সুতরাং কণার মোট শক্তির মানের সাথে ওর কোন বিন্দুতে ওর স্থিতিশক্তির মানের তুলনা করে আমরা ওই বিন্দুতে ওর ওয়েভ ফাংশনের বক্রতা ধনাত্মক হবে না ঋণাত্মক হবে তা নির্ণয় করতে পারি। অবশ্য সেজন্য ওই বিন্দুতে ওয়েভ ফাংশনের মান আমাদের জানতে হবে। ধনাত্মক ও ঋণাত্মক বক্রতা বলতে ঠিক কি বোঝায় তা নিচের ছবিতে দেখানো হয়েছে। অবশ্য একটু ভাবলে তোমরা এমনিতেই বুঝতে পারবে কোনটা ধনাত্মক আর কোনটা ঋণাত্মক বক্রতা। মনে রাখবে কোন রেখার বক্রতা ওই রেখার নতি পরিবর্তনের হার ছাড়া আর কিছুই নয়। ১ নম্বর ছবিতে $\frac{d^2Psi(x)}{dx^2}$ এবং $Psi(x)$ এর মানের বিভিন্ন সম্ভাব্য চিহ্নের (sign) জন্য ওয়েভ ফাংশন কেমন হবে তা দেখানো হয়েছে।

sign of wave function and curvature bengali — চিত্র ১ – (a), (b) $V(x) > E$ । তাই ওয়েভ ফাংশন ও তার বক্রতার চিহ্ন (sign) একই। (c), (d) $V(x) < E$ , ফলে ওয়েভ ফাংশন ও তার বক্রতার চিহ্ন বিপরীত।

চিত্র ১ – (a), (b) $V(x) > E$ । তাই ওয়েভ ফাংশন ও তার বক্রতার চিহ্ন (sign) একই। (c), (d) $V(x) < E$ , ফলে ওয়েভ ফাংশন ও তার বক্রতার চিহ্ন বিপরীত।

উপরের ছবিতে (a) ও (b) গ্রাঁফে $V(x) > E$ , তাই ওয়েভ ফাংশন ও তার বক্রতার চিহ্ন (sign) একই। যেমন ১(a) তে ওয়েভ ফাংশন ও তার বক্রতা দুটোই ধনাত্মক এবং ১(b) তে ওয়েভ ফাংশন ও তার বক্রতা দুটোই ঋণাত্মক। অপরপক্ষে (c) ও (d) ছবিতে ওয়েভ ফাংশন এবং তার বক্রতার চিহ্ন পরষ্পরের বিপরীত। এই তথ্যগুলি জেনে আমরা শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান না করেই শুধু পোটেনশিয়ালের গ্রাঁফ দেখেই কোন নির্দিষ্ট শক্তি সম্পন্ন কণার ওয়েভ ফাংশন কেমন হবে তা এঁকে ফেলতে পারি। তবে তার জন্য আমাদের একটি প্রারম্ভিক শর্ত প্রয়োজন। এই প্রারম্ভিক শর্ত মানে হচ্ছে কোন বিন্দুতে $Psi(x)$ ও $Psi' = dPsi(x)/dx$ এর মান। এবারে চল হাতে কলমে কয়েকটি পোটেনশিয়ালের জন্য ওয়েভ ফাংশন আঁকা যাক। প্রথমেই আমরা উদাহরণ হিসেবে সসীম কোয়ান্টাম কূপ বা ফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন বের করব। ওর জন্য পোটেনশিয়ালের ছবি নিচে ২ নং চিত্রে দেওয়া হয়েছে।

finite-potential-well-bound-state-bengali — চিত্র ২ – সসীম পোটেনশিয়াল ওয়েলের গ্রাউন্ড স্টেট ও প্রথম এক্সাইটেড স্টেট।

ওই ওয়েলের গভীরতা $V_0$ , অর্থাৎ কোয়ান্টাম ওয়েলের ভেতরে পোটেনশিয়ালের মান শূন্য ও বাইরে $V_0$ । ধরা যাক প্রারম্ভিক শর্ত হল যে $x = 0$ বিন্দুতে ওয়েভ ফাংশন ও $Psi'$ এর মান ধনাত্মক। ছবি থেকে স্পষ্ট যদি $E$ কণার শক্তি হয় তবে $x< 0$ অঞ্চলে $V(x) > E$ । সুতরাং ওই অঞ্চলে ওয়েভ ফাংশন ও তার বক্রতা দুটোরই চিহ্ন একই হবে। যেহেতু $x = 0$ বিন্দুতে ওয়েভ ফাংশনের মান ধনাত্মক, তাই $x< 0$ অঞ্চলে ওয়েভ ফাংশনের বক্রতাও ধনাত্মক। একইসাথে মনে রাখবে যে $x to -infty$ তে $Psi(x) to 0$ হল অপর আরেকটি আবশ্যক শর্ত। এই দুটি ব্যাপার মাথায় রেখে সহজেই $x<0$ জন্য ওয়েভ ফাংশন একে ফেলা যায়। কালো রেখা দিয়ে ওটা দেখানো হয়েছে ২ নং চিত্রে। অপরপক্ষে ওয়েলের ভেতরে $V(x) < E$ , সুতরাং ওখানে $Psi$ ও তার বক্রতার চিহ্ন পরষ্পরের বিপরীত হবে। যেহেতু প্রারম্ভিক শর্ত অনুসারে $Psi$ ধনাত্মক, তাই এই অঞ্চলে বক্রতা ঋণাত্মক। এটাও কালো রেখার মাধ্যমে দেখানো হয়েছে। $x<0$ এবং ওয়েলের ভেতরের ওয়েভ ফাংশন পরষ্পরের সাথে $x=0$ বিন্দুতে মসৃণভাবে জুড়ে যাবে, কারণ ওই বিন্দুতে পোটেনশিয়ালের মান সসীম, তাই ওখানে ওয়েভ ফাংশন মসৃণ হতেই হবে। এবারে আরেকটি ব্যাপার লক্ষ কর। পোটেনশিয়াল ওয়েল ওর নিজের মধ্যবিন্দুর $(x = a/2)$ মধ্যে দিয়ে যাওয়া উল্লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম। সুতরাং প্রবাবিলিটি ঘনত্বও ওই অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম হবে। এই প্রতিসমতার ধারণা ব্যবহার করে বাকি ওয়েভ ফাংশন সহজেই একে ফেলা যায়। দেখ যে $x>a$ এর জন্যেও ওয়েভ ফাংশনের বক্রতা ধনাত্মক। ২ নং ছবি থেকে আরও দেখতে পাচ্ছ যে লাল রঙ দিয়ে দেখানো ওয়েভ ফাংশনটিও প্রদত্ত প্রারম্ভিক শর্ত ও ওয়েভ ফাংশনের প্রয়োজনীয় বক্রতার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ, কিন্তু এই ওয়েভ ফাংশনের জন্য কণার যে শক্তি হবে তা কালো রেখা দিয়ে আঁকা ওয়েভ ফাংশনের জন্য কণার শক্তির থেকে বেশী হবে। কেন? কারণ কালো ওয়েভ ফাংশনটিতে একটিও নোড নেই, কিন্তু লালটিতে একটি নোড আছে। আগেই বলেছি যে কোন ওয়েভ ফাংশনে যত বেশি সংখ্যক নোড থাকে তার জন্য কণার শক্তি তত বেশী হয়। প্রকৃতপক্ষে লাল ওয়েভ ফাংশনটি সসীম কোয়ান্টাম ওয়েলের প্রথম এক্সাইটেড স্টেট। যাই হোক তোমাদের সুবিধের জন্য যেকোন প্রদত্ত পোটেনশিয়াল ও প্রারম্ভিক শর্ত ব্যবহার করে ওয়েভ ফাংশন আঁকার স্টেপ বাই স্টেপ পদ্ধতি নিচে লিখে দিচ্ছি –

১) কণার শক্তি ও পোটেনশিয়ালের মান ব্যবহার করে পোটেনশিয়ালের পুরো অঞ্চলটিকে বিভিন্ন অংশে ভাগ করে নাও। যেমন ২ নং ছবিতে পুরো পোটেনশিয়ালকে ৩ টি অঞ্চলে ভাগ করা হয়েছে – (I) $x <0$ , (II) $0\leq x\leq a$ এবং (III) $x > a$ ; (I) ও (III) নং অঞ্চলে কণার শক্তি $E < V(x)$ এবং (II) নং অঞ্চলে $E > V(x)$ ।

২) $\left[V(x) -E\right]$ এর মান ও প্রদত্ত প্রারম্ভিক শর্ত ব্যবহার করে তিনটি অঞ্চলে ওয়েভ ফাংশনের বক্রতা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হবে তা নির্ণয় কর। যেমন ২ নং ছবিতে গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশনের (কালো) জন্য প্রারম্ভিক শর্ত হল যে $x=0$ তে $Psi > 0$ । এইটা ব্যবহার করে দেখানো হয়েছে (I) নং অঞ্চলে ওয়েভ ফাংশনের বক্রতা ধনাত্মক, (II) নং অঞ্চলে বক্রতা ঋণাত্মক ও (III) নং অঞ্চলে বক্রতা ধনাত্মক।

৩) অসীমে ওয়েভ ফাংশনের মান অতি অবশ্যই শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ $Psi(xto pminfty) to 0$ ।

৪) দুটো অঞ্চলের সংযোগস্থলে বা বাউন্ডারীতে ওয়েভ ফাংশন অবশ্যই মসৃণভাবে জুড়ে যাবে। গণিতিক ভাষায় এর মানে হল যে ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ অবশ্যই কন্টিনিউয়াস বা নিরবচ্ছিন্ন হবে। এর ব্যতিক্রম হয় যদি কোন বিন্দুতে পোটেনশিয়ালের মান অসীম হয়। ২ নং ছবিতে যেহেতু সব স্থানেই পোটেনশিয়াল সসীম, তাই দেখ যে তিনটি অঞ্চলের সংযোগস্থলে ওয়েভ ফাংশন মসৃণ।

৫) ওয়েভ ফাংশনের প্রতিসমতা ব্যবহার কর। ২ নং ছবিতে যেহেতু পোটেনশিয়াল $x = a/2$ বিন্দুর মধ্যে দিয়ে অতিক্রান্ত উল্লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম, সুতরাং ওই পোটেনশিয়ালের জন্য যে প্রবাবিলিটি ঘনত্ব তৈরী হবে তাও প্রতিসম হবে ওই অক্ষের সাপেক্ষে।

wave function harmonic oscillator bengali — চিত্র ৩ – (I) ও (III) নং অঞ্চলে $V(x) -E$ এবং $Psi$ ধনাত্মক, তাই ওয়েভ ফাংশনের বক্রতাও ধনাত্মক। অপরপক্ষে (II) অঞ্চলে $V(x) -E< 0$ এবং $Psi$ ধনাত্মক, তাই বক্রতা ঋণাত্মক।

চিত্র ৩ – (I) ও (III) নং অঞ্চলে $V(x) -E$ এবং $Psi$ ধনাত্মক, তাই ওয়েভ ফাংশনের বক্রতাও ধনাত্মক। অপরপক্ষে (II) অঞ্চলে $V(x) -E< 0$ এবং $Psi$ ধনাত্মক, তাই বক্রতা ঋণাত্মক।

উপরোক্ত পাঁচটি নির্দেশিকা ব্যবহার করে চল আরও দুটি পোটেনশিয়ালের জন্য ওয়েভ ফাংশন আঁকা যাক। ৩ নং ছবিতে দেখানো পোটেনশিয়ালের জন্য দেখ যে কণার শক্তি $E$ হলে পুরো পোটেনশিয়ালকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করা যায় – (I) $x < x_1$ , (II) $x_1 \leq x \leq x_2$ এবং (III) $x > x_2$ । (I) ও (III) নং অঞ্চলে $\left[V(x) -E\right] > 0$ এবং (II) নং অঞ্চলে $\left[V(x) -E\right] < 0$ । প্রারম্বিক শর্ত হল যে $x=x_1$ তে $Psi > 0$ । সুতরাং (I) ও (III) নং অঞ্চলে ওয়েভ ফাংশনের বক্রতা ধনাত্মক ও মাঝের (II) নং অঞ্চলে তা ঋণাত্মক হবে। এবারে উপরের পাঁচটি নির্দেশিকা মনে রেখে খুব সহজেই একে ফেলা যায় গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন, যা ৩ নং ছবিতে দেখনো হয়েছে। আসলে এই পোটেনশিয়ালটির জন্য ওয়েভ ফাংশন দেখতে অনেকাংশে সসীম কোয়ান্টাম ওয়েলের মতই। কিন্তু বহিরঙ্গের এই সাদৃশ্য থাকলেও আসলে ওদের সত্যিকারের ওয়েভ ফাংশনের গাণিতিক রূপে কিন্তু বিস্তর ফাঁরাক আছে। উল্লেখ্য যে এইরকম পোটেনশিয়ালের একটি উদাহরণ হারমোনিক অসিলেটর পোটেনশিয়াল।

wave-function of double quantum well bengali — চিত্র ৪ – ডাবল কোয়ান্টাম ওয়েলের গ্রাউন্ড স্টেট (কালো) ও প্রথম এক্সাইটেড স্টেট (লাল)।

তৃতীয় এবং শেষ উদাহরণ হল ফাইনাইট ডাবল কোয়ান্টাম ওয়েল বা সসীম জোড়া কোয়ান্টাম কূপ যা ৪ নং ছবিতে দেখানো হয়েছে। স্পষ্টতই এক্ষেত্রে কণার শক্তি $E$ এর জন্য পুরো পোটেনশিয়ালটিকে পাঁচটি অংশে চিহ্নিত করা যায়। এখানেও প্রারম্ভিক শর্ত $x=0$ তে $Psi > 0$ । তাহলে দেখতেই পাচ্ছ যে (I) ও (II) নং অঞ্চলের জন্য গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন সসীম কোয়ান্টাম ওয়েলের (২ নং ছবি) মতই হবে। সুতরাং $x =a$ বিন্দুতে ওয়েভ ফাংশন হবে ধনাত্মক। এর থেকে বোঝা যায় যে (III) নং অঞ্চলে ওর বক্রতা অতি অবশ্যই ধনাত্মক হবে, কারণ এখানে $\left[V(x) -E\right] > 0$ (যেহেতু এটা গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন তাই কোন নোড থাকতে পারেনা, অর্থাৎ এই অঞ্চলে $Psi(x) <0$ সম্ভব নয়)। ফলে $x = a+b$ বিন্দুতেও ওয়েভ ফাংশন ধনাত্মক। আবার (IV) নং অঞ্চলে যেহেতু $\left[V(x) -E\right] < 0$ এবং $x = a+b$ বিন্দুতে ওয়েভ ফাংশন ধনাত্মক, তাই ওর বক্রতা ওই অঞ্চলে ঋণাত্মক। সুতারাং ওয়েভ ফাংশনের মসৃণতা খেয়াল রেখে গ্রাউন্ড স্টেটের জন্য ওয়েভ ফাংশন ছবিতে কালো রেখার মাধ্যমে যেরকম দেখানো হয়েছে সেরকম হবে। (V) নং অঞ্চলের জন্যেও ওয়েভ ফাংশন সসীম কোয়ান্টাম ওয়েলের (২ নং ছবি) মতই হবে। দেখ যে ওয়েভ ফাংশনটি পোটেনশিয়ালের প্রতিসমতা মেনে চলে। ওই একই ছবিতে লাল রেখার মাধ্যমে প্রথম এক্সাইটেড স্টেটও দেখানো হয়েছে। লক্ষ্য করে দেখ যে এই ওয়েভ ফাংশনটিও উপরের ৫ টি নির্দেশিকার সবকটি মেনে চলে। উপরন্তু এটাতে একটি নোড আছে। তাই এই এক্সাইটেড স্টেটের জন্য (III) নং অঞ্চলের অর্ধেকটায় ওয়েভ ফাংশন ও বক্রতা ধনাত্মক এবং বাকি অর্ধেকটায় ওয়েভ ফাংশন ও বক্রতা দুইই ঋণাত্মক।

তোমাদের মনে হয়তো প্রশ্ন জাগছে যে এইভাবে কোন প্রদত্ত পোটেনশিয়ালের জন্য ওয়েভ ফাংশন একে কি লাভ? এর উত্তর হচ্ছে একবার ওয়েভ ফাংশন আঁকতে পারলে তাকে গাণিতিক ফাংশনের মাধ্যমেও প্রকাশ করা যায়। আর এই গাণিতিক ফাংশন ব্যবহার করে “ভ্যারিয়েশনাল মেথড (variational method)” নামের একটি পদ্ধতির সাহায্যে ওই সিস্টেমের গ্রাউন্ড স্টেটের সত্যিকারের ওয়েভ ফাংশন ও শক্তি প্রায় সঠিকভাবে বের করা যায়। একটি উদাহরণ দিচ্ছি। ৩ নম্বর ছবিতে দেখানো পোটেনশিয়ালটি মূলত হারমোনিক অসিলেটরের পোটেনশিয়াল। ওই ছবি থেকেই দেখ যে গ্রাউন্ড স্টেটের জন্য যে ওয়েভ ফাংশনটি আঁকা হয়েছে তা দেখতে একটি গাউসিয়ান ফাংশনের মত। আমরা এই গাউসিয়ানকে গাণিতিক ভাষায় এভাবে লিখব,

$\displaystyle \phi(x) = Ae^{-\alpha x^2}$ (3)

যেখানে $A$ হল নর্মালাইজেশন ধ্রুবক ও $\alpha$ একটি অজানা রাশি যাকে বলা হয় ভ্যারিয়েশনাল প্যারামিটার। ভ্যারিয়েশনাল মেথডে মূলত $\alpha$ -এর মান পরিবর্তন করে দেখা হয় যে ওর কোন মানের জন্য (3) নং সমীকরণের ওয়েভ ফাংশন থেকে প্রাপ্ত শক্তি ন্যুনতম হয়। এই ন্যুনতম শক্তিই ওই পোটেনশিয়ালের জন্য কণার গ্রাউন্ড স্টেট এনার্জির প্রায় সমান হয়। তোমরা জানো হারমোনিক অসিলেটরের জন্য হ্যামিল্টোনিয়ান $H$ ,

$\displaystyle H = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)$

$\displaystyle =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}kx^2$ (4)

যেখানে $k$ হল হারমোনিক অসিলেটরের বল ধ্রুবক। তাহলে (3) নং ওয়েভ ফাংশনযুক্ত কণার গড় শক্তি যদি $E$ হয় তবে,

$\displaystyle E = \frac{\int_{-infty}^{infty} \phi^*H \phi dx}{\int_{-infty}^{infty} \phi^* \phi dx}$ (5)

(3) ও (4) নং সমীকরণ থেকে $\phi$ ও $H$ এর মান বসিয়ে,

$\displaystyle E = \frac{\int_{-infty}^{infty} e^{-\alpha x^2} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} +\frac{1}{2}k x^2 \right) e^{-\alpha x^2} dx}{\int_{-infty}^{infty}e^{-2\alpha x^2} dx}$

$\displaystyle = \frac{\alpha \hbar^2}{2m} + \frac{k}{8\alpha}$

এবার আমাদের বের করতে হবে $\alpha$ -র কোন মানের জন্য শক্তির মান সর্বনিম্ন হয়। তার জন্য $E$ কে আমরা $\alpha$ -র সাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করব,

$\displaystyle \frac{dE}{d\alpha} =0 implies \alpha = \frac{sqrt{mk}}{2\hbar}$

তোমরা জানো, যে যদি হারমোনিক অসিলেটরের কম্পাঙ্ক $omega$ হয় তবে, $k = momega^2$ । সুতরাং,

$\displaystyle \alpha = \frac{momega}{2\hbar}$

সুতরাং, কণার শক্তি,

$\displaystyle E = \frac{\alpha \hbar^2}{2m} + \frac{k}{8\alpha}$

$\displaystyle = \frac{\hbaromega}{4} + \frac{momega^2}{8momega/2\hbar} = \frac{1}{2}\hbaromega$

আশা কারি যে তোমাদের মনে আছে হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেটে শক্তির মান এটাই। (3) নং সমীকরণে $\alpha$ -র মান বসিয়ে সত্যিকারের গ্রাউন্ড স্টেটের ওয়েভ ফাংশন,

$\displaystyle \phi(x) = Ae^{-\frac{momega}{2\hbar}x^2}$

এটাও হারমোনিক অসিলেটরের সঠিক গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন। সুতরাং দেখতে পেলে যে প্রদত্ত পোটেনশিয়ালের জন্য ওর ওয়েভ ফাংশন আঁকতে পারলে সেটা ব্যবহার করে ওই পোটেনশিয়ালের জন্য সত্যিকারের গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন ও শক্তির মান বের করা যায়। আজ এপর্যন্তই রইল। ভালো থেকো।

শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ সমাধান না করেও কিভাবে ওয়েভ ফাংশন আঁকা যায়?

Related

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

Leave a Reply Cancel reply