প্রশ্নোত্তরঃ গ্রহ, উপগ্রহের কক্ষপথ উপবৃত্তাকার হয় এর প্রমাণ টি কী ?

এটা আমাদের এক পাঠকবন্ধুর করা প্রশ্নের উত্তর। গ্রহ উপগ্রহের কক্ষপথ যে উপবৃত্তাকার হয় সেটা প্রমান করতে গেলে নিউটনের মহাকর্ষ বলের প্রভাবে ওদের গতির সমীকরণ সমাধান করতে হবে। সেই কাজটি করার অপেক্ষাকৃত সহজ রাস্তা হল অয়লার-ল্যাগরেঞ্জ সমীকরণ ব্যবহার করা। সেজন্য প্রথমেই কক্ষপথে বিচরণশীল একটি $m$ ভরবিশিষ্ট গ্রহের গতির ল্যাগরেঞ্জিয়ান লিখতে হবে। ধরা যাক সূর্যের ভর $M$ এবং সূর্য আমাদের কোঅর্ডিনেট ফ্রেমের মূলবিন্দুতে অবস্থিত। যেহেতু সূর্যের ভর গ্রহের ভরের থেকে বহুগুণ বেশি হয় তাই আমরা সূর্যের গতি অগ্রাহ্য করব। কোন মূহুর্ত $t$ তে গ্রহের অবস্থান যদি পোলার স্থানাঙ্কে $(r,theta)$ এবং কার্টেজিয়ান স্থানাঙ্কে $(x,y)$ হয় তবে ওর গতিশক্তি $(T)$ ,

$\displaystyle T = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m (dot{x}^2 + dot{y}^2)$ ……..(1)

যেখানে কোন রাশির একটি উপর ডট চিহ্ন সময়ের সাপেক্ষে ওই রাশির প্রথম ডেরিভেটিভ প্রকাশ করে। আবার যেহেতু $x = r text{cos } theta , y = r text{sin } theta$ , তাই,

$\displaystyle dot{x} = dot{r} text{cos } theta - r text{sin } theta dot{theta}$

$\displaystyle dot{y} = dot{r} text{sin } theta + r text{cos } theta dot{theta}$

$\displaystyle (dot{x}^2 + dot{y}^2) = dot{r}^2 + r^2dot{theta}^2$ ………… (2)

নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র অনুসারে কক্ষপথে গ্রহটির স্থিতিশক্তি $\displaystyle V = -\frac{GMm}{r}$ ………… ……(3)

$G$ হল গিয়ে সর্বজনীন মহাকর্ষ ধ্রুবক। অতএব গ্রহটির গতির ল্যাগরেঞ্জিয়ান $L$ ,

$\displaystyle L = T - V = \frac{1}{2}m dot{r}^2 + \frac{1}{2}m r^2dot{theta}^2 + \frac{GMm}{r}$ …………….. (4)

ল্যাগরেঞ্জিয়ানে দুটি কোঅর্ডিনেট আছে, $r$ এবং $theta$ । তাই আমাদের দুটো অয়লার ল্যাগরেঞ্জ সমীকরণ লিখতে হবে।

$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial dot{r}} \right) - \frac{\partial L}{\partial r}= 0$ …………….. (5a)

$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial dot{theta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial theta}= 0$ ………………. (5b)

(4) নম্বর সমীকরণ থেকে

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial dot{r}} = \frac{1}{2}.m2dot{r}, \frac{\partial L}{\partial r} = \frac{1}{2}m.2r. dot{theta}^2 - \frac{GMm}{r^2}$ ….[মনে রাখবে এগুলো পার্শিয়াল বা আংশিক ডেরিভেটিভ।]

এবারে (5a) ব্যবহার করলে,

$\displaystyle \frac{d}{dt}(mdot{r}) -\frac{1}{2}m.2r. dot{theta}^2 + \frac{GMm}{r^2}=0$

বা, $\displaystyle mddot{r} - mrdot{theta}^2 + \frac{GMm}{r^2} = 0$ ………… (6a) যেখানে [ $ddot{r} = \frac{ddot{r}}{dt}$ ]

(4) ও (5b) ব্যবহার করে,

$\displaystyle mr^2ddot{theta} = 0$ ……………. (6b)

দুটি ডট চিহ্ন সময়ের সাপেক্ষে দুবার ডেরিভেটিভ প্রকাশ করে। এবারে প্রথমে চল (6b) ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান করা যাক।

$\displaystyle mr^2ddot{theta} = mr^2 \frac{d dot{theta}}{dt}=0$

বা, $\displaystyle mr^2 dot{theta} = l$ …………… (7)

যেখানে $l$ হল একটি ধ্রুবক। (7) নং সমীকরণ থেকে বুঝতেই পারছ যে $l$ প্রকৃতপক্ষে গ্রহটির কৌণিক ভরবেগ, কারণ $dot{theta}$ মূলত কৌণিক গতিবেগ। (7) নম্বর সমীকরণ থেকে $dot{theta}$ এর মান (6a) তে বসিয়ে,

$\displaystyle mddot{r} - \frac{l^2}{mr^3} + \frac{GMm}{r^2} = 0$ ………… (8)

মনে কর $u = 1/r$ , তাহলে,

$\displaystyle \frac{du}{dtheta} = - \frac{1}{r^2}\frac{dr}{dt}\frac{dt}{dtheta} = - \frac{1}{r^2}\frac{dr}{dt} \frac{1}{dot{theta}}$ ,

বা, $\displaystyle dot{r} =\frac{dr}{dt} = - r^2dot{theta} \frac{du}{dtheta} = -\frac{l}{m} \frac{du}{dtheta}$

বা, $\displaystyle \frac{du}{dtheta} = - \frac{m}{l}dot{r}$

বা, $\displaystyle \frac{d^2u}{dtheta^2} = - \frac{d}{dtheta}\left(\frac{m}{l}dot{r} \right) = - \frac{d}{dt}\left(\frac{m}{l}dot{r} \right) \frac{dt}{dtheta} = - \frac{m}{l}ddot{r}\frac{1}{dot{theta}}$

বা, $\displaystyle \frac{d^2u}{dtheta^2} = -\frac{m}{l} ddot{r} \frac{m}{lu^2} = -\frac{m^2}{l^2u^2} ddot{r}$

বা, $\displaystyle ddot{r} = - \frac{l^2u^2}{m^2}\frac{d^2u}{dtheta^2}$ ……….. (9)

(8) ও (9) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে,

$\displaystyle - \frac{l^2u^2}{m}\frac{d^2u}{dtheta^2} - \frac{l^2 u^3}{m} + GM\mu^2 = 0$

বা, $\displaystyle \frac{d^2u}{dtheta^2} + u = \frac{GMm^2}{l^2}$

বা, $\displaystyle \frac{d^2u}{dtheta^2} = -\left(u - \frac{GMm^2}{l^2}\right)$

এটা সরল দোলগতির সমীকরণ যার সাম্যবিন্দুর অবস্থান $u = \frac{GMm^2}{l^2}$ । অতএব এই সমীকরণের সমাধান,

$\displaystyle u - \frac{GMm^2}{l^2} = -A text{cos } (theta -theta_0)$ .. [ $A$ এবং $theta_0$ হল ধ্রুবক]

বা, $\displaystyle u = \frac{GMm^2}{l^2} \left[1 - e text{cos } (theta -theta_0)\right]$

বা, $\displaystyle \frac{1}{r} = \frac{GMm^2}{l^2} \left[1 - e text{cos } (theta -theta_0)\right]$ ………………. (10)

এটা একটা কণিক সেকশনের সমীকরণ যার উৎকেন্দ্রিকতা $\displaystyle e = \frac{Al^2}{GMm^2}$ এবং ফোকাস বিন্দু সূর্য, যা একই সাথে কোঅর্ডিনেট ফ্রেমের মূলবিন্দুও বটে। যদি $latex 01$ হয় তবে হাইপারবোলা হবে। যেহেতু গ্রহগুলির কক্ষপথ ক্লোজড বা আবদ্ধ, তাই একমাত্র সম্ভাব্য কক্ষপথের আকার হতে পারে উপবৃত্তকার (প্যারাবোলা এবং হাইপারবোলা ক্লোজড কক্ষপথ নয়)। বৃত্তাকার কক্ষপথ উপবৃত্তের একটি বিশেষ রূপ যখন $e =0$ । যেহেতু বৃত্তাকার কক্ষপথ উৎকেন্দ্রিকতার কেবল একটা নির্দিষ্ট মানের জন্যেই সম্ভব তাই সেটা হবার সম্ভাবনা প্রায় নগন্য। একটি ছোট উদাহরণ দিলে ব্যাপরটি পরিষ্কার হতে পারে। পয়লা বৈশাখ জন্ম হয়েছে এরকম লোকের সংখ্যা প্রচুর, পয়লা বৈশাখ বেলা দশটা নাগাদ জন্ম হয়েছে এমন লোকের সংখ্যা খানিক কম হবে, পয়লা বৈশাখ বেলা দশটা বেজে দশ মিনিটে জন্ম হয়েছে এরকম লোকের সংখ্যা আরও কম এবং পয়লা বৈশাখ ঠিক বেলা দশটা বেজে দশ মিনিট দশ সেকেন্ডে জন্ম হয়েছে এরকম লোকের সংখ্যা নগন্য। তেমনি $e$ এর মান শূন্য থেকে এক মধ্যে হবার সম্ভাবনা, exactly শূন্য হবার সম্ভাবনা থেকে অনেক অনেক বেশি। তাই প্রকৃতিতে বৃত্তাকার কক্ষপথ প্রায় দেখাই যায়না। অর্থাৎ গ্রহ বা উপগ্রহের (ক্লোজড) কক্ষপথ সর্বদা উপবৃত্তাকার।

চিত্র ১ - উপবৃত্তাকার কক্ষপথে গ্রহ। ফোকাস বিন্দুতে সূর্য অবস্থিত যা একইসাথে কোঅর্ডিনেত ফ্রেমের মূলবিন্দুও বটে। — চিত্র ১ – উপবৃত্তাকার কক্ষপথে গ্রহ। ফোকাস বিন্দুতে সূর্য অবস্থিত যা একইসাথে কোঅর্ডিনেত ফ্রেমের মূলবিন্দুও বটে।

আর একটূ অংক কষে আমরা উপবৃত্তাকার কক্ষপথের সূর্য থেকে দূরতম বিন্দুর দূরত্ব (aphelion $r_a$ ) এবং সূর্য থেকে নিকটতম বিন্দুর দূরত্বের (perihelion $r_p$ ) মাধ্যমে উৎকেন্দ্রিকতার মান বের করতে পারি। তার জন্য প্রথমেই আমরা (10) নম্বর সমীকরণের একটু পরিবর্তন করব। আমার যদি এমনভাবে প্রারম্ভিক শর্ত সেট করি যে $theta_0=0$ হয় তবে গ্রহের কক্ষপথের সমীকরণ,

$\displaystyle \frac{1}{r} = \frac{GMm^2}{l^2} \left[1 - e text{cos } theta \right]$

ছবি থেকে স্পষ্ট যে aphelion বা দূরতম বিন্দুর জন্য $r = r_a, theta = 0$ , অতএব,

$\displaystyle \frac{1}{r_a} = \frac{GMm^2}{l^2} \left[1 - e \right]$ ………….. (11)

আবার perihelion বা নিকটতম নিম্দুর জন্য $r = r_p, theta = pi$ , অতএব,

$\displaystyle \frac{1}{r_p} = \frac{GMm^2}{l^2} \left[1 + e \right]$ ………………………… (12)

(11) ও (12) নম্বর সমীকরণদুটির সমাধান করে আমারা কৌণিক ভরবেগ ও উৎকেন্দ্রিকতার মান বের করতে পারি। সমাধান করে (নিজেরা করে দেখ),

$\displaystyle e = \frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}$ ……………… (13)

4 thoughts on “প্রশ্নোত্তরঃ গ্রহ, উপগ্রহের কক্ষপথ উপবৃত্তাকার হয় এর প্রমাণ টি কী ?”

মাথা মোটা says:

June 2, 2014 at 5:46 pm

4 এবং 5(a) ব্যবহার করে 6(a) পাওয়ার পক্রিয়াটা আরো একটু বিশদে দেখানো যায় কি?

1. admin says:
  
  June 2, 2014 at 7:01 pm
  
  অবশ্যই।
  
  1. মাথা মোটা says:
    
    June 2, 2014 at 8:54 pm
    
    অনেক ধন্যবাদ 🙂 ব্যাপারটা বুঝতে পারেছি
    
শুভদীপ সামন্ত says:

July 1, 2014 at 2:24 pm

ব্যাপারটা বোঝানোর জন্য অনেক ধন্যবাদ ।

প্রশ্নোত্তরঃ গ্রহ, উপগ্রহের কক্ষপথ উপবৃত্তাকার হয় এর প্রমাণ টি কী ?

Related

4 thoughts on “প্রশ্নোত্তরঃ গ্রহ, উপগ্রহের কক্ষপথ উপবৃত্তাকার হয় এর প্রমাণ টি কী ?”

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

4 thoughts on “প্রশ্নোত্তরঃ গ্রহ, উপগ্রহের কক্ষপথ উপবৃত্তাকার হয় এর প্রমাণ টি কী ?”

Leave a Reply Cancel reply