প্রশ্নোত্তরঃ ভেক্টরের গুণফল, লব্ধি এবং তড়িৎ ও চুম্বক বলরেখা

১. প্রশ্ন: ভেক্টরের ডট গুননে কেন আমরা ব্যাবহার করি, আমরা SIN বা TAN কেন করিনা? একইভাবে ক্রস গুননে কেন ব্যাবহার করি? আবার লব্ধির দিক নির্নয়ে কেন ব্যাবহার করি? ৩ই বিষয় গুলো ৩কটু চিত্র সহ বিস্তারিত আলোচনা করলে উপকৃত হতাম।

উঃ ডট গুণনে কেন ব্যবহার করা হয় সেটা বুঝতে হলে জানতে হবে কোথায় কোথায় ডট গুণন ব্যবহার করা হয়। ডট গুণনের মূখ্য ব্যবহার হল কোন ভেক্টরের উপর অপর ভেক্টরের প্রোজেকশন বা অভিক্ষেপ নির্ণয় করা। মনে কর এবং হল দুটি ভেক্টর। আমাদের উদ্দেশ্য হল ভেক্টরের উপর এর অভিক্ষেপ নির্ণয় করা। তার জন্য আমরা এর শীর্ষবিন্দু থেকে এর উপর একটি উল্লম্ব রেখা আঁকব। যদি ওই রেখা ভেক্টরকে বিন্দুতে ছেদ করে তবে ভেক্টর হল ভেক্টরের উপর এর অভিক্ষেপ। লক্ষ্য কর যে একটি সমকোণী ত্রিভুজ। যদি এবং এর মাঝের কোণ হয় তবে

যেহেতু এই ভেক্টরের অভিমুখ ভেক্টরের দিকে, তাই এর অভিমুখে একক ভেক্টর দিয়ে কে গুণ করলেই আমরা ভেক্টরের উপর এর অভিক্ষেপ বের করে ফেলব। অতএব,

যেখানে, হল ও ডট গুণন। অতএব দেখছ যে একটি ভেক্টরের উপর অপর ভেক্টরের অভিক্ষেপ বের করতে ডট গুণ ব্যবহৃত হয়, আর সে প্রয়োজনেই ডট গুণনে ব্যবহার করা হয়েছে।

একটি উদাহরণ দেওয়া যেতে পারে। মনে কর একটি পাথরকে অক্ষ বরাবর নিয়ে যেতে হবে। যদি ওর উপরে তুমি অক্ষ বরাবর বল প্রয়োগ কর তাহলে ওই পাথর মোটেই অক্ষ বরাবর নড়বে না। এটা খুব স্বাভাবিক ভাবেই বোঝা যায় যে অক্ষ বরাবর পাথরটিকে নিয়ে যেতে হলে তুমি যদি অক্ষ বরাবর বল প্রয়োগ কর তবেই কাজটি সব থেকে সহজ হবে। সাধারণভাবে যদি অক্ষের সাথে কোণে বল প্রয়োগ কর তবে কেবল পরিমাণ বলই ওই পাথরকে অক্ষ বরাবর নিয়ে যেতে কাজে লাগবে। এই জন্যেই বলা হয় যে প্রযুক্ত বলের প্রভাবে যদি বস্তুর সরণ হয় তবে বলের দ্বারা কৃতকার্যের পরিমান । এটাই হল ডট গুণনে ব্যবহারের যৌক্তিকতা। মনে রাখবে ডট গুণনকে স্কেলার গুণনও বলা হয় কারণ এই গুণফল একটি স্কেলার রাশি। যেমান কৃতকার্য একটি স্কেলার রাশি।

এবারে ক্রস গুণনের কথা আলোচনা করা যাক। ক্রস গুণন সাধারণত ব্যবহার করা হয় দুটি ভেক্টর দ্বারা আবদ্ধ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল বের করতে। ২ নং ছবিতে এরকম একটি সামন্তরিক দেখানো হয়েছে। তোমরা জানো যে সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল হল ভূমি ও উচ্চতার গুণফল। ২ নং ছবিতে উচ্চতা হল এবং ভূমি হল । অতএব সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল । এই জন্যেই ক্রস গুণনে চলে আসে। প্রসঙ্গত উল্লেখ্য যে ক্রস গুণনের গুণফল হল একটি ভেক্টর রাশি। এর মানের সাথে সাথে একটি নির্দিষ্ট অভিমুখও থাকে যা ডানহাতি স্ক্রু-এর নিয়ম ব্যবহার করে বের করা যায়। ক্রস গুণনের একটি ব্যবহারিক প্রয়োগ হল রেঞ্চ দিয়ে নাট-বোল্ট খোলা। তোমার ব্যবহারিক অভিজ্ঞতা থেকে তুমি জানো যে সবথেকে সহজে নাট খুলতে হলে তোমাকে রেঞ্চের সঙ্গে সমকোণে বল প্রয়োগ করতে হবে, আর যদি তুমি রেঞ্চের দৈর্ঘ্য বরাবর বল প্রয়োগ কর তবে তুমি যতই বল প্রয়োগ কর না কেন, নাট খুলবে না। এটা হয় টর্কের (torque) রাশিমালায় -এর উপস্থিতির জন্য (টর্ক হল বল ও দূরত্বের ক্রস গুণন)।

দুটি ভেক্টরের লব্ধিতে কেন থাকে সেটা বোঝাও খুব সহজ। ৩ নং ছবি থেকে দেখ যে এবং ভেক্টরের লব্ধি ওই দুটি ভেক্টর দিয়ে আবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের কর্ণ বরাবর অবস্থিত। যদি লব্ধি ও এর মাঝের কোণ হয় তবে সহজ ত্রিকোণমিতি থেকে স্পষ্ট যে, ।

৩. তড়িৎ ও চৌম্বক বলরেখা কি?

উঃ তড়িৎ বা চৌম্বক ক্ষেত্রের বলরেখা বলতে এমন কিছু রেখা বোঝায় যাদের উপর কোন বিন্দুতে স্পর্শক টানলে সেই স্পর্শক ওই বিন্দুতে তড়িৎ বা চৌম্বক ক্ষেত্রের অভিমুখ নির্দেশ করে এবং ওই বিন্দুতে ওই রেখাদের ঘনত্ব (একক আয়তনে রেখার সংখ্যা) তড়িৎ বা চৌম্বক ক্ষেত্রের মান বোঝায়। অর্থাৎ তড়িৎ ও চৌম্বক বলরেখা মূলত তড়িৎ ও চৌম্বক ক্ষেত্রের ভেক্টর প্রকৃতির প্রকাশ মাত্র। কোন তড়িৎ ক্ষেত্রে যদি একটি ধনাত্মক একক মাত্রার আধানকে অবাধে চলতে দেওয়া হয় তবে তা ওই তড়িৎ ক্ষেত্রের বলরেখা বরাবর চলবে। একইভাবে কোন চৌম্বক ক্ষেত্রের কোন বিন্দুতে যদি একটি খুব ক্ষুদ্র চুম্বক রেখে দেওয়া হয় তবে তা ওই বিন্দুতে চৌম্বক বলরেখা বরাবর নিজেকে বসিয়ে নেবে। প্রতিটি বলরেখাকে উল্লম্বভাবে ছেদ করে এমন রেখা এবং তলের প্রতিবিন্দুতে তড়িৎ বিভব সমান। এদেরকে বলা হয় সমবিভব সম্পন্ন রেখা ও তল (equipotential surface or line)।

তড়িৎ চুম্বক বলরেখা সম্মন্ধে আরও জানতে হলে তোমাদের অবশ্যই পড়তে হবে Resnick ও Halliday -এর লেখা এই বইটি।