ব্রা-কেট চিহ্ন ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে তার ব্যবহার – ২

ব্রা-কেট চিহ্ন সম্পর্কে কিছু আলোচনা এর পূর্বের পোস্টে করা হয়েছিল। এই পোস্টে ব্রা-কেট চিহ্ন ও তার ব্যবহার সম্পর্কে আরও কিছু তথ্য দিচ্ছি। ব্রা ও কেট নিয়ে যেকোনো গণনার সময় খেয়াল রাখতে হয় যে উপযুক্ত হিলবার্ট স্পেসে ব্রা হল রো মেট্রিক্স, কেট হল কলাম মেট্রিক্স এবং অপারেটর হল স্কোয়ার মেট্রিক্স। আমরা দেখেছি কিভাবে ব্রা-কেট চিহ্নের মাধ্যমে দুটি কেট বা কোয়ান্টাম স্টেট ভেক্টরের ইনার প্রোডাক্ট বা স্কেলার গুণ প্রকাশ করা হয়। এখানে আমরা ব্রা ও কেটের অপর এক ধরনের গুণনের কথা বলব যা আউটার প্রোডাক্ট নামে পরিচিত। ইনার প্রোডাক্ট নির্ণয়ের সময় কেটের সাথে বামদিক থেকে ব্রা দিয় গুণ করা হয়। ব্রা ভেক্টর রো মেট্রিক্স এবং কেট ভেক্টর কলাম মেট্রিক্স হওয়ায় এই গুণের ফলে একটি স্কেলার রাশি পাওয়া যায়; আর তাই ইনার প্রোডাক্ট স্কেলার গুণন বা প্রোডাক্ট নামেও পরিচিত। আউটার প্রোডাক্টের সময় কেট ভেক্টরকে ডানদিক থেকে ব্রা ভেক্টর দিয়ে গুণ করা হয়। লক্ষ্য কর, যেহেতু কেট ও ব্রা ভেক্টর যথাক্রমে কলাম ও রো মেট্রিক্স, তাই এই আউটার গুণনের ফলে অপর একটি স্কোয়ার মেট্রিক্স তৈরি হয়। উদাহরণস্বরূপ যদি দ্বিমাত্রিক হিলবার্ট স্পেসে কোন নির্দিষ্ট বেসিস ভেক্টরের সাপেক্ষে,

ব্রা-কেট চিহ্ন ও আউটার প্রোডাক্ট

$\displaystyle |\phi_{m}\rangle = \left( begin{matrix} z_1 \ z_2 end{matrix}\right)$

এবং

$\displaystyle \langle \phi_n | = \left( begin{matrix} z_3 & z_4 end{matrix}\right)$

এবং ওদের আউটার প্রোডাক্ট,

$\displaystyle |\phi_{m}\rangle \langle \phi_m | = \left( begin{matrix} z_1 \ z_2 end{matrix}\right) \left( begin{matrix} z_3 & z_4 end{matrix}\right) = \left( begin{matrix} z_1z_3 & z_1z_4 \ z_2z_3 & z_2z_4 end{matrix} \right)$

অর্থাৎ $2$ উপাদানবিশিষ্ট কেট ও $2$ উপাদানবিশিষ্ট ব্রা-এর আউটার গুণফল একটি $2times 2$ মেট্রিক্স। একইভাবে $n$ -মাত্রিক হিলাবার্ট স্পেসে $n$ উপাদানবিশিষ্ট কেট ও $n$ উপাদানবিশিষ্ট ব্রা-এর আউটার গুণফল একটি $ntimes n$ স্কোয়ার মেট্রিক্স। এর আগের পোস্টে দেখেছো যে $n$ -মাত্রিক হিলাবার্ট স্পেসে অপারেটরও মূলত $ntimes n$ স্কোয়ার মেট্রিক্স। অতএব একজোড়া ব্রা ও কেটের আউটার প্রোডাক্ট ব্যবহার করে কোয়ান্টাম মেকানিক্সে অপারেটর সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব। মনে কর $|\alpha \rangle$ এবং $|\beta\rangle$ দুটি স্টেট কেট এবং ওদের আউটার প্রোডাক্ট $X = |\alpha \rangle \langle \beta|$ । যদি এই আউটার প্রোডাক্ট অপর একটি স্টেট কেট $|\psi\rangle$ এর উপর প্রয়োগ করা হয় তবে,

$\displaystyle X|\psi\rangle = |\alpha \rangle \langle \beta|\psi\rangle$

$\langle \beta|\psi\rangle$ হল মূলত $\beta$ এবং $|\psi\rangle$ কেটের ইনার প্রোডাক্ট, যার মান একটি জটিল রাশি $z$ । অতএব,

$\displaystyle X|\psi\rangle = |\alpha \rangle . z = z|\alpha \rangle$

$\displaystyle \langle \psi | X = \langle \psi |\alpha \rangle \langle \beta| = c \langle \beta|$

যেখানে, $c = \langle \psi |\alpha \rangle$ । অতএব একটি স্টেট ব্রা -এর উপর ডানদিক থেকে $X = |\alpha \rangle \langle \beta|$ প্রয়োগ করলে অপর একটি ব্রা তৈরি হয়।

আগেই বলেছি ব্রা হল কেটের হার্মিশিয়ান কনজুগেট এবং কেট হল ব্রায়ের হার্মিশিয়ান কনজুগেট। একটি কেটের $(\alpha)$ উপর অপারেটর $O$ প্রয়োগ করলে অপর একটি কেট $O|\alpha \rangle$ উৎপন্ন হয়। এই উৎপন্ন নতুন কেটের হার্মিশিয়ান কনজুগেট হবে,

$\displaystyle [O|\alpha \rangle]^{\dagger} = [|\alpha \rangle]^{\dagger}O^{\dagger} = \langle \alpha | O^{\dagger}$

[বিঃদ্রঃ – এটা কিভাবে এল বুঝতে গেলে মেট্রিক্স সম্মন্ধে সম্মক জ্ঞান থাকা আবশ্যক। মনে রাখবে যদি $A$ এবং $B$ দুটি গুণনের উপযুক্ত মেট্রিক্স হয় তবে, $(A.B)^{\dagger} = [(A.B)^*]^T = [A^*. B^*]^T = (B^*)^T.(A^*)^T = B^{\dagger}.A^{\dagger}$ ।]

$O^{\dagger}$ হল $O$ অপারেটরের হার্মিশিয়ান কনজুগেট। $X = |\alpha \rangle \langle \beta|$ অপারেটরের হার্মিশিয়ান কনজুগেট

$X^{\dagger} = (|\alpha \rangle \langle \beta|)^{\dagger} = [\langle \beta|]^{\dagger}[|\alpha \rangle]^{\dagger} = |\beta\rangle \langle \alpha |$

ব্রা-কেট সম্প্রসারণ

এবারে স্টেট কেট কিভাবে বিভিন্ন বেসিসে লেখা হয় ও তার থেকে কিভাবে ওয়েভ ফাংশন পাওয়া যায় সেটা আলোচনা করছি। কোন নির্দিষ্ট $n$ মাত্রিক হিলবার্ট স্পেসে $|e_1\rangle, |e_2\rangle, |e_3\rangle ..... |e_n\rangle$ বেসিস কেটসমূহের সাপেক্ষে কোন স্টেট কেট $|\alpha\rangle$ হলে,

$\displaystyle |\alpha\rangle = c_1|e_1\rangle + c_2 |e_2\rangle + c_3|e_3\rangle + ... + c_n |e_n\rangle =\sum_{i=1}^n c_i |e_i\rangle$

বেশিরভাগ ব্যবহারিক ক্ষেত্রেই হিলবার্ট স্পেস অসীম মাত্রাবিশিষ্ট হয়। অর্থাৎ $n = infty$ । এইসকল ক্ষেত্রে,

$\displaystyle |\alpha\rangle=\sum_{i=1}^{infty} c_i|e_i\rangle$

উপরের দুটি সমীকরণে $c_1, c_2, ..c_i, ..c_n$ ইত্যাদি সহগসমূহ (coefficient) হল জটিল রাশি এবং বেসিস কেটের সংজ্ঞা ব্যবহার করে,

$\displaystyle c_i = \langle e_i|\alpha\rangle$

কোন নির্দিষ্ট বেসিসে কোন স্টেট কেটকে প্রকাশ করতে হলে শুধু এই সহগগুলির মান প্রয়োজন। এবারে প্রশ্ন হল কিভাবে আমরা বেসিস কেট খু্ঁজে বের করব? তোমরা জানো যে কোয়ান্টাম মেকানিক্সে বিভিন্ন পরিমাপযোগ্য রাশিসমূহকে হার্মিশিয়ান অপারেটর দিয়ে প্রকাশ করা হয়। হার্মিশিয়ান অপারেটরের বৈশিষ্ট হল যে ওর আইগেন স্টেটসমূহ পরষ্পরের অর্থোগোনাল এবং তারা একটি সম্পূর্ণ সেট গঠন করতে পারে যার মাধ্যমে অন্য যেকোন স্টেটের সম্প্রসারণ সম্ভব। অতএব ওই আইগেন স্টেটসমূহ বেসিস কেট হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে। যেমন [ $omega$ কম্পাঙ্কবিশিষ্ট] একমাত্রিক কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের ক্ষেত্রে হ্যামিল্টোনিয়ান বা শক্তির আইগেন স্টেটসমূহ হল পরষ্পরের অর্থোগোনাল। ওই আইগেনস্টেটগুলোকে বেসিস কেট হিসেবে ব্যবহার করে হারমোনিক অসিলেটরের বিভিন্ন স্টেট কেট লেখা সম্ভব। যদি ওই আইগেন স্টেটগুলি $|0\rangle, |1\rangle, |2\rangle, .... |n\rangle$ ইত্যাদি হয়, যেখানে $n$ হল শূন্য সহ একটি পূর্ণসংখ্যা, তবে

$\displaystyle H|n\rangle = \left ( n +\frac{1}{2}\right)\hbaromega |n\rangle$ এবং,

$\displaystyle |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{infty} c_n |n\rangle$ ,

প্রয়োজনীয় সহগগুলির মান,

$\displaystyle c_n = \langle n|\alpha\rangle$

বলা বাহুল্য যে এই ক্ষেত্রে আইগেন স্টেট বা বেসিস কেটগুলি বিযুক্ত (discrete)।

হ্যামিল্টোনিয়ান ছাড়াও আরও হার্মিশিয়ান অপারেটর রয়েছে যেমন, অবস্থান অপারেটর $hat{x}$ এবং ভরবেগের অপারেটর $hat{p}$ । এদের আইগেনস্টেটসমূহও পরষ্পরের অর্থোগোনাল। অতএব তাদেরকেও বেসিস কেট হিসেবে ব্যবহার করা সম্ভব। যেমন যদি অবস্থানের আইগেন স্টেটসমূহ $|x\rangle$ হয় তবে স্পষ্টতই ওর আইগেন মান $x$ । অতএব,

$\displaystyle hat{x}|x\rangle = x|x\rangle$

অবস্থান অপারেটরের এই আইগেন মান এবং আইগেন স্টেটসমূহ কিন্তু নিরবচ্ছিন্ন (conti\nuous) রাশি। অতএব এই বেসিস কেটগুলির মাধ্যমে স্টেট ভেক্টরের সম্প্রসারণের জন্য প্রয়োজনীয় সহগও নিরবচ্ছিন্ন (conti\nuous) রাশি। যদি এই সহগকে $Psi(x)$ বলা হয় তবে,

$\displaystyle Psi(x) = \langle x|\alpha\rangle$

এই সহগই হল ওয়েভ ফাংশন। অর্থাৎ অবস্থান অপারেটরের আইগেন স্টেটগুলিকে বেসিস কেট হিসেবে ব্যবহার করলে কোন স্টেট ভেক্টরের সম্প্রসরণের জন্য যে সহগ পাওয়া যায় তাই অবস্থান স্পেসে ওয়েভ ফাংশন (position space wave function)। হ্যামিল্টোনিয়ানের আইগেন স্টেট বেসিসের থেকে অবস্থান বেসিসের একটি পার্থক্য আছে। হ্যামিল্টোনিয়ানের আইগেনস্টেটসমূহ discrete বা বিযুক্ত, কিন্তু অবস্থান অপারেটরের আইগেনস্টেটগুলি নিরবচ্ছিন্ন (conti\nuous)। সুতরাং এক্ষেত্রে সামেশনের বদলে ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করতে হবে।

$\displaystyle |\alpha \rangle = \int Psi(x) |x\rangle dx$

একইভাবে যদি ভরবেগের আইগেন স্টেটগুলির সাপেক্ষে,

$\displaystyle hat{p}|p\rangle = p|p\rangle$

এখানেও আইগেন মান ও আইগেন স্টেটসমূহ নিরবচ্ছিন্ন রাশি এবং এই ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় সহগের মান,

$\displaystyle Psi(p) = \langle p|\alpha\rangle$

$Psi(p)$ হল ভরবেগের স্পেসে ওয়েভ ফাংশন (momentum space wave fucntion)। এখানেও যেহেতু বেসিস কেট নিরবচ্ছিন্ন তাই,

$\displaystyle |\alpha \rangle = \int Psi(p) |p\rangle dp$

ভরবেগ অপারেটরের আইগেন ফাংশন $\displaystyle |p\rangle = \frac{1}{sqrt{2pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}$ । সুতরাং,

$\displaystyle |\alpha \rangle = \frac{1}{sqrt{2pi\hbar}}\int Psi(p) e^{ipx/\hbar} dp$

ব্রা-কেট ও মেট্রিক্স উপাদান

মনে কর কোন নির্দিষ্ট হিলনার্ট স্পেসে $|e_1\rangle, |e_2\rangle .........|e_n\rangle ...$ ইত্যাদি বেসিস কেটসমূহের সাপেক্ষে,

$\displaystyle |\alpha\rangle = \sum_n a_n|e_n\rangle$

$\displaystyle |\beta\rangle = \sum_n b_n|e_n\rangle$

এবং $hat{O}$ অপারেটর $\displaystyle |\alpha\rangle$ কেটের উপর প্রয়োগ করলে $\displaystyle |\beta\rangle$ কেট উৎপন্ন হয়।

$\displaystyle |\beta\rangle = hat{O}|\alpha\rangle$

বেসিস কেটের মাধ্যমে উপরোক্ত সম্প্রসারণ ব্যবহার করে,

$\displaystyle \sum_n b_n|e_n\rangle = \sum_n a_nhat{O}|e_n\rangle$

উভয়পাশে $|e_m\rangle$ বেসিস কেটের সাপেক্ষে ইনার প্রোডাক্ট বা স্কেলার প্রোডাক্ট নিয়ে,

$\displaystyle \sum_n b_n\langle e_m|e_n\rangle = \sum_n a_n\langle e_m|hat{O}|e_n\rangle$

যেহেতু বেসিস কেটের সংজ্ঞা থেকে $\langle e_m|e_n\rangle=delta_{mn}$ ,

$\displaystyle begin{aligned} \sum_n b_n delta_{mn} & = \sum_n a_n\langle e_m|hat{O}|e_n\rangle \ text{or, } b_m &= \sum_n a_n\langle e_m|hat{O}|e_n\rangle \ text{or, } b_m &= \sum_n a_n O_{mn} end{aligned}$

যেহেতু,
$\displaystyle |\beta\rangle = \left(begin{matrix} b_1 \ b_2 \ .\.\.\b_m\.\.\b_n\ . end{matrix}\right), |\alpha\rangle = \left(begin{matrix} a_1 \ a_2 \ .\.\.\a_m\.\.\a_n\ . end{matrix}\right)$

এবং $hat{O}$ অপারেটর হল একটি স্কোয়ার মেট্রিক্স, তাই $\displaystyle |\beta\rangle = hat{O}|\alpha\rangle$ সমীকরণ থেকে বোঝা যায় যে $O_{mn} = \langle e_m|hat{O}|e_n\rangle$ হল ওই নির্দিষ্ট বেসিস কেটসমূহের সাপেক্ষে $hat{O}$ অপারেটর মেট্রিক্সের উপাদান (matrix elements)।

ব্রা-কেট চিহ্ন ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে তার ব্যবহার – ২

ব্রা-কেট চিহ্ন ও আউটার প্রোডাক্ট

ব্রা-কেট সম্প্রসারণ

ব্রা-কেট ও মেট্রিক্স উপাদান

Related

Leave a Reply Cancel reply

ব্রা-কেট চিহ্ন ও আউটার প্রোডাক্ট

ব্রা-কেট সম্প্রসারণ

ব্রা-কেট ও মেট্রিক্স উপাদান

Share this:

Related

Leave a Reply Cancel reply