ব্রা-কেট চিহ্ন ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে তার ব্যবহার -১

ব্রা-কেট (Bra-Ket) চিহ্ন কোয়ান্টাম মেকানিক্সে কোন সিস্টেমের কোয়ান্টাম স্টেট বোঝানোর জন্য ব্যবহার করা হয়। এই চিহ্নসমূহ ব্যবহার করে কোয়ান্টাম স্টেট সংক্রান্ত বিভিন্ন গণনা অনেকটা পরিচ্ছন্ন ও মার্জিতভাবে (elegant) লেখা সম্ভব। ব্রা-কেট চিহ্নের আবিষ্কর্তা পি. এ. এম. ডিরাক, তাই অনেক সময় ব্রা-কেট চিহ্নকে ডিরাক চিহ্নও বলা হয়। ব্রা-কেট নামকরণের কারণ হল যে এই পদ্ধতিতে দুটি কোয়ান্টাম স্টেট ভেক্টরের স্কেলার প্রোডাক্ট বা inner product নিচে দেখানো কৌণিক ব্রাকেটের মাধ্যমে লেখা হয়,

$\displaystyle \langle \alpha | \beta \rangle$

$\alpha$ ও $\beta$ হল যেকোনো দুটি কোয়ান্টাম স্টেট। উপরের রাশিমালায় বামদিকের $\langle \alpha|$ -কে বলা হয় ব্রা এবং ডানদিকের $|\beta\rangle$ -কে বলা হয় কেট। ব্রা-কেট পদ্ধতির সব থেকে বড় সুবিধা হল এর “বিমূর্ত প্রকৃতি” (abstract and representation independence nature)। “বিমূর্ত প্রকৃতি” ব্যাপারটি একটু বুঝিয়ে বলছি। মনে কর তোমার কিছু সম্পত্তি রয়েছে। যদি তুমি আমেরিকান হও তো বলবে তোমার সম্পত্তির পরিমাণ $x$ ডলার, যদি তুমি বাঙ্গালী হও তো বলবে তোমার সম্পত্তির পরিমাণ $y$ টাকা, যদি তুমি রাশিয়ান হও তো বলবে সম্মত্তির পরিমাণ $z$ রুবেল। অর্থাৎ তোমার সেই একই সম্পত্তিকে বিভিন্ন দেশের মূদ্রায় বিভিন্নভাবে প্রকাশ করা বা represent করা সম্ভব। কিন্তু তুমি যদি বল যে তোমার সম্পত্তি একটি ১০০০ স্কোয়ার ফিটের ফ্ল্যাট তবে সেটা হবে মূদ্রার সাপেক্ষে তোমার সম্পত্তির বিমূর্ত রূপ, যা টাকা, ডলার, রুবেল ইত্যাদি মূদ্রার প্রকৃতির উপর নির্ভর করেনা। একটি বিজ্ঞানসম্মত উদাহরণ দিচ্ছি। মনে কর ত্রিমাত্রায় ${\bf A}$ একটি ভেক্টর। $(x,y,z)$ কার্টিজিয়ান রেফারেন্স ফ্রেমের সাপেক্ষে এই ভেক্টরের তিনটি উপাদান হল $A_x, A_y$ এবং $A_z$ হলে ওই ফ্রেমে ${\bf A}$ ভেক্টরকে এইভাবে প্রকাশ করা যায়,

$\displaystyle {\bf A} = A_x hat{x}+A_y hat{y}+A_Z hat{z}$

যেখানে $hat{x}, hat{y}$ এবং $hat{z}$ হল উপরে বর্ণিত তিনটি কার্টেজিয়ান অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর, যাদেরকে রৈখিক বীজগণীতের ভাষায় বেসিস ভেক্টর বলা হয়। লক্ষ্য কর যে,

$\displaystyle A_x = hat{x}.{\bf A}, A_y = hat{y}.{\bf A}, A_z = hat{z}.{\bf A}$

প্রথানুসারে উপরোক্ত রেফারেন্স ফ্রেমের সাপেক্ষে এই বেসিস ভেক্টরগুলিকে নিম্নলিখিত কলাম মেট্রিক্সের আকারে লেখা হয়,

$\displaystyle hat{x} = \left( begin{matrix} 1 \ 0 \ 0 end{matrix} \right), hat{y} = \left( begin{matrix} 0 \ 1 \ 0 end{matrix} \right), hat{z} = \left( begin{matrix} 0 \ 0 \ 1 end{matrix} \right)$

অতএব ${\bf A}$ ভেক্টরকেও কলাম মেট্রিক্সের আকারে লেখা সম্ভব,

$\displaystyle {\bf A} = \left( begin{matrix} A_x \ A_y \ A_z end{matrix} \right)$

মনে কর এবারে তুমি অপর একটি রেফারেন্স ফ্রেমে চলে গেলে যা পূর্বের রেফারেন্স ফ্রেমের সাপেক্ষে একটি কোণে অবস্থিত। স্পষ্টতই এই নতুন ফ্রেমে ${\bf A}$ ভেক্টরের উপাদানসমূহ আগের থেকে আলাদা হবে। যদি নতুন ফ্রেমের অক্ষ তিনটিকে $(x',y',z')$ দিয়ে লেখা হয় এবং এই ফ্রেমে ${\bf A}$ ভেক্টরের উপাদানসমূহ যথাক্রমে ${A'}_x, {A'}_y$ এবং ${A'}_z$ হয় তবে এই ফ্রেমে,

$\displaystyle {\bf A} = {A'}_x hat{x'}+{A'}_y hat{y'}+{A'}_z hat{z'}$

মেট্রিক্সের মাধ্যমে,

$\displaystyle {\bf A} = \left( begin{matrix} {A'}_x \ {A'}_y \ {A'}_z end{matrix} \right)$

বুঝতেই পারছ যে ওই দুটি ফ্রেমে ভেক্টরের রূপ বা representation আলাদা। অথচ ${\bf A}$ ভেক্টর কিন্তু দুটি ফ্রেমে একই থাকছে। সেজন্যেই ${\bf A}$ হল ভেক্টরের একটি বিমূর্ত রূপ (representation independent expression)। একইভাবে কোয়ান্টাম মেকানিক্সে স্টেট ভেক্টরসমূহও ব্রা এবং কেট ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়।

ব্রা-কেট চিহ্ন ও ইনার প্রোডাক্ট

তোমরা জানো যে ভেক্টর লেখার সময় বা ছাপার সময় মোটা হরফে লেখা হয় কিংবা ওর মাথায় একটি তীর চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। কোয়ান্টাম মেকানিক্সে স্টেট ভেক্টরের ক্ষেত্রে সেই কাজটি করে ব্রা এবং কেট চিহ্ন। যেমন ${\bf A}$ যদি একটি স্টেট ভেক্টর হয় তবে তাকে লেখা হবে $|A\rangle$ কেট চিহ্ন ব্যবহার করে। পড়ার সময় বলা হয় “কেট -A”। উপরে বর্ণিত ভেক্টরের মত নির্দিষ্ট বেসিস ভেক্টরের বা বেসিস কেটের [যেমন $|e_x\rangle, |e_y\rangle, |e_z\rangle$ ] সাপেক্ষে,

$\displaystyle |A\rangle = A_x |e_x\rangle + A_y |e_y\rangle + A_z |e_z\rangle$

এবং আগের মতই,

$\displaystyle A_x = \langle e_x | A \rangle, A_y = \langle e_y | A \rangle, A_z = \langle e_z | A \rangle$

যেখানে $\langle e_x | A \rangle, \langle e_y | A \rangle$ ও $\langle e_z | A \rangle$ হল বেসিস কেটের সাথে $|A\rangle$ কেটের ইনার প্রোডাক্ট (inner product) বা স্কেলার প্রোডাক্ট।

এ সম্মন্ধে বিস্তারিত বলার আগে এটা উল্লেখ করছি যে কোয়ান্টাম মেকানিক্সে যেকোনো কোয়ান্টাম স্টেট হল মূলত হিলবার্ট স্পেসে একটি করে ভেক্টর। এই কোয়ান্টাম স্টেট ভেক্টরকেই কেট ব্যবহার করে লেখা হয়। তোমরা ওয়েভ ফাংশনের সাথে অবশ্যই পরিচিত হয়তো। এটাও জানো যে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান করে কোন সিস্টেমের বিভিন্ন কোয়ান্টাম স্টেটের ওয়েভ ফাংশন পাওয়া যায়। ওই ওয়েভ ফাংশন মূলত সিস্টেমের অবস্থানের ফাংশন। আবার ওই ফাংশনের ফুরিয়ের ট্রান্সফ্রর্মেশনের মাধ্যমে ওয়েভ ফাংশনকে সিস্টেমের ভরবেগের ফাংশন হিসেবেও লেখা যায়। অর্থাৎ কিসের মাধ্যেম লেখা হচ্ছে তার উপর নির্ভর করে ওয়েভ ফাংশনের রূপ আলাদা আলাদা হতে পারে। এই ব্যাপারটি এড়িয়ে কোয়ান্টাম মেকানিক্সকে elegant এবং representation independent রাখবার জন্য কোয়ান্টাম স্টেটসমূহকে হিলবার্ট স্পেসে কেট ভেক্টরের মাধ্যমে লেখা হয়।

হিলবার্ট স্পেসে যদি এমন দুটি কেট ভেক্টর $|\phi_m\rangle$ এবং $|\phi_n\rangle$ হয় তবে তাদের inner product বা স্কেলার গুণ

$\displaystyle \langle \phi_m | \phi_n\rangle = S_{mn}$

যেখানে $S_{mn}$ একটি জটিল রাশি। যদি ওই দুটি স্টেট পরষ্পরের অর্থোগোনাল হয় তবে $S_{mn} = delta_{mn}$ । তোমরা জানো যে দুটি অর্থোগোনাল স্কেলার ওয়েভ ফাংশনের জন্য,

$\displaystyle \int \phi_m(x)^* . \phi_n(x) dx = delta_{mn}$

প্রকৃতপক্ষে কোয়ান্টাম স্টেটসমূহ স্কেলার ওয়েভ ফাংশনের মাধ্যমে লিখলে,

$\displaystyle \langle \phi_m | \phi_n\rangle equiv \int \phi_m(x)^* . \phi_n(x) dx$

এবারে একটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যাপার বলব। সাধারণত গণনার সময় স্টেট কেটসমূহকে কোন নির্দিষ্ট বেসিস ভেক্টরের সাপেক্ষে কলাম মেট্রিক্সের আকারে লেখা হয় (আমাদের পরিচিত অন্যান্য ভেক্টরের মতই)। যেহেতু $S_{mn}$ একটি স্কেলার রাশি এবং $|\phi_n\rangle$ কলাম মেট্রিক্স, তাই অতি অবশ্যই $\displaystyle \langle \phi_m |$ একটি রো মেট্রিক্স। নাহলে ওদের গুনফল একটি স্কেলার বা এক উপাদানবিশিষ্ট রাশি $(S_{mn})$ হতে পারে না। $\displaystyle \langle \phi_m |$ -কে বলা হয় একটি ব্রা ভেক্টর। এই ব্রা ভেক্টর মূলত কেট ভেক্টরের কমপ্লেক্স কনজুগেটের ট্রান্সপোজ, যাকে হার্মিশিয়ান কনজুগেটও বলা হয়। অর্থাৎ

$\displaystyle \langle \phi_m | = |\phi_{m}\rangle^{\dagger}$

স্পষ্টতই,

$\displaystyle \langle \phi_m |^{\dagger} = \left(|\phi_{m}\rangle^{\dagger}\right)^{\dagger}=|\phi_{m}\rangle$

উদাহরণস্বরূপ যদি দ্বিমাত্রিক হিলবার্ট স্পেসে কোন নির্দিষ্ট বেসিস ভেক্টরের সাপেক্ষে,

$\displaystyle |\phi_{m}\rangle = \left( begin{matrix} z_1 \ z_2 end{matrix}\right)$

তবে,

$\displaystyle \langle \phi_m | = \left( begin{matrix} z_1^* & z_2^* end{matrix}\right)$

এবং ওদের ইনার বা ডট প্রোডাক্ট,

$\displaystyle \langle \phi_m |\phi_{m}\rangle = \left( begin{matrix} z_1^* & z_2^* end{matrix}\right) \left( begin{matrix} z_1 \ z_2 end{matrix}\right) = z_1^*z_1+z_2^*z_2=|z_1|^2+|z_2|^2$

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে বিভিন্ন পরিমাপযোগ্য রাশি রৈখিক অপারেটরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, যা স্টেট কেটের উপর প্রয়োগ করে কোন নির্দিষ্ট কোয়ান্টাম স্টেটের জন্য বিভিন্ন পরিমাপযোগ্য রাশির মান বের করা যায়। যেহেতু কোয়ান্টাম স্টেটসমূহ কলাম মেট্রিক্সের আকারে লেখা হয়, তাই অতি অবশ্যই এই রৈখিক অপারেটরগুলিও এক একটি মেট্রিক্স। শুধু তাই নয় মেট্রিক্সের গুণের নিয়ম থেকে এটাও বোঝা যায় যে যদি কেট ভেক্টরের উপাদানের সংখ্যা $n$ হয় ( $ntimes 1$ column matrix) তবে অপারেটর অবশ্যই $ntimes n$ -এর স্কোয়ার মেট্রিক্স এবং ওদের গুণফল অপর একটি $ntimes 1$ কলাম মেট্রিক্স। অর্থাৎ কোন কোয়ান্টাম স্টেট বা কেটের উপর ওই অপারেটর প্রয়োগ করলে অপর একটি কেট তৈরি হয়। যেমন $O$ যদি একটি রৈখিক অপারেটর এবং $| \phi_n\rangle$ একটি স্টেট কেট হয় তবে $O| \phi_n\rangle$ -ও একটি কেট।

কেট ভেক্টর $ntimes 1$ কলাম মেট্রিক্স হলে তার ব্রা ভেক্টর স্বভাবতই $1times n$ রো মেট্রিক্স। এই রো মেট্রিক্সকে ডানদিক থেকে অপারেটর $O$ (যা $ntimes n$ -এর স্কোয়ার মেট্রিক্স) দিয়ে গুণ করলে অপর একটি $1times n$ রো মেট্রিক্স তৈরি হবে। অর্থাৎ ব্রা ভেক্টরকে $(\langle \phi_m|)$ ডানদিক থেকে অপারেটর $(O)$ দিয়ে গুণ করলে নতুন একটি ব্রা ভেক্টর $(\langle \phi_m|O)$ তৈরি হবে এবং এইসকল ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত শর্ত সিদ্ধ হয়;

$\displaystyle (\langle \phi_m|O) | \phi_n \rangle = \langle \phi_m| (O |\phi_n\rangle)$

উপরোক্ত রাশিমালাকে সংক্ষেপে এভাবেও লেখা হয়,

$\displaystyle \langle \phi_m|O |\phi_n\rangle = O_{mn}$ ,

যেখানে যথারীতি $O_{mn}$ একটি জটিল রাশি। যখন স্টেট কেট বা ভেক্টরকে ওয়েভ ফাংশনের মাধ্যমে লেখা হয় সেই ক্ষেত্রে,

$\displaystyle \langle \phi_m|O |\phi_n\rangle = O_{mn}=\int \phi_m(x)^*. O . \phi_n(x) dx$

এই সমীকরণে যদি $\phi_m = \phi_n$ , তবে

$\displaystyle \langle \phi_m|O |\phi_m\rangle = O_{mm}=\int \phi_m(x)^*. O . \phi_m(x) dx = \langle O \rangle$

বলাই বাহুল্য যে এই ক্ষেত্রে $\langle O \rangle$ হল $|\phi_m \rangle$ স্টেটে $O$ অপারেটরে দ্বারা প্রকাশিত পরিমাপযোগ্য রাশির এক্সপেকটেশন ভ্যালূ বা গড় মাণ।

দুটি কেটের ইনার প্রোডাক্ট নিয়ে আরও একটু আলোচনা করা যাক। তোমরা সাধারণ ভেক্টর বীজগণিত থেকে জানো যে ${\bf A}.{\bf B}$ হল ${\bf B}$ ভেক্টরের উপর ${\bf A}$ ভেক্টরের প্রোজেকশন বা অভিক্ষেপ। সাদা বাংলায় এর মানে ${\bf A}$ -এর মধ্যে ${\bf B}$ -এর প্রকৃতি (অভিমুখ) কতটা রয়েছে তার পরিমাপ। যেমন দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে দুটি ভেক্টর পরষ্পরের সাথে নব্বই ডিগ্রী কোণে অবস্থিত হলে তাদের একটির উপর অপরটির অভিক্ষেপ শূন্য। অন্যথায় অভিক্ষেপের সসীম মাণ থাকবে। একইভাবে যদি দুটি কেট $|\phi_m\rangle$ এবং $|\phi_n\rangle$ হয় তবে তাদের inner product বা স্কেলার গুণন $\displaystyle \langle \phi_m | \phi_n\rangle$ মূলত $|\phi_m\rangle$ স্টেটের উপর $|\phi_n\rangle$ স্টেটের অভিক্ষেপ বোঝায়। ফিজিক্সের দিক দিয়ে দেখতে গেলে এর অর্থ $|\phi_n\rangle$ স্টেট ধসে গিয়ে $|\phi_m\rangle$ স্টেটে পর্যবসিত হবার সম্ভাবনা (probability that the state $|\phi_n\rangle$ will collapse \into $|\phi_m\rangle$ )। এই ইনার প্রোডাক্টকে অনেক সময় overlap \integral -ও বলা হয়। এখানে মনে করিয়ে দেব যে পরিমাপের প্রক্রিয়ায় কোয়ান্টাম স্টেট ধসে গিয়ে যে রাশি পরিমাপ করা হচ্ছে তার অপারেটরের কোন একটি আইগেন স্টেটে পর্যবসিত হয়।

ব্রা-কেট চিহ্ন সম্মন্ধে বাংলায় আরও জানবার জন্য এর পরের পোস্টের অপেক্ষা কর। আর হ্যাঁ, আমাদের এই ওয়েব সাইটে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের উপর এছাড়াও আরও অনেক বিষয়ে পোস্ট রয়েছে। সেগুলোও তোমাদের কাজে লাগবে আশা করছি।

ব্রা-কেট চিহ্ন ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে তার ব্যবহার -১

ব্রা-কেট চিহ্ন ও ইনার প্রোডাক্ট

Related

One thought on “ব্রা-কেট চিহ্ন ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে তার ব্যবহার -১”

Leave a Reply Cancel reply

ব্রা-কেট চিহ্ন ও ইনার প্রোডাক্ট

Share this:

Related

One thought on “ব্রা-কেট চিহ্ন ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে তার ব্যবহার -১”

Leave a Reply Cancel reply