ফ্রী পার্টিকল

গ্রুপ ভেলোসিটি ও ওয়েভ প্যাকেট

$\displaystyle text{e}^{i(kx-omega t)}$ যদি কোন নির্দ্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ $(lambda)$ বিশিষ্ট চলতরঙ্গের সমীকরণ হয়, যেখানে $k = 2pi/lambda$ ও $omega$ কৌণিক কম্পাঙ্ক, তবে ওই তরঙ্গের ফেজ ভেলোসিটি

$\displaystyle v_{text{phase}} = \frac{omega}{k}$ (1)

আগেই বলেছি ফেজ ভেলোসিটি হল ওই তরঙ্গের কোন স্থির দশাযুক্ত বিন্দুর গতিবেগ। অপরপক্ষে আজকের আলোচ্য বিষয় গ্রুপ ভেলোসিটি । “গ্রুপ” শব্দটি থেকেই বুঝতে পারছ যে এটি কোন গ্রুপ বা সমষ্টির গতিবেগ বোঝায়। আর আমরা আগের পোস্টে দেখেছি যে ওয়েভ প্যাকেট হল ভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ সম্পন্ন একগুচ্ছ চলতরঙ্গের সমষ্টি। সুতরাং হয়তো অনুমান করতে পারছ যে এইরকম ওয়েভ প্যাকেট যে গতিতে চলনশীল সেটাই ওই তরঙ্গগুচ্ছের গ্রুপ ভেলোসিটি। Continue reading “গ্রুপ ভেলোসিটি ও ওয়েভ প্যাকেট”

গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)

বিখ্যাত জার্মান গণিতজ্ঞ ও পদার্থবিদ্‍ কার্ল ফ্রিডরিশ গাউসের নাম তোমরা সকলেই হয়তো শুনে থাকবে। গাউসিয়ান শব্দটি এসেছে তারই নাম থেকে। পদার্থবিদ্যা ও গণিতে গাউসিয়ান সারফেস বা পৃষ্ঠতল, গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল, গাউসিয়ান ফাংশন ও গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন অতি ব্যবহৃত শব্দাবলী। আজকে আমারা ফ্রী পার্টিকলের প্রারম্ভিক ওয়েভ প্যাকেট রূপে গাউসিয়ান ফাংশন ব্যবহার করব। অর্থাৎ,

$\displaystyle Psi(x,0) = A text{e}^{-a x^2}$ (1)

তোমরা আরও জানো যে কোন নির্দ্দিষ্ট সময়ে ফ্রী পার্টিকলের ওয়েভ প্যাকেট নিম্নলিখিত দুটি সমীকরণ ব্যবহার করে লেখা হয়, Continue reading “গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)”

ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স

ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার গতি ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে একটি মামুলী বিষয় – এতটাই যে কোন পাঠ্যবইতে ওর সম্মন্ধে আলাদা করে কিছু লেখা হয়না। অথচ ফ্রী পার্টিকলের কোয়ান্টাম মেকানিক্স একটি অত্যন্ত চমত্কার ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। নাম থেকেই বোঝা যাচ্ছে যে ফ্রী পার্টিকল হচ্ছে এমন একটি বস্তুকণা যার স্থিতিশক্তি সর্বদা শূন্য। আরও পরিষ্কার করে বললে – ওর জন্য বিশ্বব্রহ্মান্ডের সর্বত্রই পোটেনশিয়ালের মান শূন্য ( $V(x) = 0$ )। এর মানে এটাও হয় যে কণাটি আকর্ষণ বা বিকর্ষণ কোন রকম বল অনুভব করেনা। অর্থাৎ ফ্রী পার্টিকল যেন কোয়ান্টাম মেকানিকাল খোলা ষাঁড়। অথবা যেন স্থিতপ্রজ্ঞ সন্ন্যাসী – যেখানে খুশি সেখানে অবাধ গতি, কোন কিছুর প্রতিই কোন আসক্তি বা বিরক্তি নেই। যেহেতু আমাদের উদ্দেশ্য এইরকম একটি ফ্রী পার্টিকলের কোয়ান্টাম মেকানিক্স আলোচনা করা সুতরাং আর অধিক বিলম্ব না করে আমরা ওর জন্য একমাত্রিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি লিখে ফেলব। Continue reading “ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স”