প্রবাবিলিটি ও গড় মান

ধর তুমি একটি কয়েন টস করলে। তাহলে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত? সহজ প্রশ্ন; তোমরা সকলেই জানো যে এর উত্তর হল 50% (বা ভগ্নাংশে বললে 0.5)। এখন প্রশ্ন হল কিভাবে এই উত্তর এল? কয়েন টস করলে হয় হেড পড়বে নয়তো টেইল পড়বে। অর্থাৎ সম্ভাব্য ফলের মোট সংখ্যা 2। যেহেতু হেড ও টেইল পড়ার সম্ভাবনা সমান, তাই তার মধ্যে যেকোন একটি ফল পাওয়ার সম্ভাবনা হল 1/2 বা 0.5 বা 50%। চল আরেকটি উদাহরণ দেওয়া যাক। মনে কর একটি ব্যাগের মধ্যে 2 টি কালো বল ও 6 টি লাল বল আছে। তাহলে চোখ বন্ধ করে ব্যাগের থেকে একটি কালো বল বের করার সম্ভাবনা কত? ব্যাগের মধ্যে মোট বলের সংখ্যা 2 + 6 = 8। আর মোট কালো বলের সংখ্যা 2। অর্থাৎ মোট 8 টির মধ্যে 2 টি বল কালো। সুতরাং চোখ বন্ধ করে ব্যাগের মধ্যে থেকে একটি বল বের করলে তার কালো হওয়ার সম্ভাবনা বা প্রবাবিলিটি = 2/8 = 1/4 = 0.25 বা 25%। একইভাবে ব্যাগের থেকে একটি লাল বল বের করার সম্ভাবনা = 6/8 = 3/4 = 0.75 বা 75%। তাহলে বলতো ব্যাগের থেকে একটি কালো বা লাল বল বের করার সম্ভাবনা কত? খুব সহজ; একটি কালো বল বের করার সম্ভাবনা ও একটি লাল বল বের করার সম্ভাবনাকে যোগ করলেই আমরা একটি কালো বা লাল বল বের করার সম্ভাবনা পেয়ে যাব। এক্ষেত্রে সেই সম্ভাবনা হল 0.25 + 0.75 = 1.00 বা 100%। ব্যাগ থেকে একটা বল বের করলে হয় সেটা কালো হবে বা লাল হবে, কারণ ব্যাগে শুধু কালো ও লাল বলই আছে। তাই কালো বা লাল বল বের করার সম্ভাবনা 1.00 বা 100%। সম্পূর্ণতার জন্য নিচে প্রবাবিলিটির সংজ্ঞাটি লিখে দিলাম।

প্রবাবিলিটির সংজ্ঞাঃ কোন এক্সপেরিমেন্টে কোন নির্দিষ্ট ফল পাওয়ার প্রবাবিলিটি = শুধু ওই ফলের সংখ্যা/ মোট সবরকম ফলের সংখ্যা।

\displaystyle text{Probability } (P_{j}) = \frac{text{Number of favourable outcome} (N_{j})}{text{Total \number of outcome} (N)}

এবারে একটি সহজ অঙ্ক করছি। কাগেয়াপটি উচ্চবিদ্যালয়ের ষষ্ঠ শ্রেনীর অঙ্ক পরীক্ষায় মোট 25 জন ছাত্রের মধ্যে 5 জন পেয়েছে প্রত্যেকে 34 করে, 10 জন পেয়েছে 65 করে, 5 জন পেয়েছে 82 করে এবং বাকি 5 জন পেয়েছে 95 করে নম্বর। তাহলে ওই ছাত্রসমষ্টির গড় নম্বর কত? তোমরা প্রত্যেকেই এটাকে খুব সহজেই করে ফেলতে পারবে। তাও আমি অঙ্কটিকে কষে দেখাচ্ছি; কেন করছি তা একটু পরেই বুঝতে পারবে।

গড় নম্বর \displaystyle = \langle M \rangle = \frac{5times 34+10times 65+5times 82+5times 95}{5+10+5+5}= 68.2

এখানে সব ছাত্রের মোট প্রাপ্ত নম্বরকে মোট ছাত্র সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে গড় নম্বর গণনা করা হয়েছে। চল এবারে উপরের সমীকরণটিকে একটু সাজিয়ে লেখা যাক।

গড় নম্বর \displaystyle= \langle M \rangle = 34times \frac{5}{25}+65times \frac{10}{25}+82times \frac{5}{25}+95times \frac{5}{25}=\sum_{j}M_{j}times \frac{N_{j}}{N}

M_{j} হল কোন একটি প্রাপ্ত নম্বর, যেমন ধর 34; N_{j} হল ওই নম্বর পাওয়া ছাত্রের সংখ্যা (যেমন 5) এবং N হল মোট ছাত্র সংখ্যা। [যারা \sum_{j} চিহ্নটিকে প্রথমবার দেখছ তাদের জন্য বলছি যে ওই চিহ্নটা অনেকগুলো একইরকম সংখ্যার যোগ লেখার একটি সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি। চিহ্নটিকে বলা হয় সাম ওভার j বা সামেশন। যেহেতু আমাদের এই অঙ্কে মোট চারটি নম্বর আছে (34, 65, 82 ও 95), তাই এখানে j এর মান 1 থেকে 4 পর্যন্ত হতে পারে এবং M_1 = 34, N_1 = 5; M_2 = 65, N_2 = 10; M_3 = 82, N_3 = 5; M_4 = 95, N_4 = 5;] এবারে বলতো মোট N সংখ্যক ছাত্রের মধ্যে M_j নম্বর পাওয়া ছাত্রের সম্ভাব্যতা বা probability কত? খুব সহজ; ওই প্রবাবিলিটিকে যদি P_j দিয়ে প্রকাশ করা হয় তবে P_j = \frac{N_{j}}{N}। তাহলে আমরা গড় নম্বরকে এভাবে লিখতে পারি,

\displaystyle\langle M \rangle = \sum_{j}M_{j}P_{j}, যেখানে \sum_{j}P_{j} = \sum_j \frac{N_{j}}{N} = 1 ।

অর্থাৎ ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরগুলিকে (M_j) ওই নম্বর পাওয়া ছাত্রসংখ্যার প্রবাবিলিটি (P_j) দিয়ে গুণ করে পরষ্পরের সাথে যোগ করলেই গড় নম্বর পাওয়া যাবে। একটি বিষয় লক্ষ্য কর যে ছাত্রদের প্রাপ্ত সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন নম্বর ওদের গড় নম্বরের থেকে অনেক আলাদা। অর্থাৎ নম্বর বিন্যাসের (distribution) ব্যাপ্তি (range) অনেকটা। প্রবাবিলিটি থিয়োরীত এই ব্যাপ্তিকে প্রকাশ করা হয় স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশনের (standard deviation, sigma) মাধ্যমে। আর স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন গণনা করা হয় নিম্নলিখিত সমীকরণটি ব্যবহার করেঃ

\displaystylesigma = sqrt{\langle M^2\rangle-\langle M\rangle^2}

যেখানে \langle M^2\rangle= \sum_j M_j^2P_j হল ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের বর্গের গড় মান এবং \langle M\rangle^2 হল ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের গড়ের বর্গ। স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন যত কম হবে কোন বিন্যাসের (distribution) ব্যাপ্তি তত কম হবে। নিচের ছবিটিতে কালো বিন্যাসের (distribution-এর) স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন লালটির থেকে অনেক কম, তাই দেখ লাল বিন্যাসটি কালোটির থেকে অনেক বেশি ছড়ানো।

ডানদিকের (লাল) বিন্যাসের স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন বামদিকের (কালো) বিন্যাসের থেকে অনেক বেশি।
ডানদিকের (লাল) বিন্যাসের স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন বামদিকের (কালো) বিন্যাসের থেকে অনেক বেশি।

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশনকে আনসার্টেনটির পরিমাপ হিসেবে ব্যবহার করা হয়। আজ এপর্যন্তই রইল, এর পরের পোষ্টে আমরা কোয়ান্টাম মেকানিক্সে পরিমাপের ফল সম্মন্ধে আরও জানবো। ভালো থেকো।

ফুটনোটঃ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন – গড় মানের সাপেক্ষে কিছু সংখ্যা কতটা ছড়ানো স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন সেটাই প্রকাশ করে। যেমন উপরে দেওয়া ছাত্রদের নম্বরের উদাহরণে ওদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় মান 68.2। কিন্তু দেখ যে ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বর 34 থেকে 95 পর্যন্ত বিস্তৃত। তাই স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মানও যথেষ্ট বেশি (প্রায় 20)। যদি স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মান শূন্য হত তবে তার মানে হত যে সব ছাত্রই একই নম্বর পেয়েছে। ছাত্রদের ওই উদাহরণে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন হল,

\displaystyle sigma = sqrt{\sum_j P_j( M_j-\langle M\rangle)^2}

অর্থাৎ, গড় নম্বর থেকে প্রতিটি প্রাপ্ত নম্বরের পার্থক্যের বর্গ করে তাদের নিজস্ব প্রবাবিলিটি অনুসারে যোগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় সেটাই হবে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন। এর একক তুমি যে রাশির স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন নির্ণয় করছ সেটাই। যেমন উপরের উদাহরণে ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের কোন একক নেই, তাই স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনেরও কোন একক নেই। অপরপক্ষে যদি তুমি কিছু বস্তুর ভরের স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন নির্ণয় কর তবে সেক্ষেত্রে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের একক হবে ভরের একক। এবারে একটু অংক করা যাক।

\displaystyle begin{aligned} sigma & = sqrt{\sum_j P_j( M_j-\langle M\rangle)^2} \ & = sqrt{\sum_j P_j\left[ M_j^2+\langle M\rangle^2-2M_j\langle M\rangle \right]} \ & = sqrt{\sum_j P_j M_j^2+\sum_j P_j\langle M\rangle^2-2\sum_j P_jM_j\langle M\rangle} \ &= sqrt{\langle M^2 \rangle+\langle M\rangle^2\sum_j P_j-2\langle M\rangle\sum_j P_jM_j} \ & = sqrt{\langle M^2 \rangle+\langle M\rangle^2.1-2\langle M\rangle.\langle M\rangle} \ & =sqrt{\langle M^2 \rangle-\langle M\rangle^2} end{aligned}

উপরের গণনাটিতে আমরা গড় মানের সংজ্ঞা ব্যবহার করেছি। \langle M^2 \rangle = \sum_j P_j M_j^2, \langle M \rangle = \sum_jP_jM_j এবং \sum_jP_j = 1।

4 thoughts on “প্রবাবিলিটি ও গড় মান”

  1. স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন বিষয়টা আর একটু পরিস্কার করে বললে বুঝেতে ভাল হবে। উপরের সূত্রানুসারে ছাত্রদের ফলাফলের স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মান প্রায় 20.488। এই মান থেকে আমরা কি বুঝতে পারি? স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের কি কোন একক আছে?

    Reply

    1. তোমার অনুরোধ অনুসারে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন সম্মন্ধে আলোচনা এই পোস্টের ফুটনোটে দিয়েছি।

      Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published.