ফুরিয়ের সিরিজ ও ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন

এর আগেরদিন আমরা ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন কিভাবে সময়ের উপর নির্ভর করে সেটা দেখেছি। আজ একটি উদাহরণ দিয়ে দেখানোর চেষ্টা করব কিভাবে ফুরিয়ের সিরিজ ব্যবহার করে কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান কোন প্রদত্ত প্রারম্ভিক শর্ত বা initial condition -এর সাথে মেলানো যায়। তার জন্য চল প্রথমেই জেনারেল সমাধানটি লেখা যাক,

Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x).mathrm{exp}\left(-iE_nt/\hbar\right) —- (1)

বা, Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x, t) —— (2)

এই সমীকরণে ব্যবহৃত সিম্বলগুলোর মানে এর আগের পোষ্টে ব্যাখ্যা করা আছে। সমীকরণদুটিতে শুধু a_n ধ্রুবকগুলি ছাড়া বাকি সবকিছুই আমাদের জানা। এবারে মনে কর যে প্রদত্ত প্রারম্ভিক শর্ত হল Psi(x, 0) = f(x), যেখানে f(x) হল x এর উপযুক্ত কোন ফাংশন। উপযুক্ত বললাম কারণ তোমাদের আগেই বলেছি যে ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশনকে কতগুলি শর্ত মেনে চলতে হবে। যেমন ওয়েভ ফাংশনকে ওয়েলের দুটো বাউন্ডারীতে শূন্য হতে হবে ও নর্মালাইজেশনের উপযুক্ত হতে হবে। তবে প্রারম্ভিক ওয়েভ ফাংশন ও তার প্রথম ডেরিভেটিভের (first derivative) কন্টিনিউয়াস হওয়ার শর্ত দুটি (যা কিনা সাধারণত ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট) আবশ্যক নয়।

আমাদেরকে প্রারম্ভিক শর্ত ব্যবহার করে (2) নং সমীকরণের a_n ধ্রুবকগুলির মান বের করতে হবে। t = 0 সময়ে (2)  নং সমীকরণটি দাড়ায়,

Psi(x, 0) = f(x) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x) ———- (3)

আগের পোষ্ট থেকে আমরা জানি যে Psi_n(x) = sqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}\left(npi x/L\right)। সুতরাং,

Psi(x, 0) = f(x) = \displaystyle\sum_n a_n sqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}\left(npi x/L\right) ——– (4)

যারা ফুরিয়ের ট্রান্সফর্ম ও সিরিজের সাথে পরিচিত তারা হয়তো এতক্ষণে বুঝেই গেছ যে (4)  নং সমীকরণ হল f(x) ফাংশনটির ফুরিয়ের sine সিরিজে সম্প্রসারণ। জঁ বাতিস্ত জোসেফ ফুরিয়ে ১৮২২ সালে এইরকম সিরিজ ও তার ধ্রুবক গুলির মান বের করার পদ্ধতি আবিষ্কার করেন। ব্যাপারটি বেশ সহজ; (4) নং সমীকরণের দুদিকে mathrm{sin}\left(mpi x/L\right) দিয়ে গুণ করে 0 থেকে L লীমিটের মাঝে ইন্টিগ্রেট করে দিলেই হল। যেহেতু

\displaystyle \int_0^L mathrm{sin}\left(mpi x/L\right). mathrm{sin}\left(npi x/L\right) mathrm{d}x = \frac{L}{2}delta_{mn} —— (5)

যেখানে delta_{mn} হল Kronecker ডেল্টা যার মান হয় শূন্য যদি m neq n এবং 1 যদি m = n (সন্দেহ হলে গণনা করে দেখতে পারো)। তাই

\displaystyle sqrt{\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)mathrm{sin}\left(mpi x/L\right)mathrm{d}x = \displaystyle\sum_n a_ndelta_{mn} = a_m ——- (6)

(ডেল্টার মান n = m ছাড়া আর সব n  -এর জন্য শূন্য, তাই সামেশন বা যোগের মধ্যে কেবল একটি রাশিই বেচে থাকে।)

সুতরাং,

\displaystyle a_m = sqrt{\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)mathrm{sin}\left(mpi x/L\right)mathrm{d}x —— (7)

(7) নং সমীকরণ ব্যবহার করে সহজেই প্রদত্ত প্রারম্ভিক শর্ত থেকে ধ্রুবকগুলির মান বের করে নেওয়া যায়। যেমন ধর যদি f(x) = sqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}\left(pi x/L\right), তাহলে তোমরা দেখতেই পাচ্ছো যে a_1 = 1 এবং অন্যান্য a_n ধ্রুবকগুলির মান শূন্য। তোমাদের জন্য একটি প্রবলেম দেওয়া রইল। যদি f(x) = x(x-L) হয় তবে ধ্রুবকগুলির মান বের করার চেষ্টা কর। (প্রথমেই দেখে নিতে ভূলোনা যে এই প্রদত্ত ফাংশনটি কি ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন হতে পারে?)

আজ ছুটি কাটিয়ে কর্মস্থলে প্রত্যাবর্তন করছি! 🙁 এই ব্যাপারটি সত্যিই খুব বাজে, বিশেষত যারা নিজের বাড়ি বা দেশ থাকে অনেক দূরে কাজ করে তাদের জন্য। তবে এখনো পর্যন্ত সফর বেশ রোমাঞ্চকরই হল বলা যেতে পারে। সকাল সকাল এয়ারলাইন দয়া করে টিকিট বিনামূল্যে ইকোনমি ক্লাস থেকে বিজনেস ক্লাসে আপগ্রেড করে দিল, ফ্লাইটে দুজন বিখ্যাত ফিল্ম আর্টিস্টের পাশে বসে এলাম এবং তারপর এয়ারপোর্টে ওয়াসিম আক্রম ও সৌরভ গাঙ্গুলীকে একদম সামনে থেকে দেখলাম। মজার ব্যাপার হল যে এয়ারপোর্টের সিকিউরিটি গার্ড সৌরভ গাঙ্গুলীর কাছে ওনার পরিচয়পত্র দেখতে চাইছিল! এতদূর সব ঠিকই ছিল, কিন্তু এখন আমাকে এয়ারপোর্টে বসে থাকতে হত পাক্কা ছ’ঘন্টা। বসে বসে বোর হয়ে পাছে দাড়িতে পা৺ক ধরে সেই ভয়ে একটা আর্টিকেল লিখতে বসে গেছিলাম। তার উপরে কথায় আছে অলস মস্তিষ্ক শয়তানের বাসা, তাই ফ্লাইটে গলাধঃকরণ করা মূরগির টুকরো হজম করার সবথেকে ভালো পন্থা ছিল এটাই। আর এখানে বসে লেখার আরেকটা সুবিধা হল যে মাঝে মঝেই চোখ তুলে সামন দিয়ে চলমান সুন্দরী ললনাদের একটু করে দেখে নেওয়াও যাচ্ছে! যাই হোক আজ এপর্যন্তই রইল, পরবর্তি ফ্লাইটের সময় হয়ে এল। এক পেগ হুইস্কি খেয়ে বোর্ডিং করতে যাই। 😉

5 thoughts on “ফুরিয়ের সিরিজ ও ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন”

  2. ei topic er upr r o kyekta mathematical prblm alochona krle valo hoy dada… Ektu briefly study dorkar.. Asa kori nxt post taratari pabo

    Reply

    1. sujoy, next post taratari likhbo; তুমি কি ইনফাইনাইট ওয়েল এর উপরেই আরও জানতে চাচ্ছো?

      Reply

Leave a Reply to sujoy Cancel reply

Your email address will not be published.