স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট

এতদিনে তোমরা অবশ্যই জেনে গেছ যে স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনগুলি হল সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান। ওদের কিছু বৈশিষ্ট তোমাদের বলেও দিয়েছি। আজকের আলোচনার উদ্দেশ্য স্টেশনারি স্টেটগুলির সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্টগুলিকে একত্রিত করে সংক্ষেপে লেখা, যাতে কিনা যখনই প্রয়োজন পড়বে তখওনই চট করে ঝালিয়ে নেওয়া যায়। তোমাদের কারও যদি রান্না করার অভিজ্ঞতা থাকে তাহলে বুঝবে যে প্রয়োজনের সমস্ত জিনিস হাতের কাছে গুছিয়ে রাখার গুরুত্ব কতটা। নাহলে সেই রান্না করা খাবার ফ্রীতে দিলেও কেউ খাবেনা। পুরোটাই নর্দমার পেটে যাবে। অতএব n তম স্থানু স্টেটের ওয়েভ ফাংশন লিখে চল শুরু করা যাক,

\displaystylePsi_n(x,t) = Psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}   ———- (1)

যেখানে Psi_n(x) নিম্নলিখিত সমীকরণটি মেনে চলে,

HPsi_n(x) = E_nPsi_n(x)   ———— (2)

\displaystyle H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +V (x) হল হ্যামিল্টোনিয়ান অপারেটর। (বলতো (2)  নং সমীকরণের নাম কি?)

বৈশিষ্ট ১) আগেই দেখেছো স্থানু স্টেটগুলি পরষ্পরের সাথে অর্থোনর্মাল; অর্থাৎ,

\displaystyle \int Psi_n(x)^* Psi_m(x) mathrm{d}x = delta_{mn}    —– (3)

অর্থোনর্মাল ভেক্টরের উপমা নিলে ব্যাপারটি বুঝতে অনেক সুবিধা হবে। তোমরা জানো যে কার্টিজিয়ান স্থানাঙ্কে (cartesian coordinate system) X, Y ও Z অক্ষ বরাবর ইউনিট ভেক্টরেরা যদি যথাক্রমে hat{x}, hat{y} ও hat{z} হয়, তবে hat{x}.hat{y} = hat{x}.hat{z} = hat{y}.hat{z} = 0 এবং hat{x}.hat{x} = hat{y}.hat{y} = hat{z}.hat{z}=1। এই ইউনিট ভেক্টরেরা পরষ্পরের অর্থোনর্মাল। স্থানু ফাংশনগুলির ক্ষেত্রেও ব্যাপারটা অনেকটা সেরকমই।

বৈশিষ্ট ২) স্থানু স্টেটগুলির প্রবাবিলিট ঘনত্ব (probability density) সময়ের উপর নির্ভর করেনা।

|Psi_n(x,t)|^2=Psi_n(x,t)^*Psi_n(x,t) = Psi_n(x)^*e^{iE_nt}/\hbar Psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar} = |Psi_n(x)|^2   ———— (4)

বৈশিষ্ট ৩) কোনো স্থানু স্টেটে অবস্থানের এক্সপেকটেশন ভ্যালূ বা গড় মান সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়না (বিশ্বাস না হলে অঙ্ক কষে দেখ)। ইনফাইনাইট ওয়েলের ক্ষেত্রে,

\displaystyle \langle x \rangle = \int_0^L Psi_n(x)^* x Psi_n(x) mathrm{d}x = \frac{L}{2} ——– (5)

সুতরাং রৈখিক ভরবেগের গড় মান

\langle p \rangle = \frac{d \langle x\rangle}{dt} = 0   —- (6)

আর যেহেতু স্থানু স্টেটগুলির শক্তিও সময়ের উপর নির্ভর করেনা, তাই এটা বলা হয় যে স্থানু স্টেটগুলিতে কখওনো কোন ঘটনা ঘটেনা (nothing ever happens)।

বৈশিষ্ট ৪) স্টেশনারি ওয়েভ ফাংশনগুলোকে একত্র করে একটা কমপ্লিট সেট (complete set) তৈরি করা যায়, যাতে কিনা যেকোনো ফাংশনকে এই স্টেশনারি ওয়েভ ফাংশনগুলির লিনিয়ার কম্বিনেশন (ধ্রুবক দিয়ে গুণ করে তাদের যোগফল) হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব।  এই বৈশিষ্টকে বলা হয় কমপ্লিটনেস তত্ত্ব। এটা ব্যবহার করেই ইনফাইনাইট ওয়েলের জেনারেল সমাধান লেখা হয়েছিল। ধর f(x) কোন একটি ফাংশন যাকে আমরা স্টেশনারি ফাংশনগুলির মাধ্যমে লিখতে চাই, অর্থাৎ

\displaystyle f(x) = \sum_n a_n Psi_n(x) —– (7)

স্টেশনারি ফাংশনের অর্থোনর্মালিটি শর্ত ব্যবহার করে আমরা জানি যে,

\displaystyle a_n = \int Psi_n(x')^* f(x') mathrm{d}x' —– (8)

এই সমীকরণটিতে x' কেন ব্যবহার করা হয়েছে তা একটু পরেই বুঝতে পারবে। এবারে (8) নং সমীকরণ থেকে a_n এর মান (7) নং সমীকরণে বসিয়ে আমরা পাই,

\displaystyle f(x) = \sum_n \int \left[ Psi_n(x')^* f(x') mathrm{d} x' \right] Psi_n(x) —— (9)

এই সমীকরণে ইন্টিগ্রেশন শুধুমাত্র বন্ধনীর মাঝের ফাংশনগুলির উপরেই প্রযোজ্য। তাই তাদের উপর (') চিহ্ন বসিয়ে আলাদা করা হয়েছে। অতঃপর একটু সাজিয় লিখে,

\displaystyle f(x) = \int f(x') \left[ \sum_n Psi_n(x')^* Psi_n(x) \right] mathrm{d} x'  —— (10)

যদি (10)  নং সমীকরণকে সত্যি হতে হয় তবে

\displaystyle \sum_n Psi_n(x')^* Psi_n(x) = delta (x - x') ——— (11)

যেখানে delta (x - x') কে বলা হয় ডিরাক ডেল্টা ফাংশন যার মান 0 যদি x neq x'। এই ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের বৈশিষ্ট হল,

\displaystyle \int f(x') delta (x-x') mathrm{d}x' = f(x)  ——– (12)

ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের এই বৈশিষ্ট ব্যবহার করেই (10) নং সমীকরণের উপসিদ্ধান্ত হিসেবে আমরা (11) নং সমীকরণটিকে লিখতে পেরেছি। (11) নং সমীকরণকেই বলা হয় কমপ্লিটনেস সূত্র (completeness relation)। কোন ফাংশনের সেট কমপ্লিট কিনা সেটা প্রমাণ করা কঠিন। কিন্তু এটা আমাদের সৌভাগ্য যে বেশির ভাগ ব্যবহারিক ক্ষেত্রেই সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধানগুলি কমপ্লিট সেট তৈরি করে। হয়তো ঈশ্বর এই বিশ্ব সৄষ্টির সময় নিজের কাজ সহজ করার জন্যই এরকম করেছেন। কিছুদিনে আগে একটা প্রবন্ধ পড়েছিলাম যেখানে লেখকের বক্তব্য ছিল যে এই বিশ্ব-ব্রহ্মাণ্ড একটা কম্পিউটার সিমুলেশন। হয়তো সেটাই সত্যি। সেজন্যই বিশ্ব-ব্রহ্মান্ডের সবকিছুই নাকি অঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। অবশ্য এটা জানতে চেয়োনা যে সেই কম্পিউটার কোথায় অবস্থিত।

আজ এ পর্যন্তই রইল।

3 thoughts on “স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট”

    1. বলা মুশকিল। সম্ভবত নেই। তবে লোকাল বইয়ের দোকানে একবার খোজ করে দেখতে পারেন।

      Reply

Leave a Reply to admin Cancel reply

Your email address will not be published.