কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর সম্মন্ধে জ্ঞান পদার্থবিদ্যার চর্চা ও ব্যবহারিক প্রয়োগের জন্য অত্যন্ত প্রয়োজনীয়। নাম থেকেই বোঝা যায় যে কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর হল সরল দোলকের কোয়ান্টাম সংস্করণ। বস্তুর যেকোনো ধরনের গতি বা চলন, তা সে যতই জটিল হোক না কেন, সবসময়ই একাধিক সরল দোলগতির সমন্বয় হিসেবে প্রকাশ করা যায়। ফুরিয়ের ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে সেটা করা সম্ভব। তাই সরল দোলকের কোয়ান্টাম মেকানিকাল সমাধান কোয়ান্টাম পদার্থবিদ্যায় একটি বিশষ স্থান দখল করে। অজস্র ব্যবহারিক ক্ষেত্রে, যেমন কোয়ান্টাম ফিল্ড থিয়োরী, কনডেন্সড ম্যাটার ফিজিক্স ইত্যাদিতে এর প্রয়োগ হামেসাই হয়। এই পোস্টে আমরা সরল দোলক বা হারমোনিক অসিলেটরের কোয়ন্টাম মেকানিক্স নিয়ে আলোচনা করব। সরল দোলকের একটি খুব প্রচলিত দৃষ্টান্ত হল ভারহীন স্প্রীংয়ের এক মাথায় বাধা একটি বস্তু। যদি বস্তুটির ভর $m$ ও স্প্রীংয়ের বল ধ্রুবক বা force constant $k$ হয়, তবে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র প্রয়োগ করে তোমরা জানো যে

$\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2} = F = -kx$ ——- (1)

চিত্র ১ - সরল দোলক। স্প্রীংয়ের মাথায় লাগানো বস্তুটি সরল দোলগতিতে দুলতে থাকে। ছবি সৌজন্যেঃ wikimedia commons — চিত্র ১ – সরল দোলক। স্প্রীংয়ের মাথায় লাগানো বস্তুটি সরল দোলগতিতে দুলতে থাকে। ছবি সৌজন্যেঃ wikimedia commons

এই সমীকরণের সমাধান হল (বের করা খুবই সহজ),

$x(t) = A mathrm{sin}(omega t) + B mathrm{cos}(omega t)$ ——– (2)

যেখানে $\displaystyle omega = sqrt{\frac{k}{m}}$ হল সরল দোলগতির কম্পাঙ্ক। এখানে একটি ব্যাপার উল্লেখ করা একটু প্রয়োজন। সরল দোলগতি শব্দে সরল কথাটির তাৎপর্য। লক্ষ্য কর যে (2) নং সমীকরণে $x(t)$ তে শুধুমাত্র একটি কম্পাঙ্ক রয়েছে, অর্থাৎ বস্তুটি একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কেই দুলতে থাকে। তাই ওর দোলগতি সরল! যাই হোক, একমাত্রায় সরল দোলগতি সম্পন্ন বস্তুর স্থিতিশক্তি বা পোটেনশিয়াল এনার্জি

$\displaystyle V(x) = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m omega^2 x^2$ ———- (3)

এই পোটেনশিয়াল ব্যবহার করে আমরা বস্তুকণাটির একমাত্রিক সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ (one dimensional time independent Schrödinger equation) লিখে ফেলতে পারি,

$\displaystyle \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\right]Psi = EPsi$

$\displaystyle \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m omega^2 x^2\right)Psi = EPsi$ ————- (4)

যেখানে $E$ হল কণাটির শক্তি ও $Psi$ হল কণাটির ওয়েভ ফাংশন বা স্টেট। উল্লেখ্য যে (4) নং সমীকরণের বামদিকের প্রথম বন্ধনীর মধ্যের পদটিকে বলা হয় কণাটির হ্যামিল্টোনিয়ান $H$ । তোমাদের নিশ্চয় মনে আছে যে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণকে এভাবেও লেখা হয়ে থাকে, $HPsi = EPsi$ ।

(4) নং সমীকরণ একটি সেকেন্ড অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। এটাকে সমাধান করার একটি উপায় হল “পাওয়ার সিরিজ” পদ্ধতি। এই পদ্ধতিতে ওয়েভ ফাংশনকে $x$ -এর পাওয়ার সিরিজ (power series) হিসেবে লেখা হয়। পদ্ধতিটি সহজ কিন্তু বিরক্তিকর। তাই সেটা সম্মন্ধে এখানে আলোচনা করব না। তার বদলে অন্য একটি পরিচ্ছন্ন ও সুন্দর বীজগাণিতিক পদ্ধতির মাধ্যমে আমরা আজ সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান বের করব। এই পদ্ধতিটির নাম ল্যাডার অপারেটর পদ্ধতি (ladder operator method) এবং এর আবিষ্কর্তা পল ডিরাক। ল্যাডার অপারেটর পদ্ধতি কোয়ান্টাম ফিল্ড থিয়োরীতেও অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই পদ্ধতি সহজে বুঝবার জন্য চল (4) নং সমীকরণটিকে আরও একটু ইঙ্গিতবহ করে লেখা যাক,

$\displaystyle \frac{1}{2}\left[momega^2 x^2 - \frac{\hbar^2}{m}\frac{d^2}{dx^2} \right]Psi = E Psi$

বা, $\displaystyle \frac{1}{2m}\left[(momega x)^2 - \hbar^2\frac{d^2}{dx^2} \right]Psi = E Psi$

বা, $\displaystyle \frac{1}{2m}\left[(momega x)^2 + \left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)^2\right]Psi = EPsi$

বা, $\displaystyle \frac{1}{2m}\left[(momega hat x)^2 + hat p^2\right]Psi = EPsi$ ——- (5)

বলাই বাহুল্য $p$ ও $x$ -এর মাথায় টুপি পড়িয়ে বোঝানো হয়েছে যে ওরা অপারেটর। যদি $p$ ও $x$ সাধারণ জটিল রাশি হত তবে তোমরা জানো যে, $[(momega x)^2 + p^2] = (momega x + ip)(momega x - ip)$ । কিন্তু যেহেতু $p$ ও $x$ কোয়ান্টাম মেকানিকাল অপারেটর এবং তারা পরষ্পরের সাথে কমিউট করেনা, তাই $[(momega x)^2 + p^2] neq (momega x + ip)(momega x - ip)$ । তথাপি এই ব্যাপারটি থেকে অনুপ্রাণিত হয়ে ডিরাক নিম্নলিখিত দুটো অপারেটর তৈরি করেছিলেন,

$\displaystyle a = \frac{1}{sqrt{2\hbar momega}}(momega hat x + ihat p)$ ——– (6)

এবং,

$\displaystyle a^{\dagger} = \frac{1}{sqrt{2\hbar momega}}(momega hat x - ihat p)$ ———- (7)

চল এবারে একটু অংক কষা যাক। প্রথমেই $a a^{\dagger}$ ও $a^{\dagger}a$ এর মান বের করা যাক। আমরা লেখার সুবিধার জন্য অপারেটরদের মাথার উপরের টুপিগুলোকে পরিত্যাগ করব।

$\displaystyle a a^{\dagger} = \frac{1}{2\hbar momega}(momega x + ip)(momega x - ip)$

$\displaystyle = \frac{1}{2\hbar momega}[(momega x)^2 + p^2 -im omega(xp-px)]$

$\displaystyle = \frac{1}{2\hbar momega}[(momega x)^2 + p^2 -imomega [x,p]$

$\displaystyle = \frac{1}{\hbar omega}\left(\frac{1}{2}momega^2 x^2 +\frac{p^2}{2m}\right) -\frac{i}{2\hbar}[x,p]$

বা, $\displaystyle a a^{\dagger} = \frac{1}{\hbaromega}H +\frac{1}{2}$ ———— ((8)

এখানে আমরা ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সম্পর্ক ব্যবহার করে $[x,p] = i\hbar$ লিখেছি। এছাড়াও (5) নং সমীকরণ থেকে $H$ এর মান ব্যবহার করা হয়েছে। (8) নম্বর সমীকরণটিকে একটু সাজিয়ে লিখলেই $a$ ও $a^{\dagger}$ মাধ্যমে $H$ কে লেখা যায়,

$\displaystyle H = \hbaromega \left(a a^{\dagger} - \frac{1}{2}\right)$ ———– (9)

একইভাবে দেখানো যেতে পারে যে,

$\displaystyle a^{\dagger}a = \frac{1}{\hbaromega}H -\frac{1}{2}$ ———– (10)

এবং, $\displaystyle H = \hbaromega\left(a^{\dagger} a+ \frac{1}{2}\right)$ ———- (11)

তোমরা এটাও সহজেই কষে দেখতে পারো যে, $[a,a^{\dagger}] = 1$ । চল এবারে দেখা যাক সরল দোলকের কোন একটি স্টেশনারি সমাধান $Psi$ এর উপর $a$ ও $a^{\dagger}$ অপারেট করলে কি হয়। এটাই এই পুরো গণনার সবথেকে গুরুত্বপূর্ণ ভাগ। সুতরাং ভাল করে লক্ষ্য কর। আমাদের প্রথম উদ্দেশ্য হল $a^{\dagger}Psi=?$ সেটা বের করা। সেজন্য আমরা $a^{\dagger}Psi$ এর উপর হ্যামিল্টোনিয়ান অপারেটর $H$ প্রয়োগ করে দেখব যে স্টেটটির শক্তিতে কি পরিবর্তন হয়েছে।

$\displaystyle H (a^{\dagger}Psi) = \hbaromega\left(a^{\dagger}a +\frac{1}{2}\right)(a^{\dagger}Psi) = \hbaromega\left(a^{\dagger}a a^{\dagger} + \frac{1}{2}a^{\dagger}\right)Psi$ [(11) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে।]

যেহেতু $[a,a^{\dagger}] = 1$ , তাই $a a^{\dagger} = (1 + a^{\dagger}a)$ ব্যবহার করে,

$\displaystyle H (a^{\dagger}Psi) = \hbaromega\left(a^{\dagger} + a^{\dagger}a^{\dagger}a +\frac{1}{2}a^{\dagger}\right)Psi = a^{\dagger}\hbaromega\left(1+ a^{\dagger}a +\frac{1}{2}\right)Psi$

$\displaystyle = a^{\dagger}(H +\hbaromega)Psi$ [(11) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে।]

$\displaystyle= a^{\dagger}(E +\hbaromega)Psi$

এখানে $HPsi = EPsi$ ব্যবহার করা হয়েছে। যেহেতু $(E+\hbaromega)$ একটি ধ্রুবক তাই তা $a^{\dagger}$ (একটি অপারেটর) এর সাথে কমিউট করে। সুতরাং সমান চিহ্নের ডানদিকে $(E+\hbaromega)$ কে সামনে নিয়ে এসে আমরা লিখতে পারি,

$\displaystyle H (a^{\dagger}Psi) = (E +\hbaromega)(a^{\dagger}Psi)$ ———- (12)

(12) নং সমীকরণ অত্যন্ত তাৎপর্যপূর্ণ। এটাও কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ যেখানে $(a^{\dagger}Psi)$ হল ওয়েভ ফাংশন ও $(E +\hbaromega)$ শক্তি। অর্থাৎ সরল দোলকের কোন একটি স্টেশনারি সমাধান $Psi$ এর উপর $a^{\dagger}$ অপারেট করলে দোদুল্যমান বস্তুকণার (oscillating particle) শক্তির পরিমান $\hbaromega$ বেড়ে যায়। অন্যভাবে বললে হারমোনিক অসিলেটরের $E$ শক্তি সম্পন্ন স্টেট $Psi$ এর উপর $a^{\dagger}$ অপারেট করলে $(E+\hbaromega)$ শক্তি সম্পন্ন একটি নতুন স্টেট উৎপন্ন হয়। তার মানে হল এই যে $a^{\dagger}$ এমন একটি মেশিনের মত আচরণ করে যা দিয়ে কোন প্রদত্ত স্টেট থেকে $\hbaromega$ বেশি শক্তি সম্পন্ন আরেকটি নতুন স্টেট তৈরি করা যায়। এজন্য $a^{\dagger}$ কে রেইজিং অপারেটর বলা হয়। একইভাবে দেখানো যেতে পারে যে,

$\displaystyle H (aPsi) = (E -\hbaromega)(aPsi)$ ———— (13)

অর্থাৎ, $E$ শক্তি সম্পন্ন স্টেট $Psi$ এর উপর $a$ অপারেট করলে $(E-\hbaromega)$ শক্তি সম্পন্ন একটি নতুন স্টেট উৎপন্ন হয়। $a$ অপারেটরকে বলা হয় লোয়ারিং অপারেটর, কারন এটা কোন প্রদত্ত স্টেট থেকে $\hbaromega$ কম শক্তি সম্পন্ন নতুন স্টেট তৈরি করে। $a$ ও $a^{\dagger}$ অপারেটরদের একত্রে বলা হয় ল্যাডার (ladder) বা মই অপারেটর। এই অপারেটরগুলো আদপে মইয়ের মতই কাজ করে। মইয়ের কোন একটি ধাপ থেকে যেমন উপরে বা নিচে দুদিকেই যাওয়া যায়, তেমনি এই ল্যাডার অপারেটর দুটি ব্যবহার করে হারমোনিক অসিলেটরের কোন একটি স্টেশনারি স্টেট জানা থাকলে তা থেকে ওই স্টেটটি থেকে কম বা বেশি শক্তি সম্পন্ন বাকি সমস্ত স্টেট গণনা করা যেতে পারে। ল্যাডার অপারেটরদের কার্যপ্রণালী থেকে আরও একটি বিষয় জানা যায়। তা হল – হারমোনিক অসিলেটরের বিভিন্ন স্টেশনারি স্টেটদের মাঝে শক্তির পার্থক্য $\hbaromega$ । অর্থাৎ হারমোনিক অসিলেটরের শক্তি কোয়ান্টাইজড।

ধর তুমি হারমোনিক অসিলেটর বা সরল দোলকের কোন একটি স্টেট $Psi$ জানো। এর উপর বারবার লোয়ারিং অপারেটর $a$ প্রয়োগ করলে ক্রমশ কম শক্তি সম্পন্ন নতুন নতুন স্টেট উৎপন্ন হতে থাকবে। যেহেতু সরল দোলকের শক্তি ঋণাত্মক হতে পারেনা, তাই লোয়ারিং অপারেটর ক্রমাগত প্রয়োগ করতে থাকলে ন্যুনতম শক্তি সম্পন্ন এমন একটি স্টেট ( $Psi_0$ ) তৈরি হবে যার উপর লোয়ারিং অপারেটর $a$ প্রয়োগ করলে ফল হবে শূন্য। অর্থাৎ,

$aPsi_0 = 0$ ———- (14)

$a$ এর মান বসিয়ে,

বা, $\displaystyle \frac{1}{sqrt{2\hbar m omega}}\left(momega x + ip\right)Psi_0 = 0$

বা, $\displaystyle \frac{1}{sqrt{2\hbar m omega}}\left[momega x +i \left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\right]Psi_0=0$

বা, $\displaystyle \frac{1}{sqrt{2\hbar m omega}}\left(momega x +\hbar\frac{d}{dx}\right)Psi_0=0$

বা, $\displaystyle \frac{dPsi_0}{dx} = -\frac{momega}{\hbar}xPsi_0$ ——— (15)

এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটির সমাধান হল ন্যুনতম শক্তি সম্পন্ন স্টেটটির ওয়েভ ফাংশন। এই স্টেটটিকে বলা হয় হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেট। (15) নং সমীকরণটিকে একটু সাজিয়ে লিখে ইন্টিগ্রেট করলে,

$\displaystyle \int \frac{dPsi_0}{Psi_0} = -\frac{momega}{\hbar}\int xdx$

বা, $\displaystyle mathrm{ln}Psi_0 = mathrm{ln}C - \frac{momega}{2\hbar}x^2$

বা, $\displaystyle Psi_0 =Ce^{- \frac{momega}{2\hbar}x^2}$ ——– (16)

অর্থাৎ গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন একটি গাউসিয়ান ফাংশন। $C$ ধ্রুবকটির মান নর্মালাইজেশন শর্ত ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়।

$\displaystyle C^2\int_{-infty}^{infty} e^{- \frac{momega}{\hbar}x^2}dx = 1$

এটা একটা গাউসিয়ান ইন্টিগ্রেশন যার মান গামা ফাংশন ব্যবহার করে গণনা করা হয়। সেজন্য ধরে নাও যে $\frac{momega}{\hbar}x^2 = s$ এবং গামা ফাংশনের নিম্নলিখিত ফর্মূলা ব্যবহার কর (লক্ষ্য কর যে ইন্টিগ্রেশনের ভেতরের ফাংশনটি একটি ইভেন ফাংশন),

$\displaystyle \int_{0}^{infty}e^{-s}s^{n-1}ds = \Gamma(n)$

ইন্টিগ্রেশন করলে দেখতে পাবে যে $C^2 = sqrt{momega/pi \hbar}$ । অতএব,

$\displaystylePsi_0(x) = \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}e^{- \frac{momega}{2\hbar}x^2}$ ———— (17)

এবারে আমরা গ্রাউন্ড স্টেটের শক্তি বের করব। সেটা করার একটা উপায় হল উপরোক্ত সমাধানটিকে (4) নং সমীকরণে বসিয়ে অংক কষা। কিন্তু আমরা একটু বুদ্ধি খাটিয়ে সহজেই গ্রাউন্ড স্টেট এনার্জি ( $E_0$ ) বের করে ফেলতে পারি। (11) নং সমীকরণ থেকে $H = \hbaromega\left(a^{\dagger} a+ \frac{1}{2}\right)$ গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশনের উপর প্রয়োগ করে,

$\displaystyle HPsi_0 = E_0Psi_0$

বা, $\displaystyle \hbaromega\left(a^{\dagger} a+ \frac{1}{2}\right)Psi_0 = E_0Psi_0$

বা, $\displaystyle \hbaromega a^{\dagger} aPsi_0+ \frac{1}{2}Psi_0 = E_0Psi_0$

যেহেতু, $a Psi_0 = 0$ , তাই

$E_0Psi_0 = \frac{1}{2}\hbaromegaPsi_0$

সুতরাং, $E_0 = \frac{1}{2}\hbaromega$ ——————– (18)

অর্থাৎ গ্রাউন্ড স্টেটে সরল দোলকের শক্তির একটি ন্যুনতম মান থাকে যা শূন্য নয়। এই শক্তিকে জিরো পয়েন্ট এনার্জিও বলা হয়। একবার গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন ও শক্তি জানা হয়ে গেলে তার উপর বারবার রেইজিং অপারেটর $a^{\dagger}$ প্রয়োগ করে যেকোনো এক্সাইটেড বা অধিক শক্তি সম্পন্ন স্টেট ও তার শক্তি নির্ণয় করা সম্ভব। মনে রাখবে যে, রেইজিং অপারেটর $a^{\dagger}$ একবার প্রয়োগ করলে শক্তি $\hbaromega$ পরিমান বৃদ্ধি পায়। সুতরাং $n$ বার $a^{\dagger}$ অপারেটর $Psi_0$ এর উপর প্রয়োগ করে আমরা $n$ তম এক্সাইটেড স্টেট বের করতে পারি যার শক্তি ( $E_n$ ) গ্রাউন্ড স্টেটের থেকে $n\hbaromega$ বেশি। অর্থাৎ,

$Psi_n(x) = C_n(a^{\dagger})^nPsi_0(x)$ এবং $E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbaromega$ —————- (19)

যেখানে $C_n$ নর্মালাইজেশন ধ্রুবক। আরও উল্লেখ্য যে $n$ -কে বলা হয় কোয়ান্টাম নম্বর।

References:
1. D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics
2. Wikipedia
3. Hyperphysics

2 thoughts on “কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর”

sujoy says:

November 25, 2013 at 2:43 pm

OSHADHARON POST… KONO PROSONGSAI JOTHESTO NOI ER JONNO… EKONO OBDHI BEST…
DHONYOBAD DADA..ASA KORI EVABE ARO UPOKRITO KORBEN

1. admin says:
  
  November 25, 2013 at 7:00 pm
  
  সুজয়, তোমকেও ধন্যবাদ পড়ার জন্য। অবশ্যই আরো পোস্ট করতে থাকবো।

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর

Related

2 thoughts on “কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর”

Leave a Reply to admin Cancel reply

Share this:

Related

2 thoughts on “কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর”

Leave a Reply to admin Cancel reply