হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন

সরল দোলক বা হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন

$\displaystyle Psi_0(x) = \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{momega}{2\hbar}x^2}$ (1)

তোমরা জানো যে গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশনের উপর ক্রীয়েশন অপারেটর $a^{\dagger}$ বারবার প্রয়োগ করে যেকোনো এক্সাইটেড স্টেটের ওয়েভ ফাংশন গণনা করা যায়।

$\displaystyle Psi_n(x) = \frac{1}{sqrt{n!}}(a^{\dagger})^nPsi_0(x)$ (2)

সুতরাং, (নিচের গণনাগুলি তোমাদের করে দেখতে বলা হয়েছেল।)

$\displaystyle Psi_1(x) = a^{\dagger}Psi_0(x)= \frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}\left(momega x -ip\right)Psi_0(x)$

$\displaystyle = \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}sqrt{\frac{2momega}{\hbar}}xe^{-\frac{momega}{2\hbar}x^2}$ [ $p = -i\hbar\frac{d}{dx}$ ব্যবহার করে] (3)

$\displaystyle Psi_2(x) = \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}\frac{1}{sqrt{2}}\frac{1}{sqrt{2momega\hbar}}\left(momega x -ip\right)Psi_1(x)$

$\displaystyle = \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}\frac{1}{sqrt{2}}\frac{1}{2}\left[4\left(sqrt{\frac{momega}{\hbar}}x\right)^2 - 2\right]e^{-\frac{momega}{2\hbar}x^2}$

$\displaystyle = \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}\frac{1}{sqrt{2}}\frac{1}{2}H_2\left(sqrt{\frac{momega}{\hbar}}x\right)e^{-\frac{momega}{2\hbar}x^2}$ (4)

এবং $n$ তম স্টেশনারি স্টেটের জন্য,

$\displaystyle Psi_n(x)= \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}\frac{1}{sqrt{2^n n!}}H_n\left(sqrt{\frac{momega}{\hbar}}x\right)e^{-\frac{momega}{2\hbar}x^2}$ (5)

যেখানে $H_n(t)$ হল হারমাইট পলিনোমিয়াল।

$\displaystyle H_n(t) = (-1)^n e^{t^2}\left(\frac{d}{dt}\right)^ne^{-t^2}$ (6)

কয়েকটি হারমাইট পলিনোমিয়ালের রূপ নিচে দেওয়া হল। এদের সম্মন্ধে অধিক জানতে হলে যেকোনো ম্যাথেমেটিকাল ফিজিক্সের বই দেখ।

$H_0(t) = 1$

$H_1(t) = 2t$

$H_2(t) = 4t^2 -2$

$H_3(t) = 8t^3-12t$

$H_4(t) = 16t^4 - 48t^2 +12$

$H_5(t) = 32t^5 -160t^3 +120t$ (7)

নিচের চিত্রে $n$ এর কয়েকটি মানের জন্য হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন এ৺কে দেখানো হয়েছে। মনে রাখবে এগুলো সবই স্টেশনারি স্টেট।

হারমোনিক অসিলেটরের প্রথম চারটি স্টেশনারি স্টেট।

ইনফাইনাইট ওয়েলের মত এক্ষেত্রেও স্টেশনারি স্টেটগুলি পরষ্পরের সাথে অর্থোনর্মাল। অর্থাৎ,

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty}Psi_m(x)^*Psi_n(x)dx = delta_{mn}$ (8)

প্রমাণঃ এর আগের পোস্ট থেকে তোমরা জানো যে (নম্বর অপারেটর),

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty}Psi_m(x)^*(a^{\dagger}a)Psi_n(x)dx = n\int_{-infty}^{infty}Psi_m(x)^*Psi_n(x)dx$ (9)

আবার হারমিশিয়ান কনজুগেটের সংজ্ঞা ব্যবহার করে,

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty}Psi_m(x)^*(a^{\dagger}a)Psi_n(x)dx =\int_{-infty}^{infty}Psi_m(x)^*[a^{\dagger}(aPsi_n(x))]dx$

$\displaystyle = \int_{-infty}^{infty}(aPsi_m(x))^*(aPsi_n(x))dx$

$\displaystyle = \int_{-infty}^{infty}(aPsi_m(x))^*a Psi_n(x)dx$

$\displaystyle =\int_{-infty}^{infty}[a^{\dagger}(aPsi_m(x))]^* Psi_n(x)dx$

$\displaystyle =\int_{-infty}^{infty}[a^{\dagger}aPsi_m(x)]^* Psi_n(x)dx$

বা, $\displaystyle \int_{-infty}^{infty}Psi_m(x)^*(a^{\dagger}a)Psi_n(x)dx=m\int_{-infty}^{infty}Psi_m(x)^* Psi_n(x)dx$ (10)

(9) ও (10) নং সমীকরণকে একসাথে সত্যি হতে গেলে $\displaystyle \int_{-infty}^{infty}Psi_m(x)^*Psi_n(x)dx = delta_{mn}$ হতেই হবে। কারণ একমাত্র তাহলেই $mneq n$ হলে (9) ও (10) নং সমীকরণের ডানদিকের মান শূন্য।

ইনফাইনাইট ওয়েলের মতই হারমোনিক অসিলেটরের ক্ষেত্রেও কোনো স্টেশনারি স্টেটের ( $Psi_n$ ) সময়ের উপর নির্ভরতা নির্ণয় করতে গেলে তার সাথে $e^{-iE_nt/\hbar}$ গুণ করে দিলেই হল, যেখানে $E_n = (n+1/2)\hbaromega$ । ফুরিয়ের সিরিজের মত পদ্ধতি ব্যবহার করে এক্ষেত্রেও স্টেশনারি স্টেটগুলির মাধ্যমে সময় নির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের জেনারেল সমাধান লেখা যায়।

$\displaystyle Psi(x, t) = \sum_{n=0}^{infty} c_nPsi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$ (11)

যেখানে $c_n$ হল ধ্রুবক যাদের মান প্রারম্ভিক শর্ত থেকে নির্ণয় করা যায়। নিচে ২ নং চিত্রে গ্রাউন্ড স্টেট ও প্রথম দুটি এক্সাইটেড স্টেটের সমন্বয়ে তৈরী জেনারেল সমাধানের থেকে প্রাপ্ত প্রবাবিলিটি ঘনত্বের সময়ের উপর নির্ভরতা দেখানো হয়েছে,

$\displaystyle |Psi(x,t)|^2 = |Psi_0text{e}^{-iE_0t/\hbar}+Psi_1text{e}^{-iE_1t/\hbar}+Psi_2text{e}^{-iE_2t/\hbar}|^2$

sho — চিত্র ২ – গ্রাউন্ড স্টেট ও প্রথম দুটি এক্সাইটেড স্টেটের সমন্বয়ে তৈরী স্টেটের প্রবাবিলিটি ঘনত্বের সময়ের উপর নির্ভরতা।

ক্লাসিকাল মেকানিক্স অনুসারে যদি সরল দোলগতির বিস্তার $a$ , হয় তবে দোদূল্যমান বস্তুর অবস্থান সর্বদাই $-a$ থেকে $a$ এর মধ্যেই থাকবে। কিন্তু কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের (সরল দোলক) ক্ষেত্রে বস্তটির এই ক্লাসিকাল পরিসরের বাইরে থাকার সসীম সম্ভাবনা থাকে। অর্থাৎ,

$\displaystyle \int_{a}^{infty}Psi_n(x)^*Psi_n(x)dx = \int_{-infty}^{-a}Psi_n(x)^*Psi_n(x)dx = mathrm{finite}$ (12)

যেমন গ্রাউন্ড স্টেটের ক্ষেত্রে বস্তটির শক্তি $E_0 = (1/2)\hbaromega$ । সুতরাং $E_0 = (1/2)momega^2a^2 = (1/2)\hbaromega$ , বা $a = sqrt{\hbar/momega}$ । অতএব,বস্তুটির ক্লাসিকাল পরিসরের বাইরে থাকার সম্ভাবনা,

$\displaystyle =2\int_{sqrt{\hbar/momega}}^{infty}Psi_0(x)^*Psi_0(x)dx$

$\displaystyle = 2\left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}\int_{sqrt{\hbar/momega}}^{infty}e^{-(momega/\hbar)x^2}dx$

$\displaystyle = \left(\frac{pi\hbar}{momega}\right)^{1/4}mathrm{erfc(1)}$

যেখানে $mathrm{erfc}(x) \displaystyle= \frac{2}{sqrt{pi}}\int_{x}^{infty}e^{-t^2} dt$ কে বলা হয় কমপ্লিমেন্টারি এরর ফাংশন। erfc(1) = 0.157। সুতরাং দেখতেই পাচ্ছো যে ক্লাসিকাল পরিসরের বাইরে কণাটিকে পাওয়ার সম্ভাবনা ফাইনাইট বা সসীম। আরও একটি বিষয় এখানে উল্লেখ করা যেতে পারে। যেহেতু সরল দোলকের বিস্তার ( $a$ ) ও শক্তি পরষ্পরের উপর নিম্নলিখিত সমীকরণ দিয়ে সম্পর্কযুক্ত,

$\displaystyle E = \frac{1}{2}momega^2a^2$

এবং শক্তি $E$ কোয়ান্টাইজড, তাই বিস্তার $a$ ও কোয়ান্টাইজড। বিস্তারের শুধু কিছু নির্দ্দিষ্ট মানই থাকতে পারে।

2 thoughts on “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন”

Subhadeep Samanta says:

January 29, 2014 at 1:57 pm

আমি এটা বুঝতে পারছি না ।

1. admin says:
  
  January 29, 2014 at 6:35 pm
  
  Subhadeep, ঠিক কোথায় বুঝতে অসুবিধা হচ্ছে সেটা জানালে আমি আবার ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করতে পারি। মূলত এই পোস্টে হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশনগুলো দেখতে কেমন হয় সেটা ও তাদের কিছু সাধারন বৈশিষ্ট তুলে ধরা হয়েছে।

হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন

Related

2 thoughts on “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন”

Leave a Reply to Subhadeep Samanta Cancel reply

Share this:

Related

2 thoughts on “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন”

Leave a Reply to Subhadeep Samanta Cancel reply