গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)

বিখ্যাত জার্মান গণিতজ্ঞ ও পদার্থবিদ্‍ কার্ল ফ্রিডরিশ গাউসের নাম তোমরা সকলেই হয়তো শুনে থাকবে। গাউসিয়ান শব্দটি এসেছে তারই নাম থেকে। পদার্থবিদ্যা ও গণিতে গাউসিয়ান সারফেস বা পৃষ্ঠতল, গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল, গাউসিয়ান ফাংশন ও গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন অতি ব্যবহৃত শব্দাবলী। আজকে আমারা ফ্রী পার্টিকলের প্রারম্ভিক ওয়েভ প্যাকেট রূপে গাউসিয়ান ফাংশন ব্যবহার করব। অর্থাৎ,

$\displaystyle Psi(x,0) = A text{e}^{-a x^2}$ (1)

তোমরা আরও জানো যে কোন নির্দ্দিষ্ট সময়ে ফ্রী পার্টিকলের ওয়েভ প্যাকেট নিম্নলিখিত দুটি সমীকরণ ব্যবহার করে লেখা হয়,

$\displaystyle Psi(x,t) =\frac{1}{sqrt{2pi}} \int_{-infty}^{infty} \Phi(k) text{e}^{i(kx - omega t)} dk$ (2a)

$\displaystyle \Phi(k) = \frac{1}{sqrt{2pi}} \int_{-infty}^{infty} Psi(x,0) text{e}^{-ikx} dx$ (2b)

যেখানে $omega = \hbar k^2/2m$ । এবারে আমরা (2) নং সমীকরণ ব্যবহার করে প্রদত্ত প্রারম্ভিক ওয়েভ প্যাকেট থেকে $\Phi(k)$ এর মান বের করব। তবে তার আগে আমরা প্রারম্ভিক গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেটটিকে নর্ম্যালাইজ করে নেব।

$\displaystyle |A|^2 \int_{-infty}^{infty} text{e}^{-2ax^2} dx = 1$

এইরকম ইন্টিগ্রেশনকে বলা হয় গাউসিয়ান ইন্টিগ্রেশন। লক্ষ্য কর যে ইন্টিগ্রালটি একটি যুগ্ম ফাংশন (even function) । সুতরাং আমরা লিখতে পারি,

$\displaystyle 2|A|^2 \int_{0}^{infty} text{e}^{-2ax^2} dx = 1$

এই ইন্টিগ্রেশনটি করার জন্য আমরা ধরে নেব $y = 2ax^2$ । সুতরাং,

$\displaystyle 2|A|^2 \frac{1}{2sqrt{2a}} \int_{0}^{infty} text{e}^{-y} y^{-1/2} dy = 1$

বা, $\displaystyle \frac{|A|^2}{sqrt{2a}} \int_0^{infty} text{e}^{-y} y^{\frac{1}{2} -1} dy = \frac{|A|^2}{sqrt{2a}}\Gamma (1/2) = |A|^2 sqrt{\frac{pi}{2a}} = 1$

আমরা গামা ফাংশন ব্যবহার করেছি।

$\displaystyle \int_0^{infty} text{e}^{-y} y^{\frac{1}{2} -1} dy = \Gamma (1/2) = sqrt{pi}$

সুতরাং $\displaystyle A = \left ( \frac{2a}{pi}\right)^{(1/4)}$ । এরপর আমরা $\Phi(k)$ গণনা করব।

$\displaystyle \Phi(k) = \frac{1}{sqrt{2pi}} \int_{-infty}^{infty} Psi(x,0) text{e}^{-ikx} dx$

$\displaystyle = \frac{A}{sqrt{2pi}} \int_{-infty}^{infty} text{e}^{-(ax^2 + ikx)} dx$

এখন

$\displaystyle (ax^2 + ikx) = (sqrt{a}x)^2 + 2.sqrt{a}x.\frac{ik}{2sqrt{a}} + \left(\frac{ik}{2sqrt{a}}\right)^2 - \left(\frac{ik}{2sqrt{a}}\right)^2$

$\displaystyle = \left(sqrt{a}x + \frac{ik}{2sqrt{a}}\right)^2 + \frac{k^2}{4a}$

সুতরাং,

$\displaystyle \Phi(k) = \frac{A}{sqrt{2pi}} text{e}^{-\frac{k^2}{4a}} \int_{-infty}^{infty} text{e}^{-\left(sqrt{a}x + \frac{ik}{2sqrt{a}}\right)^2} dx$

$\displaystyle = \frac{A}{sqrt{2pi}} text{e}^{-\frac{k^2}{4a}} \int_{-infty}^{infty} text{e}^{-z^2} \frac{1}{sqrt{a}} dz$ , $\displaystyle \left[ z = sqrt{a}x + \frac{ik}{2sqrt{a}}\right]$

$\displaystyle = \frac{2A}{sqrt{2pi a}} text{e}^{-\frac{k^2}{4a}} \int_{0}^{infty} text{e}^{-z^2} dz = \frac{2A}{sqrt{2pi a}} text{e}^{-\frac{k^2}{4a}} \int_{0}^{infty} text{e}^{-y} \frac{1}{2} y^{\left(\frac{1}{2}-1\right)} dy$ , $\displaystyle \left[ y = z^2\right]$

$\displaystyle = \frac{A}{sqrt{2pi a}} text{e}^{-\frac{k^2}{4a}} \Gamma (1/2) = \frac{A}{sqrt{2pi a}} text{e}^{-\frac{k^2}{4a}} sqrt{pi}$

বা, $\displaystyle \Phi(k) = \frac{A}{sqrt{2 a}} text{e}^{-\frac{k^2}{4a}}$ (3)

এখন আমরা ফ্রী পার্টিকলের সময় নির্ভর ওয়েভ প্যাকেট নির্ণয় করতে পারি। আমাদের কাছে প্রয়োজনীয় সমস্ত যন্ত্র পাতি আছে।

(2a) নং সমীকরণে (3) নং সমীকরণ ব্যবহার করে,

$\displaystyle Psi(x,t) = \frac{A}{2sqrt{pi a}} \int_{-infty}^{infty} text{e}^{-\frac{k^2}{4a}} text{e}^{i(kx-omega t)} dk$

$omega = \hbar k^2/2m$ ব্যবহার করে,

$\displaystyle Psi(x,t) = \frac{A}{2sqrt{pi a}} \int_{-infty}^{infty} text{e}^{-\frac{k^2}{4a}} text{e}^{i\left (kx-\frac{\hbar k^2}{2m} t \right)} dk$

$\displaystyle = \frac{A}{2sqrt{pi a}} \int_{-infty}^{infty} text{e}^{-\left [k^2\left( \frac{1}{4a} + \frac{i\hbar t}{2m} \right) -ikx \right ]}$

$\Phi(k)$ -এর রূপ বের করার জন্য যেমনটি করা হয়েছিল সেভাবে অংক কষতে থাকলে দেখতে পাবে,

$\displaystyle k^2\left( \frac{1}{4a} + \frac{i\hbar t}{2m} \right) -ikx = \left[ k sqrt{\frac{1}{4a} +\frac{i\hbar t}{2m}} - \frac{ix}{2sqrt{\frac{1}{4a} +\frac{i\hbar t}{2m}}}\right]^2 + \frac{x^2}{4\left(\frac{1}{4a} +\frac{i\hbar t}{2m}\right)}$

$\displaystyle = \left[ k sqrt{\frac{1}{4a} +\frac{i\hbar t}{2m}} - \frac{ix}{2sqrt{\frac{1}{4a} +\frac{i\hbar t}{2m}}}\right]^2 + \frac{ax^2}{\left(1 +\frac{2ia\hbar t}{m}\right)}$

সুতরাং,

$\displaystyle Psi(x,t) = \frac{A}{2sqrt{pi a}} text{e}^{-\frac{ax^2}{1+2ia\hbar t/m}} \int_{-infty}^{infty} text{e}^{-\left[ k sqrt{\frac{1}{4a} +\frac{i\hbar t}{2m}} - \frac{ix}{2sqrt{\frac{1}{4a} +\frac{i\hbar t}{2m}}}\right]^2} dk$

$\Phi(k)$ বের করার সময় যেভাবে ইন্টিগ্রেশন করা হয়েছিল সে একইভাবে ইন্টিগ্রেশন করে ও শেষ পর্যন্ত $A$ এর মান বসিয়ে,

$\displaystyle Psi(x,t) = \left(\frac{2a}{pi}\right)^{1/4} \frac{1}{sqrt{1+2ia\hbar t/m}} text{e}^{-\frac{ax^2}{1+2ia\hbar t/m}}$

এবং প্রবাবিলিটি ডেনসিটি $|Psi(x,t)|^2$ ,

$\displaystyle |Psi(x,t)|^2 = \left(\frac{2a}{pi}\right)^{1/2} \frac{1}{sqrt{1+4a^2\hbar^2 t^2/m^2}} text{e}^{-\frac{2ax^2}{1+4a^2\hbar^2 t^2/m^2}}$

নিচে ১ নং চিত্রে গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেটের প্রবাবিলিটি ডেনসিটি কিভাবে সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় সেটা দেখানো হয়েছে। দেখতেই পাচ্ছো যে সময় বৃদ্ধির সাথে সাথে গাউসিয়ান প্যাকেটটি ক্রমশ প্রশস্ত হচ্ছে। অর্থাৎ শুরুতে যেখানে কণাটি $x = 0$ বিন্দুর কাছাকাছি কেন্দ্রীভূত ছিল, সময়ের সাথে সাথে কণাটিকে পাওয়ার সম্ভাবনা ক্রমাগত দূর থেকে দূরে ছড়িয়ে পড়ছে। এই ঘটনাকে বলা হয় বিচ্ছুরণ (dispersion)। এর কারণ হল ওয়েভ প্যাকেট তৈরী করতে ভিন্ন $k$ যুক্ত যে সমস্ত চলতরঙ্গ ব্যবহার করা হয়েছে তাদের প্রত্যেকের ফেজ ভেলোসিটি আলাদা আলাদা। তাই সময় বৃদ্ধির সাথে সাথে ভিন্ন ফেজ ভেলোসিটির দরুন তারা পরষ্পরের থেকে দূরে সরে যেতে থাকে, যার ফলস্বরূপ ওয়েভ প্যাকেট ছড়িয়ে পড়ে। একটি উদাহরণ দিচ্ছি। সৈনিকদের প্যারেডের সময় যেহেতু প্রত্যেক সৈনিকের চলার বেগ সমান থাকে তাই তাদের দল একটি নির্দ্দিষ্ট আকৄতি বজায় রেখে চলতে পারে। অপরপক্ষে স্কুল ছুটি হওয়ার পর যেহেতু ছাত্র-ছাত্রীরা বাড়ি ফেরার জন্য ভিন্ন ভিন্ন বেগে ছুটতে থাকে তাই দেখবে তাদের দলের আকৃতি সময়ের সাথে ক্রমাগত বাড়তে থাকে। ওয়েভ প্যাকেটের ক্ষেত্রেও একই ঘটনা ঘটে। তবে এখানে তোমদের মনে করিয়ে দেব যে গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেটটি কিন্তু সর্বদাই নর্ম্যালাইজড থাকে। তার অর্থ হল $|Psi(x,t)|^2|$ এর মোট ক্ষেত্রফল সবসময়ই একই থাকবে।

gaussian — চিত্র ১- সময়ের সাথে গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেটের পরিবর্তন।

আমাদের এই উদাহরণ সম্মন্ধে আরও একটি ব্যাপার এখানে বলে রাখা প্রয়োজন। $\displaystyle \Phi(k) = \frac{A}{sqrt{2a}}text{e}^{-k^2/4a}$ ফাংশনটি থেকে বোঝা যাচ্ছে যে উপরোক্ত ওয়েভ প্যাকেটে $k =0$ বা খুব স্বল্প $k$ যুক্ত চলতরঙ্গের সংখ্যা সবথেকে বেশি তাই সময়ের সাথে কণাটিকে পাওয়ার সবথেকে বেশি সম্ভাবনা যে বিন্দুতে (এখানে $x =0$ ), তার অবস্থান পরিবর্তিত হয়না। উপরন্তু যেহেতু ওয়েভ প্যাকেটে $+k$ ও $-k$ যুক্ত চলতরঙ্গের সংখ্যা সমান তাই উল্লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ওয়েভ প্যাকেটটি সর্বাদাই প্রতিসম থাকে। অপরপক্ষে যদি আমরা প্রারম্ভিক ওয়েভ ফাংশনটিকে এমনভাবে পছন্দ করি যে ওয়েভ প্যাকেটে $k = k_0$ বা তার আশেপাশের $k$ যুক্ত চলতরঙ্গের সংখ্যা সর্বাধিক তবে ওয়েভ প্যাকেটের সর্বোচ্চ বিন্দুর অবস্থানও সময়ের সাথে পরিবর্তিত হবে। উদাহরণস্বরূপ যদি আমরা ধরে নেই $\displaystyle \Phi(k) = Atext{e}^{-b(k-k_0)^2}$ , যেখানে $k_0$ হল ধনাত্মক সংখ্যা, তবে দেখতে পাব যে সময়ের সাথে সাথে ওয়েভ প্যাকেটের প্রস্থ যেমন বৃদ্ধি পাবে তেমনি প্যাকেটটির সর্বোচ্চ বিন্দুর অবস্থানও ক্রমাগত বাদিক থেকে ডানদিকে সরে যাবে। তোমরা অংক কষে $|Psi(x,t)|^2$ এর মান নির্ণয় করে এই উক্তির সত্যতা যাচাই করে দেখতে পার। ৩ নং চিত্রে এরকম একটি ওয়েভ প্যাকেটের গতি দেখানো হয়েছে।

gaussian 3 — চিত্র ২ – চলন্ত ওয়েভ প্যাকেট।

6 thoughts on “গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)”

Sujoy says:

January 20, 2014 at 4:55 pm

mathematical representation ta darunn

1. admin says:
  
  January 20, 2014 at 5:18 pm
  
  হুম, ফ্রী পার্টিকল খুবই মজাদার বিষয়। ওর উপর লেখা এর আগের পোস্টটাও পড়ে দেখ।
  
Sujoy says:

January 22, 2014 at 2:23 pm

Next post kobe pabo dada..eagerly waiting

1. admin says:
  
  January 22, 2014 at 2:36 pm
  
  মনে হচ্ছে কালকের মধ্যেই পরের লেখাটা শেষ করতে পারব।
  
Sujoy says:

January 22, 2014 at 2:41 pm

thank you

1. admin says:
  
  January 23, 2014 at 4:22 pm
  
  sorry sujoy, একটু অসুস্থ হয়ে পড়েছি, তাই আজ পরের লেখাটা প্রাকাশ করতে পারলাম না। যত তাড়াতাড়ি সম্ভব ওটা পোস্ট করে দেওয়ার চেষ্টা করব। ধন্যবাদ।

গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)

Related

6 thoughts on “গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)”

Leave a Reply to Sujoy Cancel reply

Share this:

Related

6 thoughts on “গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)”

Leave a Reply to Sujoy Cancel reply