গ্রুপ ভেলোসিটি ও ওয়েভ প্যাকেট

$\displaystyle text{e}^{i(kx-omega t)}$ যদি কোন নির্দ্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ $(lambda)$ বিশিষ্ট চলতরঙ্গের সমীকরণ হয়, যেখানে $k = 2pi/lambda$ ও $omega$ কৌণিক কম্পাঙ্ক, তবে ওই তরঙ্গের ফেজ ভেলোসিটি

$\displaystyle v_{text{phase}} = \frac{omega}{k}$ (1)

আগেই বলেছি ফেজ ভেলোসিটি হল ওই তরঙ্গের কোন স্থির দশাযুক্ত বিন্দুর গতিবেগ। অপরপক্ষে আজকের আলোচ্য বিষয় গ্রুপ ভেলোসিটি । “গ্রুপ” শব্দটি থেকেই বুঝতে পারছ যে এটি কোন গ্রুপ বা সমষ্টির গতিবেগ বোঝায়। আর আমরা আগের পোস্টে দেখেছি যে ওয়েভ প্যাকেট হল ভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ সম্পন্ন একগুচ্ছ চলতরঙ্গের সমষ্টি। সুতরাং হয়তো অনুমান করতে পারছ যে এইরকম ওয়েভ প্যাকেট যে গতিতে চলনশীল সেটাই ওই তরঙ্গগুচ্ছের গ্রুপ ভেলোসিটি। চল ব্যাপারটিকে উদাহরণ দিয়ে একটু পরিষ্কার করে ব্যাখ্যা করা যাক। যদি কোন ওয়েভ প্যাকেটের জন্য $k$ এর ডিস্ট্রীবিউশন (বিন্যাস) ফাংশন $\displaystyle \Phi(k) = A text{e}^{-\frac{(k-k_0)^2}{a}}$ হয়, যেখানে $k_0$ এবং $\alpha$ ধ্রুবক, তবে তার প্রবাবিলিটি ঘনত্ব কিভাবে সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় সেটা তোমাদের একটি অ্যানিমেশনের মাধ্যমে দেখিয়েছি এর আগের পোস্টে। তোমাদের বলেছিলাম অংকের মাধ্যমে যাচাই করে দেখেতে। মূলত আমাদের বের করতে হত,

$\displaystyle Psi(x,t) = A \int_{-infty}^{infty} text{e}^{-\frac{(k-k_0)^2}{a}} text{e}^{i(kx- \hbar k^2 t/2m)} dk$ (2)

[ $\hbar$ ও $m$ যথাক্রমে প্লাংক ধ্রুবক ও কণার ভর।]

এরকম ইন্টিগ্রেশন কিভাবে গণনা করতে হয় সেটাও তোমাদের আগে বলেছি। $text{e}$ -এর উপর যে ফাংশনটি রয়েছে সেটিকে $k$ এর একটি পূর্ণবর্গে পরিণত করে নিতে হবেঃ

$\displaystyle -\frac{(k-k_0)^2}{a} + i\left(kx - \frac{\hbar k^2}{2m}t\right) = -\frac{1}{a}\left( ksqrt{1+i\frac{\hbar}{2m}at} - \frac{2k_0+ixa}{2sqrt{1+i\hbar t a/2m}}\right)^2 - \frac{ax^2 + i(2\hbar k_0^2 t/m - 4k_0 x )}{(4+2ia\hbar t/m)}$

এই বিটকেল জিনিসটিকে (2) নং সমীকরণে বসিয়ে এর আগের দিনের মত করে ইন্টিগ্রেশন করলে অনেকখানি কালি ও কাগজ নষ্ট (ও ঘিলু বৃদ্ধি) করার পর দেখতে পাবে যে,

$\displaystyle Psi(x,t) = A sqrt{\frac{pi a}{1+ i\hbar at/2m}} text{e}^{-\frac{a(x-\hbar k_0 t/m)^2}{4 + a^2 t^2 \hbar^2 /m^2}} text{e}^{i\frac{(x^2a^2 t \hbar /m -4k_0^2 t \hbar /m +8k_0 x)}{8 + 2a^2 t^2 \hbar^2/m^2}}$ (3)

(আশা করছি আমি লিখতে বা অংক করতে কোন ভূল করিনি।) একটা কথা তোমাদের এখানে মনে করিয়ে দেব যে $p = \hbar k$ হল কণার রৈখিক ভরবেগ।

আমরা ওই ওয়েভ প্যাকেটটির প্রবাবিলিটি ঘনত্ব খুব সহজেই লিখে ফেলতে পারি,

$\displaystyle |Psi(x,t)|^2 = |A|^2 \frac{pi a}{1+\hbar^2 a^2 t^2 / 4m^2} text{e}^{-\frac{2a(x-\hbar k_0 t/m)^2}{4 + a^2 t^2 \hbar^2 /m^2}}$ (4)

এই সমীকরণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে ওয়েভ প্যাকেটের সর্বোচ্চ বিন্দু $v_{text{g}} = \hbar k_0/m$ বেগে ধণাত্মক $x$ অক্ষ বরাবর চলমান। কোন নির্দ্দিষ্ট মুহূর্তে ওই প্যাকেটের প্রস্থ নির্ভর করে $sqrt{\frac{4 + a^2 t^2 \hbar^2 /m^2}{2a}} = sigma$ এর উপর। $sigma$ কে সময়ের ( $t$ ) সাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করে দেখানো যায় যে $a$ -এর মান বেশি হলে প্যাকেটটি খুব দ্রুত হারে ওর আকার পরিবর্তন করবে (এক্ষেত্রে প্রশস্ত হবে)। আগেই বলেছি এই ঘটনার বৈজ্ঞানিক নাম হল বিচ্ছুরণ (dispersion)। লক্ষ্য কর যে $\Phi(k)$ ফাংশনটিও একটি গাউসিয়ান ফাংশন যার প্রস্থ নির্ভর করে $a$ এর উপর। $a$ এর মান বেশি হওয়ার অর্থ হল ওয়েভ প্যাকেটটি তৈরি করতে যেসব চলতরঙ্গ ব্যবহৃত হয়েছে তাদের তরঙ্গদৈর্ঘ বা $k$ এর বিন্যাস (distribution) অনেক বেশি প্রশস্ত (চওড়া)। সুতরাং বলা যায় যে ওয়েভ প্যাকেট গঠনকারী চলতরঙ্গ সমূহের $k$ (বা ভরবেগ) বিন্যাসের প্রস্থ যত বেশি হবে, ওই ওয়েভ প্যাকেটের আকারও তত দ্রুত হারে পরিবর্তিত হবে (বিচ্ছুরণ বেশি হবে)। যদি এই আকারের পরিবর্তন খুব দ্রুত হয় তবে নির্দ্দিষ্ট আকার সম্পন্ন ওয়েভ প্যাকেট কথাটি অর্থহীন হয়ে দাড়ায়। সেজন্য পরবর্তি আলোচনায় আমরা ধরে নেব যে $\Phi(k)$ ফাংশনটি যথেষ্ট সংকীর্ণ। অর্থাৎ অধিকাংশ চলতরঙ্গের জন্য $k$ এর মান $k_0$ এর এত কাছাকাছি থাকে যে $a$ এর মান খুব ক্ষুদ্র (আরও সঠিকভাবে বললে $a \hbar t/m << 1$ বা খুব সামান্য বিচ্ছুরণযুক্ত )। এমতাবস্থায় (3) নং সমীকরণকে সরল করে লেখা যায়,

$\displaystyle Psi(x,t) approx A sqrt{pi a} text{e}^{-\frac{a(x-\hbar k_0 t/m)^2}{4}} text{e}^{i\frac{k_0(2x -k_0 t \hbar /m)}{2}}$

$\displaystyle = A sqrt{pi a} text{e}^{-\frac{a}{4}(x-\hbar k_0 t/m)^2} text{e}^{i\frac{k_0}{2}(2x -k_0 t \hbar /m)}$

$\displaystyle = A sqrt{pi a} text{e}^{-\frac{a}{4}(x-v_g t)^2} text{e}^{ik_0(x - v_g t/2)}$ (5)

সুতরাং $Psi(x,t)$ এর রীয়েল পার্ট (real part),

$\displaystyle text{Re} \left[Psi(x,t)\right]= A sqrt{pi a} text{e}^{-\frac{a}{4}(x-v_{text{g}} t)^2} text{cos}\left[k_0(x - v_{text{g}} t/2)\right]$ (6)

যেখানে $v_{text{g}} = \hbar k_0/m$

অতএব দেখা যাচ্ছে যে সংকীর্ণ $k$ বিন্যাসের জন্য যে ওয়েভ প্যাকেট পাওয়া যায় তা মূলত একটি $\displaystyle \frac{v_{text{g}}}{2}$ ফেজ গতিবেগ সম্পন্ন চলতরঙ্গ যার বিস্তারকে (amplitude) একটি গাউসিয়ান ফাংশন ( $text{e}^{-\frac{a}{4}(x-v_{text{g}} t)^2}$ ) দিয়ে মডিউলেট (modulate বা আন্দোলিত) করা হয়েছে। এই মডিউলেটিং গাউসিয়ান ফাংশনটিকে এনভেলাপ (envelope) ফাংশন বলা হয়ে থাকে। যেহেতু ওয়েভ প্যাকেটটির জন্য $a$ এর মান খুব ছোট, তাই সময়ের সাথে প্যাকেটটির আকার পরিবর্তনের হার খুবই সামান্য। নিচের অ্যানিমেশনে এইরকম একটি ওয়েভ প্যাকেট দর্শানো হয়েছে। ওই ছবিতে সবুজ রংয়ের রেখা চলমান এনভেলাপ ফাংশন ও নীল রংয়ের রেখা ওয়েভ প্যাকেটের রীয়েল পার্ট বোঝায়। $x$ অক্ষ দূরত্ব প্রকাশ করে। [বিঃ দ্রঃ- বুঝবার সুবিধার জন্য ছবিটিকে খানিকটা অতিরঞ্জিত করা হয়েছে ও বিচ্ছুরণ সম্পূর্ণ উপেক্ষা করা হয়েছে। বাস্তবে অবশ্যই প্যাকেটের বিচ্ছুরণ হবে এবং ওয়েভ ফাংশনের রীয়েল পার্টের পর্যায়বৃত্তি (periodicity) সময় ও $x$ এর সাথে পরিবর্তিত হবে।]

wave function of packet — চিত্র ১- ওয়েভ প্যাকেটের রীয়েল পার্ট ও এনভেলাপ ফাংশন। $x$ অক্ষ দূরত্ব প্রকাশ করে। $y$ অক্ষে ওয়েভ ফাংশনের রীয়েল পার্ট ও এনভেলাপ দুটোই দেখানো হয়েছে। লাল রঙের বৃত্ত এই প্যাকেটের গ্রুপ ভেলোসিটি এবং লাল রঙের যোগ চিহ্নটি ফেজ ভেলোসিটি বোঝায়।

চিত্র ১- ওয়েভ প্যাকেটের রীয়েল পার্ট ও এনভেলাপ ফাংশন। $x$ অক্ষ দূরত্ব প্রকাশ করে। $y$ অক্ষে ওয়েভ ফাংশনের রীয়েল পার্ট ও এনভেলাপ দুটোই দেখানো হয়েছে। লাল রঙের বৃত্ত এই প্যাকেটের গ্রুপ ভেলোসিটি এবং লাল রঙের যোগ চিহ্নটি ফেজ ভেলোসিটি বোঝায়।

(6) নং সমীকরণ থেকে বোঝা যায় যে ওয়েভ প্যাকেটটির এনভেলাপ ফাংশন ধণাত্মক $x$ অক্ষ বরাবর $v_{text{g}}$ গতিবেগে ধাবমান (লাল রঙের গোল বৃত্তের গতি)। অপরপক্ষে ওয়েভ প্যাকেট গঠনকারী চলতঙ্গের ফেজ ভেলোসিটি $v_{text{g}}/2$ (লাল ‘+’ চিহ্নের গতি)। সেজন্যই ছবিটিতে দেখতে পাচ্ছ যে নীল তরঙ্গটি যেন সবুজ এনভেলাপের সাপেক্ষে পিছিয়ে পড়ছে, যদিও দুটো তরঙ্গই আসলে $x$ অক্ষ বরাবর চলছে (অবশ্যই ভিন্ন গতিবেগে)। এখানে ওয়েভ প্যাকেটের গ্রুপ ভেলোসিটি $v_{text{g}}$ , যা এনভেলাপ ফাংশনের গতিবেগ ছাড়া আর কিছুই নয়। উল্লেখ্য যে এই ওয়েভ প্যাকেটের প্রবাবিলিটি ঘনত্বও এই গ্রুপ ভেলোসিটিতে চলমান একটি গাউসিয়ান ফাংশন [(4) নং সমীকরণ]। এবারে আমরা গ্রুপ ভেলোসিটির প্রথাবিহিত সংজ্ঞা দেব।

আমরা আবার ওয়েভ প্যাকেটের জেনারেল সমাধান লিখে শুরু করছি,

$\displaystyle Psi(x,t) = \frac{1}{sqrt{2pi}}\int_{-infty}^{infty} \Phi(k) text{e}^{i(kx-omega t)} dk$ (7)

এইরূপ ওয়েভ প্যাকেটের বিচ্ছুরণ হওয়ার কারণ $omega = omega(k)$ ; অর্থাৎ $omega$ হল $k$ এর ফাংশন, যার প্রভাবে ওই প্যাকেট গঠনকারী বিভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য $(lambda)$ বা ভরবেগ $(\hbar k)$ যুক্ত তরঙ্গের ফেজ গতিবেগ আলাদা হয়। যেমন ফ্রী পার্টিকলের জন্য তোমরা জানো $omega(k) = \hbar k^2/2m$ । $omega$ যদি $k$ এর উপর নির্ভরশীল না হত, তাহলে ওয়েভ প্যাকেটের বিচ্ছুরণও হতনা। [গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেটের যে অংকটি উপরে করা হয়েছে সেখান থেকে খুব সহজেই এটা বোঝা যায়]। যাই হোক যেহেতু আমরা খুব সংকীর্ণ $\Phi(k)$ দিয়ে ওয়েভ প্যাকেট তৈরি করেছি, তাই $k = k_0$ বিন্দুর আশেপাশে ছাড়া বাকী সর্বত্র $\Phi(k)= 0$ । সুতরাং আমরা $k = k_0$ বিন্দুর সাপেক্ষে $omega(k)$ এর টেলর সম্প্রসারণ (Taylor expansion) করে লিখতে পারি,

$\displaystyle omega (k) = omega (k_0) +\left . \frac{domega}{dk}\right|_{k=k_0} (k-k_0)$ [যেহেতু $(k-k_0)$ খুব ক্ষুদ্র তাই ওর উচ্চতর ঘাতের পদগুলিকে উপেক্ষা করা হয়েছে।]

$\displaystyle = omega_0 +omega_0' (k-k_0)$ (8)

যেখানে $omega_0 = omega (k_0)$ এবং $\displaystyle omega_0' = \left . \frac{domega}{dk}\right|_{k=k_0}$ । (7) ও (8) নং সমীকরণ একত্র করে,

$\displaystyle Psi(x,t) = \frac{1}{sqrt{2pi}} text{e}^{i(omega_0' k_0 -omega_0)t} \int_{-infty}^{infty} \Phi(k) text{e}^{ik[(x-omega_0' t)-0.t]} dk$

$\displaystyle Psi(x,t) = text{e}^{i(omega_0' k_0 -omega_0)t} Psi(x-omega_0' t,0)$

সুতরাং, $\displaystyle |Psi(x,t)|^2 =|Psi(x-omega_0' t, 0)|^2$ (9)

এই সমীকরণটিকে ভাল করে লক্ষ্য কর। কোন নির্দিষ্ট সময় $t$ তে ওই ওয়েভ প্যাকেটের যেকোন নির্দিষ্ট প্রবাবিলিটি ঘনত্বযুক্ত বিন্দুর অবস্থান $x$ হলে $t=0$ সময়ে ওই বিন্দুর অবস্থান ছিল $(x - omega_0' t)$ । অর্থাৎ $t$ সময়ে ওই বিন্দু $omega_0' t$ দূরত্ব অতিক্রম করেছে। অতএব বলা যায় যে ওয়েভ প্যাকেটের (এনভেলাপ ফাংশন) উপর অবস্থিত প্রত্যেকটি বিন্দু $omega_0'$ গতিতে চলেছে, যা ওই প্যাকেটের গ্রুপ ভেলোসিটি ( $v_{text{g}}$ )।

$\displaystyle v_{text{g}} = \frac{domega}{dk}$ (10)

ফ্রী বস্তুকণার জন্য যেহেতু $omega(k) = \hbar k^2/2m$ , তাই

$\displaystyle v_{text{g}} = \frac{domega}{dk} = \hbar k /m$

অপরপক্ষে $\displaystyle v_{text{phase}} = \frac{omega}{k} =\hbar k/2m$ । সুতরাং বস্তুকণার তরঙ্গের (matter wave) জন্য ফেজ ভেলোসিটি গ্রুপ ভেলোসিটির অর্ধেক, যা আমরা গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেটের অংক ও ১ নং চিত্রের অ্যানিমেশনে আগেই দেখতে পেয়েছি। আরও দেখা যাচ্ছে যে ওয়েভ প্যাকেটের গ্রুপ ভেলোসিটি ফ্রী পার্টিকলের গতিবেগের সমান।

$\displaystyle v_{text{g}} = \hbar k/m = sqrt{\frac{2E}{m}} = v_{text{particle}}$

অতএব বলা যেতে পারে যে ওয়েভ প্যাকেট কোয়ান্টাম মেকানিক্সে ফ্রী বস্তুকণার গতি প্রকাশ করার জন্য একেবারে আদর্শ সত্তা।

2 thoughts on “গ্রুপ ভেলোসিটি ও ওয়েভ প্যাকেট”

জিত says:

March 28, 2014 at 1:47 am

বোস স্ট্যাটিস্টিক নিয়ে ত কোন আলোচনাই দেখলাম না। এছাড়া কোয়ান্টাম এনটাঙ্গলমেন্ট এর উপরেও আলোচনা দেখতে চাই।

1. admin says:
  
  March 28, 2014 at 3:06 am
  
  জিত, বোস ও ফের্মী স্ট্যাটিস্টিক, কোয়ান্টাম এনটাঙ্গলমেন্ট, হিলবার্ট স্পেস, পারটার্বেশন মেথড ইত্যাদি সহ কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অন্য আরো অনেক বিষয় নিয়েই আলোচনা করা হবে। তবে শুধু একটু সময় লাগবে। বুঝতেই পারছো, পোস্টগুলি লেখা- তাও আবার বাংলাতে, একটু সময় সাপেক্ষ ব্যাপার। তবুও আমরা চেষ্টা করব যত তাড়াতাড়ি সম্ভব এই বিষয়গুলি নিয়ে আলোচনা সম্পূর্ণ করতে। মন্তব্য করার জন্য ধন্যবাদ।

Share this:

Related

2 thoughts on “গ্রুপ ভেলোসিটি ও ওয়েভ প্যাকেট”

Leave a Reply Cancel reply