ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল (কূপ) – বাউন্ড স্টেট

ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের প্রকৃতি ও ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট বোঝার জন্য একটি সহজ, সুন্দর এবং গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। আজ আমরা ডেল্টা ফাংশন ওয়েলের বাউন্ড স্টেট সম্মন্ধে আলোচনা করব। ডেল্টা ফাংশন ( $delta(x)$ ) বা আরও ভালভাবে বললে, ডিরাকের ডেল্টা ফাংশনের সংজ্ঞা দিয়ে চল আজকের অপেক্ষাকৃত সহজ এই গল্পের সূচনা করি।

$\displaystyle delta (x) = \left{ begin{matrix} 0 & text{ if } x neq 0 \ infty & text{ if } x = 0 end{matrix}\right.$ (1a)

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty} delta(x) dx = 1$ (1b)

Dirac delta function — চিত্র ১ – ডিরাক ডেল্টা ফাংশন।

এইরকম ফাংশনের গ্রাফ আকা কঠিন। তবে একমাত্রীক ডেল্টা ফাংশন দেখতে মোটামুটি অনেকটা ১ নং চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে সেরকম। একটি একক ক্ষেত্রফল বিশষ্ট গাউসিয়ান ফাংশনের যদি প্রস্থ ক্রমাগত কমিয়ে দেওয়া হয় ও সঙ্গে সঙ্গে ওর উচ্চতা এমনভাবে বাড়ানো হয় যে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে, তবে তা শেষ পর্যন্ত একটি ডেল্টা ফাংশনে পরিণত হবে যার প্রস্থ অসম্ভব সরু (infinitesimally small) ও উচ্চতা খুব বেশি (infinite)। (1) নং সমীকরণে প্রদত্ত ডেল্টা ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে এটা পরিষ্কার যে $x = 0$ তে ফাংশনের মান অসীম। যদি ডেল্টা ফাংশনের চূড়ার অবস্থান আমরা $x = 0$ থেকে সরিয়ে $x = a$ তে নিয়ে যাই তবে,

$\displaystyle delta (x-a) = \left{ begin{matrix} 0 & text{ if } x neq a \ infty & text{ if } x = a end{matrix}\right.$ (2a)

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty} delta(x-a) dx = 1$ (2b)

যেহেতু $x = a$ ছাড়া আর সর্বত্রই এই ডেল্টা ফাংশনের মান শূন্য তাই,

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty} f(x) delta(x-a) dx =f(a)\int_{-infty}^{infty} delta(x-a) dx =f(a)$ (3)

এখানে উল্লেখযোগ্য যে (3) নং সমীকরণে ইন্টিগ্রশনের লিমীট $-infty$ থেকে $infty$ না হলেও চলবে, কারণ $delta(x-a)$ শুধু $x = a$ ছাড়া আর সর্বত্রই শূন্য। শুধু এটাই যথেষ্ট যে ইন্টিগ্রেশনের লিমীটদ্বয়ের মাঝে $x = a$ বিন্দুটি বিদ্যমান। অর্থাৎ যেকোনো সংখ্যা $e\psilon > 0$ এর জন্য,

$\displaystyle \int_{a-e\psilon}^{a+e\psilon} f(x) delta(x-a) dx = f(a)$ (4)

$x = 0$ তে চূড়া বিশিষ্ট ডেল্টা ফাংশন ব্যবহার করে পোটেনশিয়াল ওয়েল তৈরী করলে তার সমীকরণ হবে,

$V(x) = -V_0 delta(x)$ (5)

যেখানে $V_0$ একটি ধনাত্মক সংখ্যা। বলাই বাহুল্য যে $x = 0$ বিন্দুতে পোটেনশিয়ালের মান অসীম। এই অসীমত্বের কতটা প্রভাব শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ ও ওয়েভ ফাংশনের উপর পড়ে, এবারে আমরা সেটাই দেখব। সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণকে যদি $-e\psilon$ থেকে $+e\psilon$ পর্যন্ত ইন্টিগ্রেট করা হয়, যেখানে $e\psilon >0$ তবে,

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-e\psilon}^{+e\psilon} \frac{d^2Psi(x)}{dx^2} dx + \int_{-e\psilon}^{+e\psilon} V(x)Psi(x) dx = \int_{-e\psilon}^{+e\psilon} E Psi(x) dx$

বা, $\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-e\psilon}^{+e\psilon} \frac{d}{dx} \left( \frac{dPsi(x)}{dx}\right) dx + \int_{-e\psilon}^{+e\psilon} V(x)Psi(x) dx = \int_{-e\psilon}^{+e\psilon} E Psi(x) dx$

বা, $\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \left . \frac{dPsi(x)}{dx}\right|_{+e\psilon} - \left . \frac{dPsi(x)}{dx}\right|_{-e\psilon} \right) = -\int_{-e\psilon}^{+e\psilon} V(x)Psi(x) dx + \int_{-e\psilon}^{+e\psilon} E Psi(x) dx$ (6)

[মনে করিয়ে দিচ্ছি যে $\hbar$ ও $m$ হল যথাক্রমে প্লাংক ধ্রুবক ও কণার ভর।]

যদি $e\psilon to 0$ হয়, তবে (6) নং সমীকরণের ডানদিকের দ্বিতীয় ইন্টিগ্রেশন্টির মান শূন। কারণ যেহেতু $E$ এবং $Psi(x)$ দুটো রাশিই সসীম বা ফাইনাইট, তাই $e\psilon to 0$ এর জন্য ওই ইন্টিগ্রেশনটি সসীম (finite) উচ্চতা কিন্তু শূন্য প্রস্থবিশিষ্ট অঞ্চলের ক্ষেত্রফল। সুতরাং,

$\displaystyle \Delta \left( \frac{dPsi(x)}{dx}\right) = \frac{2m}{\hbar^2}\int_{-e\psilon}^{+e\psilon} V(x)Psi(x) dx$ (7)

যেখানে $\displaystyle \Delta \left( \frac{dPsi(x)}{dx}\right) = \left( \left . \frac{dPsi(x)}{dx}\right|_{+e\psilon} - \left . \frac{dPsi(x)}{dx}\right|_{-e\psilon} \right)$

যদি $x = 0$ বিন্দুতে পোটেনশিয়ালের মান সসীম বা ফাইনাইট হয় তবে (7) নং সমীকরনের ডানদিকের পদটিও শূন্য (আগের অনুচ্ছেদে বর্ণিত কারণ অনুসারে)। সুতরাং (7) নং সমীকরন থেকে দেখা যাচ্ছে যে ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ $\displaystyle \left(\frac{dPsi(x)}{dx}\right)$ , $x = 0$ বিন্দুতে কন্টিনিউয়াস (মানে প্রথম ডেরিভেটিভ একটি মসৃণ ফাংশন যেটাতে $x$ এর সাপক্ষে কোন আকস্মিক পরিবর্তিন নেই)। অর্থাৎ পোটেনশিয়ালের মান সসীম হলে সেখানে ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভও কন্টিনিউয়াস হবে। কিন্তু যদি কোন বিন্দুতে পোটেনশিয়াল ইনফাইনইট বা অসীম হয় তবে সেখানে ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ কন্টিনিউয়াস হয়না। বিশেষত আমাদের ডেল্টা ফাংশন ওয়েলের জন্য, $V(x) = -V_0 delta(x)$ । সুতরাং (7) নং সমীকরণ ডেল্টা ফাংশনের বৈশিষ্ট [(3) নং সমীকরণ] ব্যবহার করে,

$\displaystyle \Delta \left( \frac{dPsi(x)}{dx}\right) = \frac{2m}{\hbar^2}\int_{-e\psilon}^{+e\psilon} V(x)Psi(x) dx$

বা, $\displaystyle \Delta \left( \frac{dPsi(x)}{dx}\right) = -\frac{2m V_0}{\hbar^2}\int_{-e\psilon}^{+e\psilon} delta(x)Psi(x) dx =-\frac{2m V_0}{\hbar^2}Psi(0)$ (8)

$Psi(0)$ হল $x = 0$ বিন্দুতে ওয়েভ ফাংশনের মান। অর্থাৎ দেখতে পাচ্ছো যে (5) নং সমীকরণে প্রদত্ত ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়ালের জন্য $x = 0$ বিন্দুতে ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ কন্টিনিউয়াস নয়। ডেল্টা ফাংশনের শীর্ষবিন্দুর দুদিকে ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভের মান আলাদা এবং তাদের মানের পার্থক্য (8) নং সমীকরণ ব্যবহার করে গণনা করে পাওয়া যায়। ইনফাইনাইট পোটেনশিয়াল ওয়েলের বাউন্ডারীতেও ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ কন্টিনিউয়াস হয়না, কারণ সেখানেও পোটেনশিয়াল ইনফাইনাইট।

\Delta function well and wave function — চিত্র ২ – ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল ও তার বাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন (লাল ও নীল রেখা)।

এবারে আমরা ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়ালের বাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন বের করার জন্য সম্পূর্ণ প্রস্তুত। যেহেতু এই পোটেনশিয়াল ওয়েলের জন্য অসীমে পোটেনশিয়ালের মান শূন্য ( $V(pm infty) = 0$ ), তাই বাউন্ড স্টেটের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত হল কণার শক্তি $< 0$ (আশা করি তোমাদের মনে আছে)। ধরে নেওয়া যাক যে কণার শক্তি $= -E$ , যেখানে $E$ একটি ধনাত্মক সংখ্যা। $x = 0$ বিন্দু ছাড়া আর সর্বত্র পোটেনশিয়ালের মান শূন্য। সুতরাং সেইসব স্থানে সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ দাড়ায়,

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Psi}{dx^2} = -EPsi, text{for} x neq 0$

বা, $\displaystyle \frac{d^2Psi}{dx^2} = k^2Psi, text{with} k = sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$ (9)

এইরকম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান তোমরা আগেও দেখেছ। তাই আমরা কিভাবে সমাধান বের করতে হয় তার গাণিতিক বিবরণের মধ্যে না গিয়ে শুধু সমাধানটিকে লিখে দেব,

$\displaystyle Psi(x) = A text{e}^{kx} + B text{e}^{-kx}, text{ for } x neq 0$ (10)

আগের মতই $A$ ও $B$ হল ধ্রুবক। যথারীতি এবারে বাউন্ডারী শর্তগুলি প্রয়োগের পালা। প্রথমেই নিশ্চিত হতে হবে যে অসীমে, অর্থাৎ $x = pm infty$ তে ওয়েভ ফাংশনের মান শূন্য (না হলে ওয়েভ ফাংশন নর্ম্যালাইজ করা যাবেনা)। এর জন্য প্রয়োজন ডেল্টা ফাংশনের চূড়ার বাদিকে বা $x < 0$ -তে $B = 0$ । সুতরাং $x < 0$ -এর জন্য ওয়েভ ফাংশন হল

$\displaystyle Psi(x)_< = A text{e}^{kx}, text{ for } x < 0$ (11a)

একই কারণে ডেল্টা ফাংশনের চূড়ার ডানদিকে বা $x > 0$ -এর জন্য $A = 0$ । সুতরাং $x > 0$ -এর জন্য ওয়েভ ফাংশন

$\displaystyle Psi(x)_> = B text{e}^{-kx}, text{ for } x > 0$ (11b)

আবার যেহেতু $x = 0$ তে ওয়েভ ফাংশনকে কন্টিনিউয়াস হতে হবে, তাই

$\displaystyle Psi(0)_> = Psi(0)_< implies A = B$

সুতরাং,

$\displaystyle Psi(x)_< = A text{e}^{kx}, text{ for } x \leq 0$ (12a)

$\displaystyle Psi(x)_> = A text{e}^{-kx}, text{ for } x \geq 0$ (12b)

এখনও আমাদের কাছে আরও একটি বাউন্ডারী শর্ত রয়ে গেছে। সেটা হচ্ছে ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ সম্মন্ধীয়, যা (8) নম্বর সমীকরণে দেখানো হয়েছে।

$\displaystyle \Delta \left( \frac{dPsi(x)}{dx}\right) =-\frac{2m V_0}{\hbar^2}Psi(0)$

বা, $\displaystyle \left . \frac{dPsi_>}{dx}\right|_{x=0} - \left .\frac{dPsi_<}{dx}\right|_{x=0} = -\frac{2m V_0}{\hbar^2}Psi(0)$

বা, $\displaystyle -Ak -Ak = -\frac{2m V_0}{\hbar^2}Psi(0)$

বা, $\displaystyle k = \frac{m V_0}{A\hbar^2}Psi(0) = \frac{m V_0}{\hbar^2}$ [যেহেতু $Psi(0) = A$ ] (13)

সুতরাং বাউন্ড স্টেটের জন্য $\displaystyle k =\frac{m V_0}{\hbar^2}$ , বা কণার শক্তি $\displaystyle = - E = -\frac{\hbar^2 k^2}{2m} = - \frac{mV_0^2}{2\hbar^2}$ । এর মানে হল ডেল্টা ফাংশন ওয়েলের গভীরতা ( $V_0$ ) যাই হোক না কেন, ওর শুধুমাত্র একটিই বাউন্ড স্টেট থাকতে পারে যার শক্তির মান আমরা এইমাত্র নির্ণয় করলাম। সর্বশেষে ওয়েভ ফাংশন নর্ম্যালাইজ করে আমরা অবশিষ্ট অজানা রাশি $A$ এর মান নির্ণয় করতে পারি।

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty} Psi(x)^*Psi(x) dx = \int_{-infty}^{0} Psi(x)_<^*Psi(x)_< dx + \int_{0}^{infty} Psi(x)_>^*Psi(x)_> dx = 1$

বা, $\displaystyle |A|^2 \int_{-infty}^{0} text{e}^{2kx} dx + |A|^2 \int_{0}^{infty} text{e}^{-2kx} dx = 1$

বা, $\displaystyle \frac{|A|^2}{2k} + \frac{|A|^2}{2k} = 1 implies |A|^2 = k$

অংকের সুবিধার জন্য আমরা শুধু ধণাত্মক বর্গমূল নিয়ে কাজ করব। সুতরাং

$\displaystyle A = sqrt{k} = \frac{sqrt{mV_0}}{\hbar}$ (14)

সবকিছু মিলিয়ে বাউন্ড স্টেটের ওয়েভ ফাংশন,

$\displaystyle Psi(x) = \left{ begin{matrix} \frac{sqrt{mV_0}}{\hbar} text{e}^{mV_0x/\hbar^2} text{ for } x \leq 0 \ \frac{sqrt{mV_0}}{\hbar} text{e}^{-mV_0x/\hbar^2} text{ for } x \geq 0 end{matrix} \right.$

বা আরও একটু সুন্দর ও সংহত করে লিখলে,

$\displaystyle Psi(x) = \frac{sqrt{mV_0}}{\hbar} text{e}^{-mV_0|x|/\hbar^2}$ (15)

২ নং চিত্রে লাল ও নীল রেখার মাধ্যমে এইরকম একটি বাউন্ড স্টেটের ওয়েভ ফাংশন দেখানো হয়েছে। ওই চিত্রে ড্যাশ দিয়ে দেখানো রেখাটি $Psi(x) = 0$ বোঝায়। সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন লিখতে হলে (15) নং সমীকরণে প্রদত্ত ফাংশনটিকে শুধু $text{e}^{-iEt/\hbar}$ দিয়ে গুণ করতে হবে। অর্থাৎ,

$\displaystyle Psi(x,t) = \frac{sqrt{mV_0}}{\hbar} text{e}^{-mV_0|x|/\hbar^2} text{e}^{imV_0^2 t/2\hbar^3}$ (16)

৩ নম্বর ছবিতে সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশনের রীয়েল পার্টের অ্যানিমেশন দেখানো হয়েছে। মনে রাখবে প্রবাবিলিটি ডেনসিটি কিন্তু সময়ের উপর নির্ভর করেনা (ষ্টেশনারী স্টেট)।

time dependet real part — চিত্র ৩ – ষ্টেশনারী স্টেট ওয়েভ ফাংশনের রীয়েল পার্টের সময়ের উপর নির্ভরশীলতা।

2 thoughts on “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল (কূপ) – বাউন্ড স্টেট”

Chiranjit says:

February 8, 2014 at 3:00 am

tomar sabgulo post e porlam…. bhalo laglo….sahoj, sarol ebong ssnkhipta akare lekha…. continue…

1. admin says:
  
  February 11, 2014 at 4:36 am
  
  thnx @chiranjit..

ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল (কূপ) – বাউন্ড স্টেট

Related

2 thoughts on “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল (কূপ) – বাউন্ড স্টেট”

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

2 thoughts on “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল (কূপ) – বাউন্ড স্টেট”

Leave a Reply Cancel reply