মিনকোভস্কি স্থান ও ফোর-ভেক্টর

লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ সমীকরণ থেকে এটা পরিষ্কার যে স্থান ও কাল (space and time) একে অপরের সাথে সম্পর্কযুক্ত, ওদেরকে পৃথক করে লেখা সম্ভব নয়। এছাড়াও আইনস্টাইন তার বিশেষ আপেক্ষিকতার তত্ত্ব ব্যবহার করে যে সমস্ত ফলাফল পেয়েছিলেন (যাদের সম্মন্ধে এর পরের পোস্টে আমরা আলোচনা করব), সেগুলো থেকেও এটা দেখা গিয়েছিল যে সময় ও স্থান পরষ্পর নির্ভরশীল। এই বিষয়গুলো লক্ষ্য করে জার্মান গণিতবিদ হার্মান মিনকোভস্কি প্রথম প্রস্তাব করেন যে সময় ও স্থানকে (time and space) আলাদা ভাবে না লিখে ত্রিমাত্রিক স্থান ও একমাত্রিক সময়কে একত্র করে একটি চতুর্মাত্রিক স্থান-কাল (spacetime) গঠন করা উচিৎ। শুধু তাই নয় এই চতুর্মাত্রিক স্থান-কাল ব্যবহার করে মিনকোভস্কি আইনস্টাইনের আবিষ্কৃত বিশেষ আপেক্ষিকতার তত্ত্বকে আরও সুন্দর ও সুগঠিত (elegant) করে প্রকাশ করতে সক্ষম হয়েছিলেন। মিনকোভস্কির প্রস্তাবিত এই চতুর্মাত্রিক স্থান ও কালের সমন্বয়কেই বলা হয় মিনকোভস্কি স্থান (Minkowski space)। মিনকোভস্কি স্থান আপেক্ষিকতা তত্ত্বের এক অতি গুরুত্বপূর্ণ ভিত্তি প্রস্তর, যার ব্যবহার আপেক্ষিকতার চর্চায় অপরিহার্য। নিউটনের প্রস্তাবিত গতিবিদ্যায় ইউক্লিডীয় স্থানের (Euclidean space) যে ভূমিকা, আইনস্টাইন প্রস্তাবিত আপেক্ষিকতার তত্ত্বে এই মিনকোভস্কি স্থানও সেই একই ভূমিকা নেয়। এখানে উল্লেখ করা যেতে পারে যে আইনস্টাইন ছিলেন মিনকোভস্কির প্রাক্তন ছাত্র।

ইউক্লিডীয় স্থান বা আমাদের অতি পরিচিত ত্রিমাত্রিক স্থানে কোন বিন্দুর অবস্থান তিনটি সংখ্যা বিশিষ্ট স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন কার্টিজিয়ান স্থানাঙ্কে কোন বিন্দুর অবস্থান $(x,y,z)$ । তোমরা জানো এই অবস্থানকে ভেক্টরের মাধ্যমেও লেখা যায়। যেমন যদি উপরিউল্লিখিত বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $bf r$ হয় তবে
ওই ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের বর্গ

$\displaystyle |r|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = x^1.x^1 + x^2.x^2 +x^3.x^3$ (1)

উপরের সমীকরণে আমরা পরবর্তি আলোচনার সুবিধের জন্য $(x,y,z)$ এর বদলে $(x^1,x^2,x^3)$ ব্যবহার করেছি, যেখানে $x$ এর উপরে লেখা $1, 2, 3$ কিন্তু $x$ এর ঘাত বা power নয়, ওগুলো সূচক (index)। (1) নম্বর সমীকরণকে আরও একটু সংহত করে লিখলে,

$\displaystyle |r|^2 = \sum_{ij}eta_{ij}x^i x^j, text{with } i,j = 1,2,3$ (2)

এই সমীকরণেও $i$ এবং $j$ আগের মতই $x$ এর ঘাত বা power নয়, ওগুলো কেবল সূচক (index)। $eta_{ij}$ হল এমন একটি সংখ্যা যার মান হয় $1 text{if} i = j text{and} 0 text{if} i neq j$ । অর্থাৎ ত্রিমাত্রায় $eta_{ij}=delta_{ij}$ , যেখানে $delta_{ij}$ হল ক্রোনেকার ডেল্টা চিহ্ন। আরেকটি কথা এখানে বলে রাখা ভাল। এটা সকলেরই জানা যে এক ফ্রেম থেকে অপর ফ্রেমে স্থানাঙ্ক রূপান্তরণ করলেও কোন ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের দৈর্ঘ্য সর্বদা অপরিবর্তিত থাকে।

ইউক্লিডীয় স্থানের উপরোক্ত উপমা থেকে আমরা মিনকোভস্কি স্থানের সম্মন্ধে সহজে বুঝতে পারব। আগেই বলেছি যে মিনকোভস্কি স্পেস একটি চতুর্মাত্রিক স্থান তাই এই স্পেসে কোন বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করতে স্বভাবতই চারটি রাশি প্রয়োজন। তার মধ্যে তিনটি হল ইউক্লিডীয় স্পেসের মতই স্থান সংক্রান্ত (spatial) স্থানাঙ্ক $(x^1,x^2,x^3)$ । আর মিনকোভস্কি স্পেসের চতুর্থ স্থানাঙ্ক হল সময় $(t)$ , যাকে আমরা আলোর বেগ $c$ দিয়ে গুণ করে $x^0=ct$ হিসেবে লিখব। স্পষ্টতার জন্য মিনকোভস্কি স্পেসে কোন বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিকে নিচে গুছিয়ে লিখে দিয়েছি।

$x^0 = ct, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z$ (3)

ইউক্লিডীয় স্পেসের মতই এখানেও কোন বিন্দুর অবস্থানকে (যাকে ইভেন্ট (event) বা ঘটনা বলা হয়) চতুর্মাত্রিক ভেক্টর $(x^0,x^1,x^2,x^3)$ হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই রকম চারটি সংখ্যা (স্থানাঙ্ক) বিশিষ্ট ভেক্টরকে বলা হয় ফোর-ভেক্টর (four vector)। আশা করা যায় ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের মত ফোর-ভেক্টরের দৈর্ঘ্যও লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের ফলে অপরিবর্তিত থাকবে। কিন্তু একটু মাথা খাটালেই বুঝতে পারবে যে $x^0.x^0 +x^1.x^1 +x^2.x^2+x^3.x^3$ লোরেন্‍ৎস ট্রান্সফর্মেশনের ফলে অপরিবর্তিত থাকে না। তাহলে উপায়? আসলে মিনকোভস্কি স্থানে কোন ফোর ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বের করার সূত্র একটু আলাদা। এর আগের পোস্টে দেখেছো যে যেহেতু আলোর বেগ সমস্ত ইনার্শিয়াল ফ্রেমেই সমান, তাই সমস্ত ইনার্শিয়াল ফ্রেমেই $x.x+y.y+z.z = ct.ct$ । অর্থাৎ $ct.ct-x.x-y.y-z.z$ বা $x^0.x^0 -x^1.x^1 -x^2.x^2 -x^3.x^3$ এর মান লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের মাধ্যমে সম্পর্কযুক্ত সমস্থ ইনার্শিয়াল ফ্রেমে একই থাকবে। এটাই হচ্ছে চতুর্মাত্রিক মিনকোভস্কি স্থানে কোন বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরের দৈর্ঘ্য। [দৈর্ঘ্য বললাম কারণ এটা ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের অনুরূপ জিনিস]। স্পষ্ট করে লিখলে,

$\displaystyle |text{length}|^2 = x^0.x^0 -x^1.x^1 -x^2.x^2 -x^3.x^3$

$\displaystyle = \sum_{\mu \nu}eta_{\mu \nu} x^{\mu}x^{\nu}$ (4a)

এবারে কিন্তু $eta$ -এর সূচক $\mu$ ও $\nu$ এর মান $0, 1,2,3$ হতে পারে এবং,

$\displaystyle eta_{\mu \nu} = \left{begin{matrix} 1 & text{ if } \mu = \nu = 0 \-1 & text{ if } \mu = \nu neq 0 \0 & text{ if } \mu neq \nu end{matrix}\right .$

$eta_{\mu \nu}$ কে বলা হয় মিনকোভস্কি মেট্রিক (Minkowski metric)। এই মেট্রিক ব্যবহার করে শুধু অবস্থান ফোর ভেক্টরেরই নয়, যেকোন ফোর ভেক্টরের (যাদের সম্মন্ধে পরে জানবো) দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। আইনস্টাইনের প্রচলীত সামেশন রীতি অনুসারে আমরা (4a) নং সমীকরণের সামেশন চিহ্নটিকে স্পষ্টভাবে উল্লেখ না করে নিম্নলিখিত ভাবে লিখব।

$\displaystyle |text{length}|^2= eta_{\mu \nu} x^{\mu}x^{\nu}$ (4b)

এর মানে হল কোন রাশিমালাতে যদি একই অক্ষর উর্ধ্ব ও নিম্ন, দুই সূচক (upper and lower index) রূপেই বিদ্যমান থাকে তবে ওই অক্ষরের সমস্ত মানের জন্য ওই রাশিমালার মান বের করে তাদেরকে পরষ্পরের সাথে যোগ করতে হবে। যেমন উপরের সমীকরণে ডানদিকের রাশিমালায় $eta$ এর নিম্নসূচক $\mu \nu$ । আবার ওই একই রাশিমালাতে $x$ এর উর্ধ্বসূচক রূপেও $\mu$ ও $\nu$ বিদ্যমান। তাই $\mu$ ও $\nu$ এর সমস্ত মানের জন্য $eta_{\mu \nu} x^{\mu}x^{\nu}$ এর মান গণনা করে তাদেরকে পরষ্পরের সাথে যোগ করলে তবেই অবস্থান ভেক্টরের দৈর্ঘ্য পাওয়া যাবে। এই ধরনের সামেশন রীতি ব্যবহার করা হয় আপেক্ষিকতা সংক্রান্ত বিভিন্ন রাশিমালার রূপ সহজপাঠ্য রাখার জন্য।

এবারে আমরা লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের সমীকরণকে মিনকোভস্কির ফোর-ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি। যদি $O'$ ফ্রেম $O$ এর সাপেক্ষে $x$ অক্ষ বরাবর $v$ বেগে গতিশীল হয়, তবে তোমরা জানো তার জন্য প্রয়োজনীয় লোরেন্‍ৎস ট্রান্সফর্মেশনের সমীকরণগুলি হল,

$\displaystyle t' = \gamma(t - \frac{v}{c^2}x)$

$\displaystyle x' = \gamma(x - vt)$

$\displaystyle y' = y, z' = z$

[ $(t', x', y', z')$ হল $O'$ ফ্রেমে স্থানাঙ্ক, আর $\gamma = 1/sqrt{1-v^2/c^2}$ ।]

ফোর-ভেক্টরের প্রয়োজনে একটু সাজিয়ে লিখলে,

$\displaystyle x'^0=ct' = \gamma(ct - \frac{v}{c}x) = \gamma(x^0 -\beta x^1)$ (5a)

$\displaystyle x'^1 =x'= \gamma(x - vt) = \gamma(-\beta x^0 + x^1)$ 5(b)

$\displaystyle x'^2 =y'= x^2$ (5c)

$\displaystyle x'^3 =z'= x^3$ (5d)

যেখানে $\beta = v/c$ । (5a), (5b), (5c) ও (5d) চারটি একঘাত (linear) বিশিষ্ট সমীকরণ যাদেরকে আমরা মেট্রিক্সের (matrix) আকারে লিখতে পারি,

$\displaystyle \left(begin{matrix} x'^0 \ x'^1 \ x'^2 \ x'^3 end{matrix}\right)$ $= \left( begin{matrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{matrix} \right)$ $\left(begin{matrix} x^0 \ x^1 \ x^2 \ x^3 end{matrix}\right)$ (6)

উপরের সমীকরণের $4times 4$ মেট্রিক্সটিকে বলা হয় লোরেন্‍ৎস ট্রান্সফর্মেশন মেট্রিক্স। আইনস্টাইনের সামেশন রীতি ব্যবহার করে (6) নম্বর সমীকরণকে সংক্ষেপে এভাবে লেখা হয়,

$\displaystyle x'^\mu =\sum_{\nu} Lambda_{\nu}^{\mu}x^{\nu} = Lambda_{\nu}^{\mu}x^{\nu}$ (7)

যেখানে $Lambda_{\nu}^{\mu}$ হল লোরেন্‍ৎস ট্রান্সফর্মেশন মেট্রিক্সের $\mu$ তম সারি (row) ও $\nu$ তম কলাম (column) বিশিষ্ট পদ। যেহেতু লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের ফলে অবস্থান ফোর-ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অপরিবর্তিত থাকে, সুতরাং,

$\displaystyle eta_{\mu \nu}x'^{\mu}x'^{\nu} = eta_{\alpha \beta}x^{\alpha} x^{\beta}$ [ $\alpha$ ও $\beta$ ঠিক $\mu$ ও $\nu$ -এর মতই $x$ -এর সূচক।]

বা, $\displaystyle eta_{\mu \nu} Lambda_{\alpha}^{\mu} x^{\alpha} Lambda_{\beta}^{\nu} x^{\beta} = eta_{\alpha \beta}x^{\alpha} x^{\beta}$

দেখতেই পাচ্ছ যে এটা সত্যি হতে পারে কেবল যদি ,

$\displaystyle Lambda_{\alpha}^{\mu}Lambda_{\beta}^{\nu} eta_{\mu \nu}= eta_{\alpha \beta}$ (8)

(8) নম্বর সমীকরণ মিনকোভস্কি স্থানের একটি মূল বৈশিষ্ট। লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের ফলে যে সমস্ত রাশির মান অপরিবর্তিত থাকে তাদেরকে মিনকোভস্কি স্থানে স্কেলার রাশি বলা হয়। যেমেন কোন ফোর-ভেক্টরের দৈর্ঘ্য একটি স্কেলার রাশি। এছাড়াও তোমরা মিনকোভস্কি স্থানে ভেক্টর রাশিও দেখেছো (ফোর-ভেক্টর)। কোন রাশি $A^{\mu}$ কে মিনকোভস্কি স্থানে ভেক্টর বলা হয় যদি লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের ফলে তা নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসারে পরিবর্তিত হয়,

$\displaystyle A'^{\nu}= Lambda_{\mu}^{\nu}A^{\mu}$ (9)

[মনে রাখবে $A^{\mu}$ হল $bf A$ ভেক্টরের একটি উপাদান (component) মাত্র। অনুরূপ চারটি উপাদানের সমন্বয়ে $bf A$ ভেক্টর গঠিত। এই চারটি উপাদানের জন্য $\mu = 0,1,2,3$ ।] এরকম রাশির একটি উদাহরণ অবশ্যই অবস্থান ফোর-ভেক্টর $x^{\mu}$ । এছাড়াও আরও ফোর-ভেক্টরের সাথে আমরা এর পরের পোস্টগুলিতে পরিচিত হব। স্কেলার ও ভেক্টর ছাড়াও আরও এক ধরনের রাশি আছে যাদের নাম টেন্সর। মিনকোভস্কি স্থানে কোন রাশি $F^{\mu\nu}$ কে দ্বিতীয় মাত্রার (second rank) টেন্সর বলা হয় যদি তা লোরেন্‍ৎস ট্রান্সফর্মেশনের ফলে নিচে দেওয়া নিয়ম অনুযায়ী রূপান্তরিত হয়,

$\displaystyle F'^{\alpha \beta} = Lambda_{\mu}^{\alpha} Lambda_{\nu}^{\beta} F^{\mu\nu}$ (10)

[বিঃদ্রঃ- এখানেও $F^{\mu\nu}$ কিন্তু $F$ টেন্সরের একটি উপাদান মাত্র। লক্ষ্য কর যে ভেক্টরের উপাদানগুলিতে শুধু একটিই সূচক থাকে, অথচ দ্বিতীয় মাত্রার টেন্সরের উপাদানে দুটি করে সূচক লাগানো হয়। এর কারণ ভেক্টরকে কেবল একটিমাত্র স্তম্ভ বা একটিমাত্র সারি বিশিষ্ট মেট্রিক্স হিসেবে লেখা হয়, কিন্তু টেন্সর প্রকাশ করতে সাধারণত একাধিক স্তম্ভ ও সারি বিশিষ্ট মেট্রিক্স প্রয়োজন।]

মিনকোভস্কি স্পেসে অবস্থিত দুটি বিন্দু $(x^0 +dx^0,x^1+dx^1,x^2+dx^2,x^3+dx^3)$ ও $(x^0,x^1,x^2,x^3)$ -এর মধ্যে দূরত্ব যদি $ds$ হয় তবে স্পষ্টতই,

$\displaystyle ds^2 = (dx^0)^2 - (dx^1)^2 - (dx^2)^2 - (dx^3)^2 = eta_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ (11)

বলাই বাহুল্য যে $ds$ এর মান লোরেন্‍ৎস ট্রান্সফর্মেশনের ফলে অপরিবর্তিত থাকবে, অর্থাৎ $ds' = ds$ । সুতরাং $ds$ একটি স্কেলার রাশি ও একে বলা হয় ইন্টারভাল (\interval) বা প্রপার টাইম (proper time)। এর সম্মন্ধে আরও আলোচনা করব এর পরের পোস্টগুলিতে।

রৈখিক বীজগণিতের ভাষায় মিনকোভস্কি স্থান হল এক ধরণের বিশেষ চতুর্মাত্রিক ভেক্টর স্পেস যা আপেক্ষিকতা তত্ত্বের জন্য প্রয়োজনীয় ত্রিমাত্রিক স্থান ও একমাত্রিক কালের সমন্বয়। এই ভেক্টর স্পেসে যেকোন ভেক্টরকে চারটি উপাদান বিশিষ্ট (four components) কলাম মেট্রিক্সের (বা রো মেট্রিক্স) মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। যেমন অবস্থান ফোর-ভেক্টর $bf x$ কে এভাবে লেখা যায়,

$\displaystyle {\bf x} = \left( begin{matrix} x^0 \ x^1 \ x^2 \ x^3 end{matrix} \right)$ (12)

যদি ${\bf A}$ ও ${\bf B}$ এই মিনকোভস্কি স্থানে দুটি ভেক্টর হয় তবে তাদের স্কেলার গুণফল ${\bf A.B}$ নিম্নলিখিত সমীকরণের মাধ্যমে গণনা করা হয়,

$\displaystyle {\bf A.B} = {\bf A^Teta B}=A^{\mu}eta_{\mu\nu}B^{\nu}$ (13)

যেখানে $bf A^T$ হল $bf A$ এর ট্রান্সপোজ (transpose) বা পক্ষান্তরিত মেট্রিক্স এবং ${\bf eta}$ হল মিনকোভস্কি মেট্রিক যাকে মেট্রিক্সের আকারে লিখলে,

$\displaystyle {\bf eta} = \left( begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 end{matrix} \right)$ (14)

বলাই বাহুল্য যে কোন ফোর-ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের বর্গ হল মূলত ওই ভেক্টরের সাথে ওর নিজেরই স্কেলার গুণফল। যাইহোক, এপর্যন্ত যে ফোর-ভেক্টরগুলির সাথে আমরা পরিচিত হয়েছি তাদের উপাদানগুলিকে উর্ধ্বসূচক (upper index) দিয়ে লেখা হয়েছে। ফোর-ভেক্টরের এরকম উর্ধ্বসূচক যুক্ত উপাদানসমূহের পোষাকী নাম কন্ট্রাভ্যারিয়েন্ট উপাদান (contravariant components)। মিনকোভস্কি স্পেসে কোন ফোর-ভেক্টরের আরেক ধরনের উপাদান সম্ভব, যাদের ক্ষেত্রে নিম্নসূচক (lower index) ব্যবহার করা হয় (যেমন $A_{\nu}$ )। এই নিম্নসূচক বিশিষ্ট উপাদানসমূহকে বলা হয় কোভ্যারিয়েন্ট (covariant) উপাদান। কোন ফোর-ভেক্টরের কোভ্যারিয়েন্ট উপাদানগুলি নিচে লেখা সমীকরণের মাধ্যমে কন্ট্রাভ্যারিয়েন্ট উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কযুক্ত,

$\displaystyle A_{\nu} = eta_{\mu \nu}A^{\mu}$ (15)

(13) ও (15) নম্বর সমীকরণ দুটি ব্যবহার করে দেখা যায়,

$\displaystyle {\bf A.B} = A^{\mu}eta_{\mu \nu}B^{\nu}= A^{\mu}B_{\mu}$ (16)

$eta$ মেট্রিক্সের ইনভার্স (inverse) বা বিপরীত মেট্রিক্সের উপাদান বা পদগুলিকে $eta^{\mu \nu}$ দিয়ে লেখা হয়। যেহেতু $eta eta^{-1} = I = eta^{-1} eta$ , যেখানে $I$ হল অভেদক বা identity মেট্রিক্স, তাই

$eta_{\mu \nu} eta^{\nu \alpha} = delta_{\mu}^{\alpha}$ (17)

এখানে $delta_{\mu}^{\alpha}$ হল ক্রোনেকার ডেল্টা যার কথা আগেও বলেছি। সুতরাং (15) ও (17) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে,

$\displaystyle eta^{\nu \alpha} A_{\nu} = eta^{\nu \alpha} eta_{\mu \nu}A^{\mu} = delta_{\mu}^{\alpha}A^{\mu} = A^{\alpha}$

$\alpha$ র বদলে $\mu$ ব্যবহার করে,

$\displaystyle eta^{\nu \mu}A_{\nu} = A^{\mu}$ (18)

সুতরাং মিনকোভস্কি মেট্রিক [ $eta_{\mu \nu}$ বা $eta^{\mu \nu}$ ] ব্যবহার করে সূচক উপরে বা নিচে ওঠানো বা নামানো যায়। এখানে বলে রাখা ভালো যে কনট্রাভ্যারিয়েন্ট উপাদানের মাধ্যমে ভেক্টর লেখার সময় কলাম মেট্রিক্স ও কোভ্যারিয়েন্ট উপাদানসমূহের সাহায্যে ভেক্টর প্রকাশের জন্য সারি বা row মেট্রিক্স ব্যবহার করা হয়। নাহলে (16) নম্বর সমীকরণে প্রদত্ত স্কেলার গুণফলের অর্থহীন হবে। (16), (17) ও (18) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে সহজেই দেখানো যায় যে,

$\displaystyle {\bf A.B} = A^{\mu}eta_{\mu \nu}B^{\nu}=A^{\mu}B_{\mu}= A_{\nu}B^{\nu}= A_{\nu}eta^{\nu \mu}B_{\mu}$ (19)

এই পোস্ট এখানেই শেষ করতে বাধ্য হচ্ছি। এর পরে আর বেশি লিখতে থাকলে মার্জার ভূতে পেয়ে বসবে যার ফলে সারারাত ধরে শুধু মিউ-নিউ জপ করতে, থুরি, ডাকতে থাকব। গভীর রাতে সেই বিটকেল ডাক শুনে গিন্নী রেগে গিয়ে যদি দশাসই ধাক্কায় মিসাইল রূপে গবাক্ষ দিয়ে উৎক্ষেপণ করে, তবে প্রফেসর শঙ্কুর মঙ্গল যাত্রার ন্যায় এই অধমের শনি যাত্রা নিশ্চিত। মানুষ, বেড়াল, সিন্ধুঘোটক, মায়, পেরস্ত্রীহীন সেই বিভৎস শনিগ্রহে থাকার চেয়ে এখন এই সব আজেবাজে গালগল্প লেখা বন্ধ করে ঘুমুতে যাওয়া ঢেড় ভালো কাজ। অতএব শুভরাত্রি।

2 thoughts on “মিনকোভস্কি স্থান ও ফোর-ভেক্টর”

Mithun says:

March 21, 2014 at 3:17 pm

ভালোই লেগেছে. কিন্তু চিহ্নগুলো কোনটি কি প্রকাশ করছে তা অনেকক্ষেত্রেই বলা হয়নি! ব্যাপারটা অন্য একটা উদাহরণ দিয়ে বোঝাচ্ছি:
যেমনF=ma, এখানে F, m, a কোনটি দ্বারা কি বোঝাচ্ছে তা বলা হয়নি.
উল্লেখ্য যে এসমস্যা আরও কিছু পোস্টেও দেখেছি. আশা এজাতীয় ত্রুটি পরবর্তী কোন পোস্টে আর দেখব না.
ধন্যবাদ

1. admin says:
  
  March 21, 2014 at 3:59 pm
  
  Mithun, মন্তব্যের জন্য অনেক ধন্যবাদ। চিহ্নগুলো পরিষ্কার করে না বলায় তোমার পড়তে অসুবিধা হয়েছে, সেজন্য দূঃখিত। ভবিষ্যতে এবিষয়ে অবশ্যই লক্ষ্য রাখা হবে। পুরোনো পোস্টগুলোতেও চেষ্টা করা হবে সমস্ত চিহ্নের মানে স্পষ্টভাবে লিখতে যাতে ভবিষ্যতে সেটা পড়তে গিয়ে কাউকে আর তোমার মত অসুবিধার সম্মুখীন হতে না হয়।

মিনকোভস্কি স্থান ও ফোর-ভেক্টর

Related

2 thoughts on “মিনকোভস্কি স্থান ও ফোর-ভেক্টর”

Leave a Reply to Mithun Cancel reply

Share this:

Related

2 thoughts on “মিনকোভস্কি স্থান ও ফোর-ভেক্টর”

Leave a Reply to Mithun Cancel reply