বিশেষ আপেক্ষিকতায় গতিবেগ যোগের বা আপেক্ষিক বেগের সূত্র

আজ আবার বিশেষ আপেক্ষিকতা নিয়ে আলোচনা করব। ধর ভূমির সাপেক্ষে $bf v_1$ বেগে গতিশীল একটি বাসের মেঝেতে $bf v_2$ বেগে একটি বল ছোড়া হয়েছে। তবে ভূমির সাপেক্ষে বা ভূমিতে দাঁড়ানো একজন দর্শকের সাপেক্ষে ওই বলের বেগ কত? তোমরা সকলেই জানো যে উত্তর খুবই সহজ। গ্যালেলিওর আপেক্ষিকতা অনুসারে ভূমির সাপেক্ষে ওই বলের বেগ $bf v = bf v_1 + bf v_2$ । কিন্তু লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের দরুন আইনস্টাইনের বিশেষ আপেক্ষিকতায় এই সূত্রটি বৈধ নয়। খুব সহজেই ব্যাপারটিকে বুঝতে পারবে। যদি ওই বাসে বলের বদলে একটি টর্চ জ্বালা হয় তবে গ্যালেলিওর আপেক্ষিকতা অনুসারে ভূমিতে দাঁড়ানো দর্শকের সাপেক্ষে আলোর বেগ হওয়া উচিৎ $bf v_1 +bf c$ [বিঃদ্রঃ বোল্ড বা গাঢ় হরফে লেখা রাশি ভেক্টর প্রকাশ করে]। কিন্তু বিশেষ আপেক্ষিকতার নিয়ম অনুসারে সমস্ত ইনার্শিয়াল ফ্রেমে আলোর বেগ একই থাকতে বাধ্য। সুতরাং আমাদেরকে এবারে লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ ও বিশেষ আপেক্ষিকতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আপেক্ষিক বেগে নির্ণয়ের সূত্র বের করতে হবে। তবে তার আগে আমরা নিউটনের প্রচলিত পরম ফ্রেম (absolute frame) সম্মন্ধে সামান্য কিছু কথা বলে নেব। [বিশেষ আপেক্ষিকতা সংক্রান্ত সমস্ত প্রবন্ধে $c$ হল শূন্যস্থানে আলোর বেগ।]

আইনস্টাইনের বিশেষ আপেক্ষিকতার তত্ত্বে পরম ফ্রেমের ধারণা বর্জন করা হয়েছে। এখানে পরষ্পরের সাপেক্ষে স্থির বা সমবেগে গতিশীল সমস্ত রেফারেন্স ফ্রেমই ইনার্শিয়াল ফ্রেম বলে গন্য হয়। কোন নির্দিষ্ট ফ্রেমকে বিশেষ পরম ফ্রেম বলে মেনে নেওয়ার প্রয়োজন বিশেষ আপেক্ষিকতায় নেই। যেমন তুমি যদি একজন দর্শক হও, তবে বিশেষ আপেক্ষিকতার জোরে তোমার সাপেক্ষে স্থির বা সমবেগে গতিশীল সমস্ত ফ্রেমেই পদার্থবিদ্যার সমস্ত সূত্র অভিন্ন থাকবে। চল এবারে আমরা বিশেষ আপেক্ষিকতার তত্ত্বের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আপেক্ষিকতার তত্ত্ব গণনা করি। মনে কর $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $O'$ ফ্রেম $v_1$ গতিবেগে $x$ অক্ষ বরাবর গতিশীল। যদি অপর একটি ফ্রেম $O''$ , $O'$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $v_2$ বেগে $x'$ অক্ষ বরা বর গতিশীল হয় তবে আমাদের উদ্দেশ্য হল $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $O''$ এর আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় করা। আমরা ধরে নেব $(x,y,z,t)$ , $(x',y',z',t')$ ও $(x'',y'',z'',t'')$ যথাক্রমে $O$ , $O'$ এবং $O''$ ফ্রেমে কোন ঘটনার (বিন্দুর) স্থানাঙ্ক। তবে লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের সমীকরণ ব্যবহার করে,

$\left( begin{matrix} ct' \ x' \ y' \ z' end{matrix} \right) =\left( begin{matrix} \gamma_1 & -\beta_1\gamma_1 & 0 & 0 \ -\beta_1 \gamma_1 & \gamma_1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{matrix} \right) \left( begin{matrix} ct \ x \ y \ z end{matrix} \right)$ (1)

যেখানে যথারীতি $\beta_1 = v_1/c$ এবং $\gamma_1 = 1/sqrt{1-v_1^2/c^2}$ ।

একইভাবে যেহেতু $O''$ ফ্রেম $O'$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $v_2$ বেগে $x'$ অক্ষ বরাবর গতিশীল তাই,

$\left( begin{matrix} ct'' \ x'' \ y'' \ z'' end{matrix} \right) =\left( begin{matrix} \gamma_2 & -\beta_2\gamma_2 & 0 & 0 \ -\beta_2 \gamma_2 & \gamma_2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{matrix} \right) \left( begin{matrix} ct' \ x' \ y' \ z' end{matrix} \right)$ (2)

যেখানে যথারীতি $\beta_2 = v_2/c$ এবং $\gamma_2 = 1/sqrt{1-v_2^2/c^2}$ । এবারে (1) ও (2) নম্বর সমীকরণদ্বয়কে একসাথে জুড়লে,

$\displaystyle \left( begin{matrix} ct'' \ x'' \ y'' \ z'' end{matrix} \right) =\left( begin{matrix} \gamma_2 & -\beta_2\gamma_2 & 0 & 0 \ -\beta_2 \gamma_2 & \gamma_2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{matrix} \right) \left( begin{matrix} ct' \ x' \ y' \ z' end{matrix} \right)$

$\displaystyle =\left( begin{matrix} \gamma_2 & -\beta_2\gamma_2 & 0 & 0 \ -\beta_2 \gamma_2 & \gamma_2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{matrix} \right) \left( begin{matrix} \gamma_1 & -\beta_1\gamma_1 & 0 & 0 \ -\beta_1 \gamma_1 & \gamma_1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{matrix} \right) \left( begin{matrix} ct \ x \ y \ z end{matrix} \right)$

$\displaystyle =\left( begin{matrix} \gamma_1\gamma_2 (1+\beta_1 \beta_2) & -\gamma_1\gamma_2 (\beta_1 + \beta_2) & 0 & 0 \ -\gamma_1\gamma_2 (\beta_1 + \beta_2) & \gamma_1\gamma_2 (1+\beta_1 \beta_2) & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{matrix} \right) \left( begin{matrix} ct \ x \ y \ z end{matrix} \right)$ (3)

এবারে চল উপরোক্ত গুণফলজাত মেট্রিক্সের প্রথম পদটিকে বিশ্লেষণ করা যাক,

$\displaystyle \gamma_1\gamma_2 (1+\beta_1 \beta_2) = \frac{1+\frac{v_1 v_2}{c^2}}{sqrt{(1-\frac{v_1^2}{c^2})(1-\frac{v_2^2}{c^2})}}$

$\displaystyle = \frac{1+\frac{v_1 v_2}{c^2}}{sqrt{1+\frac{v_1^2v_2^2}{c^4} -\frac{v_1^2+v_2^2}{c^2}}} = \frac{1+\frac{v_1 v_2}{c^2}}{sqrt{1+\frac{v_1^2v_2^2}{c^4} + 2\frac{v_1v_2}{c^2} - \frac{v_1^2+v_2^2 + 2v_1v_2}{c^2}}}$

$\displaystyle = \frac{1+\frac{v_1 v_2}{c^2}}{sqrt{(1+\frac{v_1 v_2}{c^2})^2 - \frac{(v_1+v_2)^2}{c^2}}}$

$\displaystyle = \frac{1}{sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

যেখানে,

$\displaystyle v =\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}$ (4)

একইভাবে (3) নম্বর সমীকরণের মেট্রিক্সের দ্বিতীয় পদটি ব্যবহার করে দেখানো যায় যে,

$\displaystyle \gamma_1 \gamma_2 (\beta_1 + \beta_2) = \gamma \beta$

যেখানে, $\displaystyle \gamma = \frac{1}{sqrt{1-v^2/c^2}}$ এবং $\beta = v/c$ । আর এই $v$ পাওয়া যায় (4) নম্বর সমীকরণ থেকে। অতএব (3) নং সমীকরণ থেকে

$\displaystyle \left( begin{matrix} ct'' \ x'' \ y'' \ z'' end{matrix} \right) =\left( begin{matrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{matrix} \right) \left( begin{matrix} ct \ x \ y \ z end{matrix} \right)$

তাহলে বলা যেতে পারে যে $O'$ ফ্রেমে কোন বস্তু যদি $v_2$ বেগে গতিশীল হয় (যা কিনা $O''$ ফ্রেমে স্থির) তবে $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে ওই বস্তুর আপেক্ষিক গতিবেগ,

$\displaystyle v =\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}$ (4)

যেখানে আবার মনে করিয়ে দিচ্ছি যে $v_1$ হল $O$ এর সাপেক্ষে $O'$ ফ্রেমের গতিবেগ। অর্থাৎ $v_1$ বেগে গতিশীল একটি বাসে যদি $v_2$ বেগে বাসের গতির অভিমুখে একটি বল ছোড়া হয় তবে ভূমিতে দন্ডায়মান ব্যক্তির সাপেক্ষে ওই বলের গতিবেগ আমরা (4) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়। আর যদি $v_1$ এবং $v_2$ বেগের অভিমুখ পরষ্পরের বিপরীত হয় তবে,

$\displaystyle v =\frac{v_1-v_2}{1-\frac{v_1v_2}{c^2}}$ (৫)

(4) ও (5) নম্বর সমীকরণ দুটোই হল বিশেষ আপেক্ষিকতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আপেক্ষিক বেগ নির্ণয়ের সূত্র। বলের বদলে যদি বাসের মধে একটি টর্চ জ্বালানো হয় তবে $v_2 = c$ । অতএব ভূমিতে অবস্থিত দর্শকের সাপেক্ষে আলোর বেগ,

$\displaystyle v = \frac{v_1 + c}{1+\frac{cv_1}{c^2}} = c$ (যদি টর্চের অভিমুখ বাসের গতির দিকে থাকে।) বা,

$\displaystyle v = \frac{v_1 - c}{1-\frac{cv_1}{c^2}} = -c$ (যদি টর্চের অভিমুখ বাসের গতির বিপরীত দিকে থাকে)।

দেখতেই পাচ্ছ এই নতুন সূত্র ব্যবহার করলে আলোর বেগ সমস্ত ইনার্শিয়াল ফ্রেমে একই থাকে। যদি $v_1$ ও $v_2$ এর মান আলোর বেগের থেকে অনেক কম হয় তাহলে (4) ও (5) নম্বর সমীকরণ থেকে এটা স্পষ্ট যে ওগুলো গ্যালেলিয়ান আপেক্ষিক বেগ গণনার সুত্রে পরিবর্তির হয়ে যায়।

বিশেষ আপেক্ষিকতায় গতিবেগ যোগের বা আপেক্ষিক বেগের সূত্র

Related

One thought on “বিশেষ আপেক্ষিকতায় গতিবেগ যোগের বা আপেক্ষিক বেগের সূত্র”

Leave a Reply to Sujoy Cancel reply

Share this:

Related

One thought on “বিশেষ আপেক্ষিকতায় গতিবেগ যোগের বা আপেক্ষিক বেগের সূত্র”

Leave a Reply to Sujoy Cancel reply