বিশেষ আপেক্ষিকতায় বস্তুকণার ল্যাগরেঞ্জিয়ান

ন্যুনতম অ্যাকশন নীতি (principle of least action) পদার্থবিদ্যার একটি অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম। যেকোন যান্ত্রিক বা বলবিজ্ঞান সম্মন্ধীয় সিস্টেমের গতি এমন হবে যাতে ওই সিস্টেমের অ্যাকশন (action S) ন্যুনতম হয়। বিশেষ আপেক্ষিকতায় কোন কণার গতির জন্যেও এই নীতি প্রযোজ্য। তবে ন্যুনতম অ্যাকশন নীতি প্রয়োগ করে কোন রিলেটিভিস্টিক কণার গতির সমীকরণ বের করতে গেলে প্রথমেই আমাদের জানতে হবে ওই কণার অ্যাকশনের সমীকরণ। ক্লাসিক্যাল বলবিদ্যা থেকে আমরা জানি যে কোন সিস্টেমের অ্যাকশন নিম্নলিখিত সমীকরণ মেনে চলে,

\displaystyle S = \int L\left[{\bf r}(t),{\bf v}(t), t\right] dt ……………… (1)

যেখানে, L({\bf r},{\bf v}, t) হল ওই সিস্টেমের ল্যাগরেঞ্জিয়ান এবং t হল সময়। {\bf r}(t) হল কোন মুহূর্তে স্থানাঙ্ক এবং {\bf v}(t)=d{\bf r}(t)/dt হল গতিবেগ। গাণিতিক ভাষায় ন্যুনতম অ্যাকশন নীতির মানে হল,

\displaystyle delta S = 0 ……………… (2)

যেখানে delta S অ্যাকশন S -এর সামান্য পরিবর্তন বোঝায়। (1) ও (2) নম্বর সমীকরণ একত্র করে বস্তুর গতির সমীকরণ পাওয়া যায় যাকে সাধারণভাবে অয়লার-ল্যাগরেঞ্জ (Euler-Lagrange) সমীকরণ বলা হয়,

\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q}=0 ………………….. (3)

অর্থাৎ কোন সিস্টেমের ল্যাগরেঞ্জিয়ান জানতে পারলে ওর গতির সমীকরণ চটপট বের করে ফেলা সম্ভব। এবারে অ্যাকশনের বৈশিষ্ট হল যে এটা একটা স্কেলার রাশি এবং একে একটি ইন্টিগ্রাল হিসেবে লেখা যায় যাতে ইন্টিগ্র্যান্ড প্রথম ক্রমের ডিফারেনশিয়াল* (\integrand is first order differential)। বিশেষ আপেক্ষিকতায় একমাত্র রাশি যা একইসাথে স্কেলার এবং প্রথম ক্রমের ডিফারেনশিয়াল হল স্পেস-টাইম ইনটারভাল ds। অতএব বিশেষ আপেক্ষিকতায় কোন ইনার্শিয়াল ফ্রেমের সাপেক্ষে v গতিবেগ সম্পন্ন কোন বস্তুকণার অ্যাকশন নিচের মত করে লেখা যায়,

\displaystyle S = \int k ds …………….. (4)

যেখানে k হল একটি ধ্রুবক বা স্কেলার। যেহেতু তোমরা দেখেছো যে \displaystyle ds = cdtau = c \frac{dt}{\gamma}, যেখানে \gamma = 1/sqrt{1-v^2/c^2}। অতএঅব,

\displaystyle S = ck\int sqrt{1-v^2/c^2}dt …………….. (5)

(1) ও (5) নম্বর সমীকরণ তুলনা করে,

\displaystyle L = cksqrt{1-v^2/c^2} ……………… (6)

এবারে আমরা k এর মান বের করব। তোমরা জানো যে সাধারণ ক্লাসিক্যাল বলবিদ্যায় m ভরের কোন মুক্ত বস্তুকণার (free particle) ল্যাগরেঞ্জিয়ান হল

\displaystyle L = \frac{1}{2}mv^2 ……………………. (7)

বস্তুকণার বেগ আলোর বেগের থেকে অনেক কম হলে (অর্থাৎ সাবেকি বলবিদ্যায়) (6) নং সমীকরণে প্রদত্ত ল্যাগরেঞ্জিয়ানকে এই ল্যাগরেঞ্জিয়ানের সমান হতে হবে। আরও স্পষ্ট করে বললে, বস্তুকণার বেগ আলোর বেগের থেকে অনেক কম হলে (6) ও (7) নম্বর সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত গতির সমীকরণ একই হতে হবে। $latex v<আগের পোস্টে আমরা ফোর ভেক্টর ব্যবহার করে গণনা করেছিলাম। এবারে ল্যাগরেঞ্জিয়ান ব্যবহার করে আমরা বিশেষ আপেক্ষিকতায় বস্তুর গতির জন্য হ্যামিল্টোনিয়ানের রাশিমালা বের করব। তোমরা জানো যে হ্যামিল্টোনিয়ান,

\displaystyle H = \sum_i p^i v^i - L = \gamma m v^2 + mc^2 sqrt{1-v^2/c^2}

\displaystyle = \gamma m c^2 \left( \frac{v^2}{c^2} + 1 -\frac{v^2}{c^2}\right)

\displaystyle = \gamma m c^2 ………………. (11)

যেহেতু হ্যামিল্টোনিয়ান সময়ের উপর নির্ভর করেনা, তাই তা সিস্টেমের বা বস্তুর গতির মোট শক্তি E বোঝায়। অতএব,

\displaystyle E = \gamma mc^2 …………….. ……. (12)

কোন স্থির বস্তুর জন্য v = 0 implies \gamma = 1, তাই, \displaystyle E = mc^2, যা বস্তুর স্থিরাবস্থায় ওর ভরের জন্য শক্তি। এতক্ষণ আমরা মুক্ত বস্তুকণার গতি সম্মন্ধে আলোচনা করছিলাম। যদি বস্তুটির উপর কোন বল প্রয়োগ করা হয় এবং ওই বলের জন্য বস্তুর স্থিতিশক্তি V({\bf r}) হয় তবে বস্তুর ল্যাগরেঞ্জিয়ান,

\displaystyle L = -mc^2sqrt{1-v^2/c^2} - V({\bf r}) ……………… (13)

এই ল্যাগরেঞ্জিয়ান ও অয়লার-ল্যাগরেঞ্জ সমীকরণ ব্যবহার করে বলের অধীনে বস্তুর গতির সমীকরণ লেখা সম্ভব। শুধু খেয়াল রাখতে হবে যে বল F,

\displaystyle {\bf F} = nabla V

আজ এপর্যন্তই রইল। এর পরের পোস্টে আমরা বিশেষ আপেক্ষিকতায় ডপলার শিফট নিয়ে আলোচনা করব। ভালো থেকো।

*প্রথম ক্রমের ডিফারেনশিয়াল- যেমন dx, dt, ds, dy …. ইত্যাদি।
দ্বিতীয় ক্রমের ডিফারেনশিয়াল – যেমন d^2x, d^2t, d^2s, d^2y …. ইত্যাদি।

2 thoughts on “বিশেষ আপেক্ষিকতায় বস্তুকণার ল্যাগরেঞ্জিয়ান”

  1. দারুন ভাবে এবং বলাই বাহুল্য অনেক সহজেই বিষয়টা বুঝতে পেরেছি ………আপনাকে ধন্যবাদ ।
    তড়িৎ গতিবিদ্যার উপর আপেক্ষিকতার প্রয়োগ সংক্রান্ত কোন পোস্ট এখনো পেলাম না যে ?

    Reply

    1. ধন্যবাদ মিঠুন। তড়িৎ গতিবিদ্যার উপর একটা সিরিজ শুরু করার ইচ্ছে আছে, সেখানে ওই সম্মন্ধে আলোচনা থাকবে। আশা করছি তাড়াতাড়িই লিখতে পারব।

      Reply

Leave a Reply to মিঠুন রায় Cancel reply

Your email address will not be published.