রিলেটিভিস্টিক ডপলার শিফট (relativistic doppler shift)

এই ছোট্ট পোস্টে আজ আমরা আলোচনা করব ডপলার শিফট বা ডপলার ক্রিয়া সম্মন্ধে। তোমরা সকলেই হয়তো জানো যে ডপলার শিফট কি। সম্পূর্ণতার স্বার্থে তাও আমি একবার ডপলার শিফটের সংজ্ঞাটা এখানে লিখে দিচ্ছি। কোন তরঙ্গের উৎস এবং দর্শক বা শ্রোতার মাঝে আপেক্ষিক বেগের দরুন ওই তরঙ্গের কম্পাঙ্কে যে পরিবর্তন হয় তাকে বলা হয় ডপলার শিফট এবং এই ঘটনাকে বলা হয় ডপলার ক্রিয়া। তোমার দিকে আগত কোন ট্রেনের হুইসেল তীক্ষ্ণ মনে হওয়া এবং তোমার থেকে দূরে চলে যাচ্ছে এমন ট্রেনের আওয়াজ ভোতা মনে হওয়ার কারণ মূলত এই ডপলার শিফট। আমরা আজকে বিশেষ আপেক্ষিকতায় আলোক তরঙ্গের ডপলার ক্রিয়া সম্মন্ধে আলোচনা করব। অর্থাৎ আজ আমরা দেখব যে যদি আলোর উৎস এবং দর্শকের মাঝের আপেক্ষিক বেগ আলোর বেগের কাছাকাছি হয় তবে ডপলার শিফটের রাশিমালা কেমন হবে। আর এর মাধ্যমে ভরবেগের ফোর ভেক্টরের একটি প্রয়োগের উদাহরণও আমরা দেখতে পাব। মনে কর কোন ইনার্শিয়াল ফ্রেম -তে রাখা একটি উৎস হতে কম্পাঙ্ক বিশিষ্ট ফোটন ওই ফ্রেমের অক্ষের সাথে কোণে চলছে। আমরা জানি যেহেতু ফোটনের ভর শূন্য তাই ওর ফোটনের ভরবেগ,

……………….. (1)

হল ফোটনের শক্তি। অতএব ফোটনের ভরবেগের ফোর ভেক্টর

মেট্রিক্সের আকারে লিখলে,

………………………. (2)

এবারে ধর অপর একটি ফ্রেম আগের ওই ইনার্শিয়াল ফ্রেমের সাপেক্ষে বেগে অক্ষ বরাবর গতিশীল। অর্থাৎ আলোর উৎসের সাপেক্ষে এই নতুন ফ্রেমে অবস্থিত দর্শকের আপেক্ষিক বেগ । আমদের উদ্দেশ্য হল ফ্রেমে অবস্থিত দর্শক ওই আলোর ফোটনের যে কম্পাঙ্ক মাপবে তা নির্ণয় করা। ফোর ভেক্টরের সংজ্ঞা থেকে ফ্রেমে যদি ফোটনের ভরবেগের ফোর ভেক্টর হয় তবে,

………………… (3)

বলাই বাহুল্য যে হল লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ মেট্রিক্সের উপাদান। মেট্রিক্সের আকারে লিখলে,

যেখানে হল ফ্রেমের সাপেক্ষে আলোর কম্পাঙ্ক। এবং । অতএব,

বা,

বা, …………………. (4)

এটাই রিলেটিভিস্টিক ডপলার শিফটের সমীকরণ। যদি ফ্রেম যেদিকে চলছে ফোটনটিও সেদিকেই চলে, অর্থাৎ আলোর উৎসের সাপেক্ষে দর্শকের আপেক্ষিক বেগের অভিমুখ যদি ফোটনের গতির অভিমুখেই হয় তবে এবং,

…………………. (5a)

এই ক্ষেত্রে আলোর আপাত কম্পাঙ্ক কমে যাবে যাকে বলা হয় ডপলার রেড-শিফট বা কম্পাঙ্কের লাল রঙের দিকে পরিবর্তন (red shift)।

যদি ফোটন ও ফ্রেমের গতি পরষ্পরের উল্লম্ব হয়, অর্থাৎ আলোর উৎসের সাপেক্ষে দর্শকের আপেক্ষিক গতির অভিমুখ যদি ফোটনের গতির সাথে উল্লম্ব হয় তবে এবং,

…………………. (5b)

এই ঘটনাকে বলা হয় অনুপ্রস্থ ডপলার ক্রিয়া (transverse Doppler effect) যা সময় সম্প্রসারণের একটি ফল। যেহেতু সবসময়ই 1 এর থেকে বেশি, তাই এক্ষেত্রে দর্শকের সাপেক্ষে আলোর আপাত কম্পাঙ্ক বেড়ে যায় যাকে বলা হয় ব্লু-শিফট বা আলোর কম্পাঙ্কের নীল রঙের দিকে পরিবর্তন (blue shift)।

আর যদি ফোটন ও ফ্রেমের গতি পরষ্পরের বিপরীত দিকে হয়, অর্থাৎ আলোর উৎসের সাপেক্ষে দর্শকের আপেক্ষিক বেগের অভিমুখ ফোটনের গতির বিপরীত হয় তবে এবং,

…………………. (5c)

স্পষ্টতই আলোর আপাত কম্পাঙ্ক এই ক্ষেত্রেও বেড়ে গিয়েছে, অর্থাৎ আলোর কম্পাঙ্কের ব্লু-শিফট হয়েছে।

এই হল বিশেষ আপেক্ষিকতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ডপলার শিফটের রাশিমালা। যদি আলোর উৎসের সাপেক্ষে দর্শকের আপেক্ষিক বেগের মান আলোর বেগের তুলনায় অনেক কম হয় $latex (v<