তড়িৎচুম্বকিয় ক্ষেত্রের লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ

ফিল্ড টেন্সরের মাধ্যমে কিভাবে ম্যাক্সওয়েলের তড়িৎচুম্বকিয় সমীকরণগুলিকে ব্যক্ত করা যায় তা আমরা দেখেছি। তড়িৎ ও চুম্বকক্ষেত্র যে মূলত ফিল্ড টেন্সরের উপাদানমাত্র সেটাও প্রতিপন্ন হয়েছে। এবারে আমাদের উদ্দেশ্য লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের মাধ্যমে এক ইনার্শিয়াল ফ্রেম থেকে অপর ফ্রেমে গেলে কিভাবে তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্র পরিবর্তিত হয় সেটা জানা। সত্যি কথা বলতে গেলে টেন্সরের রূপান্তরণের সূত্র ব্যবহার করে এটা সহজেই বের করে ফেলা যায়। ধর $O (x^{\mu})$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $O' (x'^{\mu})$ ফ্রেম ${\bf v}$ বেগে গতিশীল। ওই দুটি ফ্রেমে যদি ফিল্ড টেন্সর যথাক্রমে $F^{\mu \nu}$ এবং $F'^{\mu \nu}$ হয় তবে,

$\displaystyle F'^{\mu \nu} =\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{\beta}} F^{\alpha \beta}= Lambda^{\mu}_{\alpha} Lambda^{\nu}_{\beta} F^{\alpha \beta}$ ……………. (1)

যেখানে স্পষ্টতই $Lambda^{\mu}_{\alpha}$ ও $Lambda^{\nu}_{\beta}$ হল $O$ থেকে $O'$ ফ্রেমে লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ মেট্রিক্সের উপাদান। যদি $O'$ ফ্রেম $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $+x$ অক্ষ বরাবর গতিশীল হয় তবে সেই বিশেষ ক্ষেত্রে তোমরা জানো যে লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ মেট্রিক্স,

$\displaystyle Lambda = \left(begin{matrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1end{matrix} \right)$ ………………… (2)

স্পষ্টতই $\gamma = 1/sqrt{1-v^2/c^2}$ এবং $\beta = v/c$ , $c$ হল আলোর বেগ।

এছাড়াও $O$ ফ্রেমে ফিল্ড টেন্সর,

$\displaystyle F^{\mu \nu} = \left(\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}\right)$

বা, $\displaystyle F= \left (begin{matrix} 0 & -E_x/c & - E_y/c & -E_z/c \ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \ E_z/c & -B_y & B_x & 0 end{matrix} \right)$ ……………(3a)

এবং $O'$ ফ্রেমে,

$\displaystyle F'^{\mu \nu} = \left(\partial'^{\mu}A'^{\nu} - \partial'^{\nu}A'^{\mu}\right)$

বা, $\displaystyle F' = \left (begin{matrix} 0 & -E'_x/c & - E'_y/c & -E'_z/c \ E'_x/c & 0 & -B'_z & B'_y \ E'_y/c & B'_z & 0 & -B'_x \ E'_z/c & -B'_y & B'_x & 0 end{matrix} \right)$ ……………(3b)

যেখানে $(E_x, E_y, E_z)$ এবং $(B_x, B_y, B_z)$ হল $O$ ফ্রেমে তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্র এবং $(E'_x, E'_y, E'_z)$ এবং $(B'_x, B'_y, B'_z)$ হল $O'$ ফ্রেমে তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্র।

অতএব (1) ও (3) নম্বর সমীকরণ থেকে,

$\displaystyle F'^{01} = -\frac{E'^1}{c} = -\frac{E'_x}{c}= Lambda^0_{\alpha} Lambda^{1}_{\beta} F^{\alpha\beta}$

বা,

$\displaystyle E'_x = -c\left[Lambda^0_0Lambda^{1}_0 F^{00}+Lambda^0_1Lambda^{1}_0F^{10}+Lambda^0_2Lambda^{1}_0F^{20}+Lambda^0_3Lambda^{1}_0F^{30}\right.$ $\left.+Lambda^0_0Lambda^{1}_1F^{01}+Lambda^0_1Lambda^{1}_1F^{11} +Lambda^0_2Lambda^{1}_1F^{21}+Lambda^0_3Lambda^{1}_1F^{31}\right.$ $\left. +Lambda^0_0Lambda^{1}_2F^{02}+Lambda^0_1Lambda^{1}_2F^{12}+Lambda^0_2Lambda^{1}_2F^{22}+Lambda^0_3Lambda^{1}_2F^{32}\right.$ $\left.+Lambda^0_0Lambda^{1}_3F^{03}+Lambda^0_1Lambda^{1}_3F^{13}+Lambda^0_2Lambda^{1}_3F^{23} +Lambda^0_3Lambda^{1}_3F^{33} \right]$

বা, $\displaystyle E'_x = -c\left( Lambda^0_1Lambda^{1}_0F^{10} + Lambda^0_0Lambda^{1}_1F^{01}\right)$ ….. [(2) ও (3) নং থেকে দেখা যায় যে বাকি সব পদ শূন্য।]

বা, $\displaystyle E'_x =-c\gamma^2(\beta^2F^{10}+F^{01})$

বা, $\displaystyle E'_x= \gamma^2(E_x - \beta^2E_x)= E_x$ ……………… (4a)

একইভাবে

$\displaystyle F'^{02} = -\frac{E'^2}{c} = -\frac{E'_y}{c}= Lambda^0_{\alpha} Lambda^{2}_{\beta} F^{\alpha\beta}$

অতএব,

$\displaystyle E'_y = -c\left[Lambda^0_0Lambda^{2}_0 F^{00}+Lambda^0_1Lambda^{2}_0F^{10}+Lambda^0_2Lambda^{2}_0F^{20}+Lambda^0_3Lambda^{2}_0F^{30}\right.$ $\left.+Lambda^0_0Lambda^{2}_1F^{01}+Lambda^0_1Lambda^{2}_1F^{11} +Lambda^0_2Lambda^{2}_1F^{21}+Lambda^0_3Lambda^{2}_1F^{31}\right.$ $\left. +Lambda^0_0Lambda^{2}_2F^{02}+Lambda^0_1Lambda^{2}_2F^{12}+Lambda^0_2Lambda^{2}_2F^{22}+Lambda^0_3Lambda^{2}_2F^{32}\right.$ $\left.+Lambda^0_0Lambda^{2}_3F^{03}+Lambda^0_1Lambda^{2}_3F^{13}+Lambda^0_2Lambda^{2}_3F^{23} +Lambda^0_3Lambda^{2}_3F^{33} \right]$

বা, $\displaystyle E'_y = -c\left( Lambda^0_0Lambda^{2}_2F^{02} + Lambda^0_1Lambda^{2}_2F^{12}\right)$ ….. [(3) ও (4) নং থেকে দেখা যায় যে বাকি সব পদ শূন্য।]

বা, $\displaystyle E'_y =-c\gamma(F^{02}-\beta F^{12})$

বা, $\displaystyle E'_y= \gamma(E_y - \beta cB_z)$ ……………….. (4b)

অনুরূপ পদ্ধতি অবলম্বন করে $F'^{03}$ এর রূপাম্তরণ থেকে দেখানো যায় যে,

$\displaystyle E'_z= \gamma(E_z + \beta cB_y)$ ……………….. (4c)

$F'^{12}$ এর রূপাম্তরণ থেকে দেখানো যায় যে,

$\displaystyle B'_z = -F'^{12} = -(Lambda^1_0Lambda^2_2 F^{02} + Lambda^1_1Lambda^2_2 F^{12}) = \gamma\left(B_z - \frac{\beta}{c}E_y\right)$ ………………(5c)

$F'^{13}$ এর রূপাম্তরণ থেকে দেখানো যায় যে,

$\displaystyle B'_y = F'^{13} = (Lambda^1_0Lambda^3_3 F^{03} + Lambda^1_1Lambda^3_3 F^{13}) = \gamma\left(B_y + \frac{\beta}{c}E_z\right)$ ………………….(5b)

$F'^{23}$ এর রূপাম্তরণ থেকে দেখানো যায় যে,

$\displaystyle B'_x = -F'^{23} = -Lambda^2_2Lambda^3_3 F^{23} = B_x$ ………………….(5a)

(4a, b, c) ও (5a, b, c) সমীকরণ তড়িৎচুম্বকিয় ক্ষেত্রের লোরেন্‍ৎস রূপান্তর প্রকাশ করে, যা ব্যবহার করে কোন একটি ইনার্শিয়াল ফ্রেমে তড়িৎচুম্বকিয় ক্ষেত্র জানা থাকলে $+x$ অক্ষ বরাবর গতিশীল অপর কোন ইনার্শিয়াল ফ্রেমে তা গণনা করা সম্ভব। এই সমীকরণগুলো থেকে এটা স্প্ষ্ট যে কোন এক ফ্রেমের তড়িৎ ক্ষেত্র অপর ফ্রেমের তড়িৎ এবং চুম্বক, এই দুই ক্ষেত্রের সাথেই সম্পর্কযুক্ত। একইভাবে কোন এক ফ্রেমের চুম্বক ক্ষেত্র অপর ফ্রেমের চুম্বক ও তড়িৎ দুই ক্ষেত্রের উপরেই নির্ভর করে।

চিত্র ১ - গতিশীল আধানের জন্য তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্র। — চিত্র ১ – গতিশীল আধানের জন্য তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্র।

এবারে আমরা তড়িৎচুম্বকিয় ক্ষেত্রের এই রূপান্তরণের একটি উদাহরণ দেব, যাতে ব্যপারটা বুঝতে সুবিধে হয়। আমাদের উদ্দেশ্য হল একটি গতিশীল আধানের জন্য যে তড়িৎ ও চুম্বকিয় ক্ষেত্র তৈরি হবে সেটা বের করা। মনে কর $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে একটি $q$ আধানবিশিষ্ট কণা $v$ বেগে $+x$ অক্ষ বরাবর গতিশীল। তাহলে আমরা বলতে পারি যে উপরের আলোচনায় বর্নিত $O'$ ফ্রেমে কণাটি স্থির। আমরা আরও ধরে নেব যে কণাটি সর্বদা $O'$ ফ্রেমের মূলবিন্দুতে অবস্থান করে এবং $t=0$ তে দুটি ফ্রেমের মূলবিন্দু একই স্থানে ছিল। ব্যাপারটি পাশের ছবিতে দেখানো হয়েছে। আমরা কোন সময় $t$ তে $P$ বিন্দুতে ফিল্ড গণনা করতে ইচ্ছুক। তাহলে $O'$ ফ্রেমের সাপেক্ষে ওই বিন্দুর অবস্থান $(x',y',z')=(-vt', y_0, 0)$ , যেখানে $y_0$ ছবিতে দেখানো দূরত্ব, যা মূলত $P$ বিন্দুর সব থেকে কাছে যখন আধানটি ছিল তখন তাদের মধ্যে ব্যবধান (distance of closest approach) । যেহেতু $O'$ ফ্রেমে আধানটি স্থির তাই ওই ফ্রেমে আধানটির দরুন কেবল তড়িৎ ক্ষেত্র তৈরি হবে, কোন চুম্বক ক্ষেত্র থাকবে না। অতএব $P$ বিন্দুতে তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্র,

$\displaystyle E'_x = \frac{q}{4pie\psilon_0 r'^2} text{cos} theta=\frac{qx'}{4pie\psilon_0 r'^3}=\frac{-qvt'}{4pie\psilon_0 r'^3} ,$
$\displaystyle E'_y = \frac{q}{4pie\psilon_0 r'^2} text{sin} theta =\frac{qy_0}{4pie\psilon_0 r'^3},$
$\displaystyle E'_z = 0, B'_x=0, B'_y = 0, B'_z = 0$

কারণ, $\displaystyle text{cos} theta = \frac{x'}{r'}, text{cos} theta = \frac{y'}{r'}$

এবারে আমরা (4) ও (5) নম্বর সমীকরণগুলো ব্যবহার করে লিখতে পারি (তোমাদের সামান্য একটু সহজ বীজগণিত প্র্যাকটিস করতে হবে এর জন্য),

$\displaystyle E_x = E'_x = -\frac{qvt'}{4pie\psilon_0 r'^3}$ ……….. (6a)

$\displaystyle E_y = \gamma E'_y = \frac{\gamma qy_0}{4pie\psilon_0 r'^3}$ …………(6b)

$\displaystyle B_z = \beta\gamma E'_y = \beta E_y,$ …………….. (6c)

$\displaystyle B_y = 0, B_x = 0, E_z = 0$ ……………………. (6d)

এই গণনার সর্বশেষ পদক্ষেপ হল $O$ ফ্রেমের স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে উপরোক্ত ফিল্ডগুলিকে লিখে ফেলা। তোমরা জানো $t'=\gamma\left(t - \frac{\beta}{c}x\right)=\gamma t$ , কারণ $O$ ফ্রেমে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x,y,z)=(0, y_0, 0)$ । এছাড়াও, $r' = sqrt{v^2t'^2 + y_0^2}=sqrt{y_0^2 + \gamma^2 v^2 t^2}$ । অতএব,

$\displaystyle E_x = -\frac{\gamma qvt}{4pie\psilon_0 (y_0^2 + \gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}$ ……….. (7a)

$\displaystyle E_y = \frac{\gamma qy_0}{4pie\psilon_0 (y_0^2 + \gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}$ …………(7b)

$\displaystyle B_z = \beta E_y,$ …………….. (7c)

$\displaystyle B_y = 0, B_x = 0, E_z = 0$ ……………………. (7d)

সুতরাং দেখা যাচ্ছে যে যদিও $O'$ ফ্রেমে আধানটির দরুন কোন চুম্বক ক্ষেত্র নেই, কিন্তু ওই ফ্রেমের তড়িৎ ক্ষেত্রের লোরেন্‍ৎস রূপান্তরের ফলে $O$ তে একটি চুম্বক ক্ষেত্র তৈরি হয়েছে। এটা হওয়াই স্বাভাবিক, কারণ আধানটি $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে গতিশীল, আর গতিশীল আধান তড়িৎ প্রবাহ সৃষ্টি করে যার দরুন একটি চুম্বক ক্ষেত্র অবশ্যই সৃষ্টি হবে। আরও একটি মজাদার বিষয় জানা যায় (7) নম্বর সমিকরণগুলি থেকে। সেটা হল $O$ ফ্রেমে তড়িৎ ক্ষেত্রের অভিমুখ। যদি এই অভিমুখ $\phi$ হয় তবে,

$\displaystyle text{tan }\phi = \frac{E_y}{E_x} = \frac{y_0}{-vt} = text{tan }theta$

বা, $\displaystyle \phi = theta$ …………….. (8)

অর্থাৎ দুটি ফ্রেমেই তড়িৎ ক্ষেত্রের অভিমুখ একই। এটা একটা বিশেষ উল্লেখযোগ্য ব্যাপার। এর মানে হল এই যে স্থির আধানের মত সমবেগে গতিশীল আধানের জন্যেও কোনো মুহূর্তে কোন বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্রের অভিমুখ সর্বদা ওই বিন্দু থেকে ওই সময়ে আধান পর্যন্ত অঙ্কিত সরলরেখা বরাবর।

তড়িৎ-চৌম্বকত্ব সম্পর্কে জানবার জন্য একটি আদর্শ উৎস হল J. D. Jackson -এর লেখা Classical Electrodynamics বই, যার লিঙ্ক এখানে দিয়েছি।
<br />

4 thoughts on “তড়িৎচুম্বকিয় ক্ষেত্রের লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ”

মিঠুন রায় says:

June 7, 2014 at 9:03 pm

যদি O কাঠামোতে পুর্বেই কোন চৌম্বক ক্ষেত্র B এর অস্তিত্ব না থাকে তাহলে কি আমরা সমীকরন 4(b) কে এভাবে লেখতে পারি
E'(y)=gamma * E(y) ?

1. admin says:
  
  June 8, 2014 at 3:38 am
  
  অবশ্যই লিখতে পার।
  
sujoy says:

July 2, 2014 at 5:03 pm

onekdin post pai naaa dada… Sob valo toh..

1. admin says:
  
  July 3, 2014 at 11:08 am
  
  হ্যা Sujoy, এমনিতে সব ভাল। আসলে একটু ব্যস্ত থাকায় পোস্ট করতে পারিনি। তবে তোমর অনুরোধটা মনে আছে, আশা করি তাড়াতাড়ি লিখতে পারব। অনেক ধন্যবাদ।

তড়িৎচুম্বকিয় ক্ষেত্রের লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ

Related

4 thoughts on “তড়িৎচুম্বকিয় ক্ষেত্রের লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ”

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

4 thoughts on “তড়িৎচুম্বকিয় ক্ষেত্রের লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ”

Leave a Reply Cancel reply