তড়িৎ-চৌম্বকত্ব – কুলম্ব ও গাউসের সূত্র

কুলম্বের সূত্র অতিপরিচিত একটি বিষয়। কোন একটি নির্দিষ্ট আধানের জন্য কোন বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র $({\bf E})$ কত হবে কুলম্বের সূত্র থেকে সেটাই পাওয়া যায়। যদি আধানের মান $q$ হয় এবং আধান থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব ${\bf r}$ ভেক্টর দিয়ে প্রকাশ করা হয় তবে কুলম্বের সূত্রের গাণিতিক রূপ হল,

$\displaystyle {\bf E} = \frac{q {\bf hat{r}}}{4pie\psilon_0 |{\bf r}|^2}=\frac{q {\bf r}}{4pie\psilon_0 |{\bf r}|^3}$ ………. ….(1)

electric field fue to conti\nuos charge distribution bengali — চিত্র ১- নিরবচ্ছিন্ন আধান বিন্যাসের জন্য তড়িৎ ক্ষেত্র।

${\bf hat{r}}$ হল ${\bf r}$ এর অভিমুখে একক ভেক্টর। বলাই বাহুল্য যে তড়িৎ ক্ষেত্রের অভিমুখ ${\bf r}$ ভেক্টর বরাবর। যদি আধানটি ধনাত্মক হয় তবে তড়িৎ ক্ষেত্র এবং ${\bf r}$ এর অভিমুখ একই, কিন্তু যদি আধানটি ঋণাত্মক হয় তবে তড়িৎ ক্ষেত্র এবং ${\bf r}$ এর অভিমুখ পরষ্পরের বিপরীত। লক্ষ কর যে উপরের সমীকরণে তড়িৎ ক্ষেত্র দূরত্বের সাথে “ইনভার্স স্কোয়ার সূত্র” মেনে চলে। এবারে কুলম্বের সূত্রের একটু জটিল রূপ আমরা দেখব। উপরের সূত্র বিন্দু আধানের জন্য প্রযোজ্য। যদি আমাদের কাছে একটি বিন্দু আধানের পরিবর্তে কিছু আধানের একটি নিরবচ্ছিন্ন বিন্যাস বা চার্জ ডিস্ট্রিবিউশন (যেমন একটি আধানবিশিষ্ট সসীম আকারের বস্তু) থাকে তবে তার জন্য তড়িৎ ক্ষেত্র কেমন হবে সেটাও কুলম্বের সূত্র ব্যবহার করে সহজেই নির্ণয় করা যায়। তবে এইরকম বস্তুর ক্ষেত্রে যে রাশিটি গুরুত্বপূর্ণ তা হল আধানের ঘনত্ব, যার অর্থ হল একক আয়তনে অবস্থিত মোট আধান। পাশের ছবিতে এইরকম একটি বস্তু দেখানো হয়েছে। $O$ হল রেফারেন্স ফ্রেমের মূল বিন্দু। মনে কর ওই আধান বিন্যাসের কোন বিন্দু $P$ এর অবস্থান ভেক্টর হল ${\bf r'}$ । ওই বিন্দুতে আধানের ঘনত্ব $rho({\bf r'})$ । আমরা $Q$ বিন্দুতে [যার অবস্থান ভেক্টর ${\bf r}$ ] ওই বস্তু বা আধান বিন্যাসের জন্য মোট তড়িৎ ক্ষেত্র নির্ণয় করতে চাই। এর জন্যে আমরা ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করব। মনে কর $P$ বিন্দুতে আমরা একটি অতি ক্ষুদ্র আয়তন $dV$ কল্পনা করছি। তবে ওই আয়তনে মোট আধান $rho({\bf r'})dV$ । অতএব ওই ক্ষুদ্র আয়তনে অবস্থিত এই আধানের দরুণ $Q$ বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র,

$\displaystyle d{\bf E} = \frac{1}{4pie\psilon_0}\frac{rho({\bf r'})({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} dV$ …………(2)

অতএব সমস্ত আধান বিন্যাসের জন্য মোট তড়িৎ ক্ষেত্র হবে,

$\displaystyle {\bf E({\bf r})} = \frac{1}{4pie\psilon_0}ii\int_V\frac{rho({\bf r'})({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} dV = \frac{1}{4pie\psilon_0}ii\int_V\frac{rho({\bf r'})({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} d^3{\bf r'}$ ……………(3)

লক্ষ্য কর যে বাদিকের ইন্টিগ্রেশনটি করা হয়েছে ${\bf r'}$ এর সাপেক্ষে। সেকারণেই আমরা $dV = d^3{\bf r'}$ লিখেছি। অতএব কোথাও আধানের ঘনত্ব $rho$ , অবস্থান ${\bf r'}$ এর উপর কিভাবে নির্ভর করে সেটা জানা থাকলে যেকোন রকম আধান বিন্যাসের জন্য মোট তড়িৎ ক্ষেত্র উপরের ইন্টিগ্রেশনটির সমাধান করে বের করা সম্ভব। তবে তড়িৎ ক্ষেত্র বের করার কাজটি অপেক্ষাকৃত সহজ করবার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি আবিষ্কার করা হয়েছে। আমরা এবারে সেরকমই একটি পদ্ধতি আলোচনা করব, যার নাম গাউসের সূত্র।

উপরের সমীকরণটির দুপাশে ${\bf r}$ এর সাপেক্ষে ডাইভারজেন্স করে,

$\displaystyle boldsymbolnabla.{\bf E({\bf r})} = \frac{1}{4pie\psilon_0}ii\int_Vrho({\bf r'})boldsymbolnabla.\frac{({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} d^3{\bf r'}$ …………… (4)

যেহেতু $rho({\bf r'})$ , ${\bf r}$ এর উপর নির্ভর করেনা, তাই উপরের সমীকরণে $rho({\bf r'})$ এর উপর ডাইভারজেন্সের কোন প্রভাব পড়েনি। মনে রাখবে যে উপরের ইন্টিগ্রেশনটি একটি ভলিউম ইন্টিগ্রাল যা পুরো আধান বিন্যাসের মোট আয়তনের উপর প্রযোজ্য।

এবারে আমরা একটি পরিচিত সূত্র ব্যবহার করব। সেটা হল যে,

$\displaystyle boldsymbolnabla.\frac{({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} = 4pidelta({\bf r- r'})$ ……………… (5)

যেখানে, বলাই বাহুল্য $delta({\bf r- r'})$ হল ত্রিমত্রিক ডেল্টা ফাংশন, যার সম্মন্ধে আমরা আগেও একাধিক পোস্টে আলোচনা করেছি। [পাঠকবৃন্দের সুবিধের জন্য ডেল্টা ফাংশনের বৈশিষ্টসমূহ ফুটনোটে দেওয়া হয়েছে।] উপরোক্ত সূত্রটি সহজেই প্রমাণ করা যায়,

$\displaystyle boldsymbolnabla.\frac{({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} =({\bf r}-{\bf r'}).boldsymbolnabla\frac{1}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} + \frac{1}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3}boldsymbolnabla.({\bf r}-{\bf r'})$

এবারে, $\displaystyle boldsymbolnabla\frac{1}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} = -3\frac{({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^5}$ ,

$\displaystyle boldsymbolnabla.({\bf r}-{\bf r'}) =3$

সুতরাং,

$\displaystyle begin {aligned} boldsymbolnabla.\frac{({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} & = -3({\bf r}-{\bf r'}).\frac{({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^5} + \frac{3}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} \ & = -3\frac{|{\bf r}-{\bf r'}|^2}{|{\bf r}-{\bf r'}|^5} + \frac{3}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} \ & = -\frac{3}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} + \frac{3}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} end{aligned}$

অতএব,

$\displaystyle begin{aligned} boldsymbolnabla.\frac{({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} & = 0, text{if } {\bf r} neq {\bf r'} \ & = text{undefined }, text{ if } {\bf r} = {\bf r'} end{aligned}$ ………… (6)

চিত্র ২ – $theta$ হল $({\bf r - r'})$ এবং $d{\bf S}$ ক্ষুদ্র তলের মধ্যে কোণ। মনে রাখবে কোন তলের অভিমুখ হল ওই তলের উপর আঁকা বহির্মুখি উল্লম্ব রেখার অভিমুখের সমান।

এটা ডেল্টা ফাংশনের একটি বৈশিষ্ট। আমরা ডেল্টা ফাংশনের আরেকটি বৈশিষ্ট এবারে প্রমাণ করব। যদি ${\bf r'}$ ভেক্টরের শীর্ষবিন্দুকে ভেতরে রেখে উপরের ছবিতে যেমন দেখানো হয়েছে তেমন $S$ তল দ্বারা আবদ্ধ একটি অঞ্চল $V$ কল্পনা করা যায়, তবে ডাইভারজেন্স তত্ব প্রয়োগ করে,

$\displaystyle begin{aligned} ii\int_V boldsymbolnabla.\frac{({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} d^3{\bf r} &= i\int_S \frac{({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3}.d{\bf S} \ & =i\int \frac{|{\bf r}-{\bf r'}|text{ cos } theta}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3}dS \ & =i\int \frac{dStext{ cos } theta}{|{\bf r}-{\bf r'}|^2} \ & =\oint dOmega \ & = 4pi end{aligned}$ …………..(7)

আরও দেখানো যায় যে যদি ${\bf r'}$ ভেক্টর দিয়ে প্রকাশিত বিন্দু ওই $V$ অঞ্চলের বাইরে থাকে তবে উপরোক্ত ইন্টিগ্রালটির মান শূন্য।

অতএব, (6) ও (7) নম্বর সমীকরণদুটি থেকে আমরা লিখতে পারি যে,

$\displaystyle boldsymbolnabla.\frac{({\bf r}-{\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^3} = 4pidelta({\bf r- r'})$

এবারে, (4) ও (5) নম্বর সমীকরণ একসাথে ব্যবহার করে,

$\displaystyle boldsymbolnabla.{\bf E({\bf r})} = \frac{1}{e\psilon_0}\int_Vrho({\bf r'})delta({\bf r- r'}) d^3{\bf r'}$

ডেল্টা ফাংশনের বৈশিষ্ট ব্যবহার করে,

$\displaystyle boldsymbolnabla.{\bf E({\bf r})} = \frac{rho({\bf r})}{e\psilon_0}$ ……………..((7)

এটাই হল গাউসের সূত্রের ডিফারেনশিয়াল রূপ। এই সূত্রটিকে অন্যভাবেও লেখা যায়। ওপরের সমীকরণের দুপাশে ভলিউম ইন্টিগ্রাল নিয়ে,

$\displaystyle \int_Vboldsymbolnabla.{\bf E({\bf r})} d^3{\bf r}= \int_V \frac{rho({\bf r})}{e\psilon_0} d^3{\bf r}$

ডাইভারজেন্স থিয়োরী ব্যবহার করে যদি $S$ তল দ্বারা $V$ আয়তন আবদ্ধ থাকে তবে,

$\displaystyle \oint_S {\bf E({\bf r})}. d{\bf S}= \int_V \frac{rho({\bf r})}{e\psilon_0} d^3{\bf r} = \frac{q}{e\psilon_0}$

$\displaystyle \oint_S {\bf E({\bf r})}. d{\bf S}=\frac{q}{e\psilon_0}$ ……………(8)

যেখানে $q = \int_V rho({\bf r}) d^3{\bf r}$ হল ওই আয়তন $V$ এর মধ্যে অবস্থিত মোট আধান। (8) নম্বর সমীকরণ হল গাউসের সূত্রের ইন্টিগ্রাল রূপ। গাউসের এই সূত্র ব্যবহার করে কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে প্রতিসম বস্তুর জন্য তড়িৎ ক্ষেত্র খুব সহজেই বের করে ফেলা যায়। এরই দুটো উদাহরণ আমরা এর পরে দেখব। তার সাথে সাথে আমরা ধারকত্ব বা ক্যাপাসিটেন্স সম্মন্ধেও কিছু জানব।

ফুটনোটঃ ডেল্টা ফাংশনের বৈশিষ্টগুলি হল,

১.
$\displaystyle begin{aligned} delta({\bf r - r'}) & = 0, text { if } {\bf r} neq {\bf r'} \ & = infty, text{ if } {\bf r} = {\bf r'} end{aligned}$

২.
$\displaystyle ii\int delta({\bf r - r'}) d^3{\bf r} = 1$

৩.
$\displaystyle ii\int f({\bf r})delta({\bf r - r'}) d^3{\bf r} = f({\bf r'})$

কুলম্ব ও গাউসের সূত্র এবং তড়িৎ চুম্বকত্ব সম্মন্ধে কেনার মত একটি বই হল Franklin এর লেখা বই যার লিঙ্ক এখানে দেওয়া হল।
<br />

তড়িৎ-চৌম্বকত্ব – কুলম্ব ও গাউসের সূত্র

Related

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

Leave a Reply Cancel reply