প্রশ্নোত্তরঃ গতিশীল ইলেকট্রন, গোলকের বিভব ও দৈর্ঘ্য সংকোচন

১. কোন গতিশীল ইলেকট্রন চৌম্বক ক্ষেত্র সৃষ্টি করে কেন?

উঃ সহজ ভাষায় বললে, গতিশীল ইলেকট্রন মানে হল গতিশীল আধান, যার আরেক নাম তড়িৎ প্রবাহ। তড়িৎ প্রবাহ চৌম্বক ক্ষেত্র সৃষ্টি করে। যেমন একটি লোহার গায়ে অন্তরিত তামার তার জড়িয়ে তার মধ্যে দিয়ে তড়িৎ প্রবাহ পাঠালে চৌম্বক ক্ষেত্র তৈরি হয়।

কিন্তু সত্যি কথা বলতে গেলে ব্যাপারটি অনেকটাই জটিল। গতিশীল আধান কেন চৌম্বক ক্ষেত্র তৈরী করে তার কারণ আপেক্ষিকতা। আপেক্ষিকতার তত্ব অনুসারে তড়িৎ ও চৌম্বকত্ব প্রকৃতপক্ষে একই মূল জিনিসের দুটি ভিন্ন রূপ মাত্র। সেই মূল বিষয়টি হল তড়িৎ-চুম্বকীয় ক্ষেত্র যা মূলত একটি $4times 4$ টেন্সর (উল্লেখ্য যে তড়িৎ ও চৌম্বক ক্ষেত্র হল ভেক্টর)। আধানের সাথে দর্শকের আপেক্ষিক গতির উপর নির্ভর করে সে তড়িৎ ক্ষেত্র দেখবে না চৌম্বক ক্ষেত্র দেখবে। তুমি যদি ইলেকট্রনটির সাথে একই বেগে গতিশীল থাক তবে তুমি শুধু ওর জন্য কেবল একটি তড়িৎ ক্ষেত্র দেখতে পাবে। অপরপক্ষে তোমার সাপেক্ষে যদি ইলেকট্রনটি গতিশীল থাকে তবে তুমি চৌম্বক ক্ষেত্রও দেখবে। এটা আপেক্ষিকতার পরিণাম। অধিক জানতে হলে আমাদের আপেক্ষিকতা সংক্রান্ত পোস্টগুলি দেখতে পার।

২. কোন বস্তু দৈর্ঘ্য বরাবর আলোর বেগের কাছাকাছি বেগে গেলে কেন শুধু দৈর্ঘ্য সংকোচন হয়, প্রস্থ সংকোচন কেন হয় না?

উঃ কারণ বস্তুর গতিবেগ কেবল ওর দৈর্ঘ্য বরাবর। প্রস্থ বরাবর ওর কোন গতি নেই। দৈর্ঘ্য সংকোচন ও সময় প্রসারণ প্রকৃতপক্ষে হয় যাতে আলোর বেগ সমস্ত ইনার্শিয়াল রেফারেন্স ফ্রেমে একই থাকে। আলোর বেগ সমস্ত জড় প্রসঙ্গ কাঠামোতে (inertial reference frame) একই রাখতে গিয়ে দেখা গেল যে সময় ও স্থান এক ফ্রেম থেকে অপর ফ্রেমে গেলে লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের সমীকরণ মেনে চলে। যদি $O'$ ফ্রেম $O$ ফ্রেমের সাপেক্ষে $v$ বেগে $x$ অক্ষ বরাবর গতিশীল হয় তবে লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের সমীকরণ,

$\displaystyle x' = \frac{x-vt}{sqrt{1-v^2/c^2}}, y'=y, z'=z, t'=\frac{t-vx/c^2}{sqrt{1-v^2/c^2}}$

যেখানে $c$ হল আলোর বেগ। দেখ যে $x$ অক্ষ বরাবর গতির জন্য $y$ ও $z$ অক্ষ বরাবর কোন রকম পরিবর্তন হয়নি। এই জন্যেই দৈর্ঘ্য বরাবর গতির জন্য কেবল দৈর্ঘ্য সংকোচনই হয়।

৩. কোন গোলাকার বলয়ের ভেতরে বিভব কেন ওর পৃষ্ঠের বিভবের সমান হয়? ওর ভেতরে তড়িৎ ক্ষেত্র শূন্য কেন?

উঃ গোলকার বলয়ের ভেতরে তড়িৎ ক্ষেত্র শূন্য কেন হয় তা গাউসের সূত্র ব্যবহার করে বুঝতে পারা যায়। গাউসের সূত্র হল,

$\displaystyle \int_S {\bf E}. d{\bf S} = \frac{q}{e\psilon_0}$

যেখানে বাদিকের রাশিমালা হল কোন আবদ্ধ তলের $(S)$ মধ্যে দিয়ে অতিক্রান্ত মোট ফ্লাক্স বা বলরেখা। আর $q$ হল ওই তলের দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের মোট আধান। ${\bf E}$ হল তড়িৎ ক্ষেত্র।

চিত্র ১- গোলাকার বলয় (নিরবচ্ছিন্ন রেখা) ও গাউসিয়ান তল।

গোলকের প্রতিসমতার থেকে এটা বোঝা যায় যে $R$ ব্যাসার্ধের গোলকের ভেতরে কেন্দ্র থেকে কোন নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের $(r_i)$ গোলাকার একটি তল বা সারফেসের $(S_i)$ প্রত্যেক বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্রের মান $(E_i)$ সমান ও কেন্দ্রমুখি হবে। তাহলে ওই গোলাকার তলের মধ্যে দিয়ে যে পরিমান তড়িৎ বলরেখা বা ফ্লাক্স বাইরে বেরোবে তার পরিমান $\displaystyle E.4pi r_i^2$ । যেহেতু এই কাল্পনিক গোলাকার তলের দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলে কোন আধান নেই তাই গাউসের সূত্র প্রয়োগ করে,

$\displaystyle E_i.4pi r_i^2 = 0 implies E_i =0$

অর্থাৎ গোলাকার বলয়ের ভেতরে যেকোন বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র শূন্য। আর সেকারনেই ওই বলয়ের ভেতরে প্রত্যেক বিন্দুতে বিভব সমান হবে (কারণ স্থানের সাথে বিভব পরিবর্তনের হারই তড়িৎ ক্ষেত্র)। এবারে চল গাউসের সূত্র ব্যবহার করে গোলকের বাইরে কোথাও তড়িৎ ক্ষেত্র নির্ণয় করা যাক। স্পষ্টতই গোলকের প্রতিসম আকারের জন্য গোলকের বাইরেও নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের $(r_o)$ কোন কাল্পনিক গোলাকার তলের $(S_o)$ উপর প্রত্যেক বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্রের মান $(E_o)$ সমান ও কেন্দ্রমুখি হবে। কিন্তু এক্ষেত্রে যেহেতু ওই কাল্পনিক গোলকের $(S_o)$ ভেতরে মোট আধান গোলাকার বলয়ের মোট আধানের সমান, তাই ওই কাল্পনিক গোলকের উপর গাউসের সূত্র প্রয়োগ করে,

$\displaystyle E_o.4pi r_o^2 = \frac{q}{e\psilon_0} implies E_o =\frac{q}{4pi e\psilon_0 r_o^2}$

গোলকের বাইরে কোথাও বিভব যদি $V$ হয় তবে, $\displaystyle E_o = -\frac{dV}{dr_o}$ । সুতরাং $\displaystyle V = \frac{q}{4pi e\psilon_0 r_o}$ । যদি $r_o = R$ হয়, অর্থাৎ গোলকের পৃষ্ঠতলে বিভব $\displaystyle =\frac{q}{4pi e\psilon_0 R}$ । আবার যেহেতু আগেই প্রমানিত হয়েছে যে গোলকের ভেতরে সর্বত্র বিভব সমান তাই গোলকের ভেতরেও বিভব হবে $\displaystyle =\frac{q}{4pi e\psilon_0 R}$ ।