প্রশ্নোত্তরঃ পৃথিবীর মধ্যে দিয়ে সুরঙ্গ কেটে একটি পাথর ফেললে কি হবে?

উঃ– পাথরটি ওই সুরঙ্গের এক প্রান্ত থেকে অপর প্রান্তে দুলতে থাকবে। এটা খুব সহজেই অংক কষে দেখানো যায়। মনে কর পৃথিবী পৃষ্ঠের কোন বিন্দু থেকে পৃথিবীর কেন্দ্রের মধ্যে দিয়ে অতিক্রান্ত এমন একটি সুরঙ্গ কাটা হল যা পৃথিবীর অপর প্রান্তে পৌঁছেছে। ওই সুরঙ্গের এক প্রান্তে একটি ভরের পাথর ফেলা হল। যদি কোন মুহূর্ত তে ওই পাথরের দূরত্ব পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে হয় তবে ওই সময় পাথরের গতির সমীকরণ হল,

………………………..(1)

এখানে, হল সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক এবং হল পৃথিবীর ভেতরের ব্যাসার্ধের একটি গোলকের ভর (১ নং ছবিতে ড্যাশ দিয়ে আঁকা রেখার মাধ্যমে যা দেখানো হয়েছে)। মনে রাখবে ওই মুহূর্তে ব্যাসার্ধের গোলকের বাইরের অংশে অবস্থিত ভরের ফলে কোন মহাকর্ষ বল পাথারটির উপর কাজ করবে না (গাউসের সূত্র)। বলাই বাহুল্য যে উপরোক্ত সমীকরণে বাতসের দরুন বাধা সম্পূর্ণ বাদ দেওয়া হয়েছে। এবারে চল এর মান নির্ণয় করা যাক। মনে কর পৃথিবীর মোট ভর এবং ব্যাসার্ধ । অতএব পৃথিবীর গড় ঘনত্ব

……………………………(2)

আমরা ধরে নিয়েছি যে পৃথিবীর সর্বত্র ঘনত্ব সমান। কোন ভূবিজ্ঞানী এই কথাটি শুনলে আঁতকে উঠে হার্টফেল করতে পারেন! কিন্তু আমরা পদার্থবিজ্ঞান পড়ছি, এবং প্রদত্ত সমস্যাকে একটু সহজ করার জন্য আমরা অনেক সময়ই অনেক কিছু ধরে নেই, যা বাস্তবের থেকে কিছুটা হলেও আলাদা হতে পারে (যেমন একটি গরুকে গোলক হিসেবে কল্পনা করা!)। তবে প্রসঙ্গত বলে রাখছি যে, যদি এটা ধরে নেওয়াও হয় যে পৃথিবীর ঘনত্ব সর্বত্র সমান নয়, তাহলেও এই অংকটি করা যায়; কিন্তু সেক্ষেত্রে গণনা অনেকটা কঠিন হয়ে যাবে, যা করতে হলে কম্পিউটারের সাহায্য প্রয়োজন হয়।

অতএব, পৃথিবীর ভেতরের ব্যাসার্ধের গোলকের ভর হবে,

………………… (3)

সুতরাং, (1) নং সমীকরণ থেকে,

……………………..(4)

যেখানে হল একটি ধ্রুবক। স্পষ্টতই (4) নং সমীকরণ হল সরল দোলগতির সমীকরণ। তার মানে ওই সুরঙ্গের মধ্যে দিয়ে পাথরটির গতি সরল দোলেকের মত হবে। যেহেতু সময়ে পাথরটিকে সুরঙ্গের মধ্যে ফেলা হয়েছে, তাই হলে । অতএব, ওই সমীকরণের সমাধান হল,

……………….. (5)

এর মানে হল যে পাথরটি সুরঙ্গের মধ্যে দিয়ে পৃথিবীর একপ্রান্ত থেকে অপর প্রান্ত পর্যন্ত দুলতে থাকবে। যদি ওই পাথরের উপর কোন ঘর্ষণ বল কাজ না করে তবে তা চিরকাল ওই সুরঙ্গের মধ্যে দিয়ে পৃথিবীর একপ্রান্ত থেকে অপরপ্রান্ত পর্যন্ত সরল দোলগতি সম্পন্ন করবে। তোমরা সহজেই সুরঙ্গের একপ্রান্ত থেকে অপর প্রান্তে পৌঁছাতে ওই পাথরটির কত সময় লাগে তা নির্ণয় করতে পার। সরল দোলকের পর্যায়কাল হলে,

……………..(6)

যেখানে, হল পৃথিবীপৃষ্ঠে অভিকর্ষের ফলে ত্বরণ।

, ,

এই মান গুলি (6) নং সমীকরণে বসিয়ে দেখা যায় যে একটি পূর্ণ দোলনে মোট সময় লাগে প্রায় এক ঘন্টা পচিশ মিনিট। অর্থাৎ একপ্রান্ত থেকে অপর প্রান্তে পৌঁছাতে যে সময় লাগবে তা হবে প্রায় 42 মিনিট। তবে বাতাসের দরুন পাথরটির উপর যে বাধা কাজ করবে তা হিসেবের মধ্যে নিলে (খানিক জটিল গণনার পরে) দেখা যায় যে অনেকটাই বেশি সময় লাগবে একপ্রান্ত থেকে অপরপ্রান্তে পৌঁছাতে।

মজাদার ব্যাপার হল যে যদি সুরঙ্গটি পৃথিবীর কেন্দ্রের মধ্যে দিয়ে নাও যায়, তবুও ওই সুরঙ্গের মধ্যে দিয়ে একপ্রান্ত থেকে অপরপ্রান্তে পৌঁছাতে পাথরটির সেই একই সময় লাগবে। এটাও একটি ছোট্ট অংক করে দেখানো যায়। ২ নং ছবিতে এইরকম একটি সুরঙ্গ দেখানো হয়েছে। কোন মুহূর্তে সুরঙ্গের মধ্যবিন্দু থেকে পাথরটির দূরত্ব এবং পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে ওর দূরত্ব হলে, ওর গতির সমীকরণ,

……………..(7)

স্পষ্টতই, এবং আগের মতই ।

অতএব গতির সমীকরণ,

………………. (8)

সুতরাং, পাথরটির দোলনের পর্যায়কাল,

……………..(9)

যা আগের ক্ষেত্রে পৃথিবীর কেন্দ্রের মধ্যে দিয়ে অতিক্রান্ত সুরঙ্গের ক্ষেত্রে পর্যায়কালের সমান। অভিকর্ষ ক্ষেত্রে বস্তুর গতি এবং ক্লাসিক্যাল গতিবিদ্যা সম্মন্ধে আরও জানতে হলে তোমাদের অবশ্যই পড়তে হবে Resnick ও Halliday -এর লেখা এই বইটি।