স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রের কার্ল, স্কেলার পোটেনশিয়াল ও পোয়াসোঁ সমীকরণ

গাউসের সূত্র থেকে স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স সম্মন্ধে জানা যায়। আলোচনার সুবিধের জন্য আমি কার্তেজিয়ান স্থানাঙ্কে গাউসের সূত্রটিকে ভেঙ্গে লিখছিঃ

$\displaystyle boldsymbol{nabla}.{\bf E} = \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=\frac{rho({\bf r})}{e\psilon_0}$ …………… (1)

যেখানে স্পষ্টতই $E_x, E_y$ এবং $E_z$ হল তড়িৎ ক্ষেত্র ${\bf E}$ এর কার্তেজিয় উপাদানসমূহ। $rho({\bf r})$ হল ${\bf r} = (x,y,z)$ বিন্দুতে আধান ঘনত্ব এবং $e\psilon_0$ হল শূন্যস্থানের তড়িৎ ভেদনযোগ্যতা (permittivity)। একটু ভাল করে লক্ষ্য করলে বুঝতে পারবে যে (1) নম্বর সমীকরণে অজানা রাশি হল তিনটি – তড়িৎ ক্ষেত্রের তিনটি উপাদান; অথচ সমীকরণ হাতে রয়েছে মাত্র একটি। কাজেই ওই একটি সমীকরণ ব্যবহার করে আমরা (কেবল কিছু বিশেষ অবস্থা ব্যাতীত) তড়িৎ ক্ষেত্র সম্পূর্ণভাবে বের করতে পারি না। তোমরা যদি ভেক্টর ক্যালকুলাস পড়ে থাকে তবে তোমরা হয়তো জানো যে কোন ভেক্টর ফিল্ডকে পুরোপুরি প্রকাশ করতে গেলে ওর ডাইভারজেন্স ও কার্ল দুটোই প্রয়োজন। সুতরাং আমাদের এবারে স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রের কার্ল জানতে হবে। কুলম্বের সূত্র থেকে,

$\displaystyle {\bf E(r)} = \frac{1}{4pie\psilon_0}ii\int_V rho({\bf r'})\frac{{\bf r - r'}}{|{\bf r - r'}|^3} d^3r'$ ……………………….(2)

এবারে আরও একটি বিষয়ের পুনরোল্লেখ করা যাক,

$\displaystyle boldsymbol{nabla} \left(\frac{1}{|{\bf r - r'}|}\right) = - \frac{{\bf r - r'}}{|{\bf r - r'}|^3}$ …………………….(3)

বলা বাহুল্য যে উপরোক্ত সমীকরণের গ্র্যাডিয়েন্ট ${\bf r}$ ভেক্টরের সাপেক্ষে নেওয়া হয়েছে। মনে রাখবে যে $\displaystyle \left(\frac{1}{|{\bf r - r'}|}\right)$ কিন্তু একটি স্কেলার রাশি। এবারে (2) ও (3) নম্বর সমীকরণদুটো ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি যে,

$\displaystyle {\bf E(r)} = -\frac{1}{4pie\psilon_0}ii\int_V rho({\bf r'})boldsymbol{nabla} \left(\frac{1}{|{\bf r - r'}|}\right) d^3r'$

যেহেতু ইন্টিগ্রেশন করা হয়েছে ${\bf r'}$ -এর সাপেক্ষে এবং গ্র্যাডিয়েন্ট নেওয়া হয়েছে ${\bf r}$ ভেক্টরের সাপেক্ষে, তাই আমরা গ্র্যাডিয়েন্ট অপারেটরকে ইন্টিগ্রেশনের বাইরে নিয়ে লিখতে পারি,

$\displaystyle begin{aligned} {\bf E(r)} & = -\frac{1}{4pie\psilon_0}boldsymbol{nabla}ii\int_V \frac{rho({\bf r'})}{|{\bf r - r'}|} d^3r' \ & = -boldsymbolnabla \phi end{aligned}$ ………………………(4)

যেখানে,

$\displaystyle \phi = \frac{1}{4pie\psilon_0}ii\int_V \frac{rho({\bf r'})}{|{\bf r - r'}|} d^3r'$ হল একটি স্কেলার ফাংশন। এই স্কেলার রাশিটিকে বলা হয় স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রের স্কেলার পোটেনশিয়াল।

(4) নম্বর সমীকরণটির উভয় পাশে ${\bf r}$ এর সাপেক্ষে কার্ল নিয়ে,

$\displaystyle boldsymbol{nabla} times {\bf E(r)} = - boldsymbol{nabla} timesboldsymbolnabla \phi = 0$ ………………. (5)

(কারণ ভেক্টর ক্যালকুলাস থেকে তোমরা জানো যে কোন স্কেলার ফাংশনের উপর গ্র্যাডিয়েন্ট অপারেটর প্রয়োগ করলে যে ভেক্টর পাওয়া যায় তার কার্ল শূন্য হয়। The curl of the gradient of a scalar function is zero.) অতএ়ব স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য। এইরকম ফিল্ড বা ক্ষেত্রকে বলা হয় কনজার্ভেটিভ (conservative field) ক্ষেত্র। এবারে স্কেলার পোটেনশিয়ালের তাৎপর্য একটু ব্যাখ্যা করছি। ধর ${\bf E}$ তড়িৎ ক্ষেত্রে $q$ মানের একটি আধান রয়েছে। আধানটিকে সরিয়ে A থেকে B বিন্দুতে নিয়ে যেতে হলে যে পরিমান কাজ করতে হবে সেটা আমরা নির্ণয় করতে চাই। স্পষ্টতই তড়িৎ ক্ষেত্রের দরুন ওই আধানের উপর যে বল কাজ করছে তার মান হল ${\bf F} = q{\bf E}$ । অতএব আধানটিকে A থেকে B বিন্দুতে নিয়ে যেতে হলে যে পরিমান কাজ করতে হবে তার মান,

work done in moving a charge from A to B in electric field E — চিত্র ১ – $q$ আধানটিকে স্থির তড়িৎ ক্ষেত্র ${\bf E}$ এর মধ্যে দিয়ে A থেকে B বিন্দুতে নিয়ে যাওয়া হচ্ছে। $d{\bf l}$ হল আধানের ক্ষুদ্র সরণ এবং ${\bf F}$ হল তড়িৎ ক্ষেত্রের দরুন আধানের উপর বল।

চিত্র ১ – $q$ আধানটিকে স্থির তড়িৎ ক্ষেত্র ${\bf E}$ এর মধ্যে দিয়ে A থেকে B বিন্দুতে নিয়ে যাওয়া হচ্ছে। $d{\bf l}$ হল আধানের ক্ষুদ্র সরণ এবং ${\bf F}$ হল তড়িৎ ক্ষেত্রের দরুন আধানের উপর বল।

$\displaystyle W = -\int_A^B q{\bf E}.d{\bf l}$ …………..(6)
[ঋণাত্মক চিহ্নের কারণ এখানে বাইরে থেকে আধানটির উপর তড়িৎ ক্ষেত্রের প্রভাবের বিরূদ্ধে কাজ করা হচ্ছে। যদি আধানটির উপর তড়িৎ ক্ষেত্র দ্বারা কৃতকার্যের পরিমান বের করতে হত তবে উপরোক্ত সমীকরণে ওই ঋণাত্মক চিহ্ন থাকতো না।]

$d{\bf l}$ হল আধানের অতিক্ষুদ্র সরণ। (4) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে,

$\displaystyle begin{aligned} W &= q\int_A^B boldsymbolnabla \phi.d{\bf l} \ & = q\int_A^B d\phi \ & = q(\phi_B - \phi_A) end{aligned}$ ……………..(7)
[বিঃদ্রঃ – $boldsymbolnabla \phi.d{\bf l} = \frac{\partial\phi}{\partial x}dx+\frac{\partial\phi}{\partial y}dy+\frac{\partial\phi}{\partial z}dz = d\phi$ ]

$\phi_B$ এবং $\phi_A$ হল যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে স্কেলার পোটেনশিয়াল। অর্থাৎ কোন একক আধানকে এক বিন্দু থেকে অপর বিন্দুতে নিয়ে গেলে যে পরিমান কাজ করতে হবে বা যে পরিমান শক্তি খরচ হবে তার মান হচ্ছে ওই দুটি বিন্দুর স্কেলার পোটেনশিয়ালের পার্থক্যের সমান। সুতরাং স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রে $q$ মানের কোন আধানের স্থিতিশক্তি বা পোটেনশিয়াল এনার্জি হল মূলত $q\phi$ । (7) নম্বর সমীকরণ থেকে আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় জানা যায় – স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রে কোন আধানকে এক বিন্দু থেকে অপর কোন বিন্দুতে নিয়ে যেতে হলে যে কাজ করতে হবে তার মান শুধু মাত্র ওই দুটি প্রান্তিক বিন্দুর স্থিতিশক্তির উপর নির্ভর করে, কোন পথে আধানটিকে নিয়ে যাওয়া হচ্ছে তার উপর নয়। এটাই হল কনজার্ভেটিভ ক্ষেত্রের (conservative field) বৈশিষ্ট। স্বভাবতই তড়িৎ ক্ষেত্রে আধানটিকে A বিন্দু থেকে নিয়ে পুরো বিশ্বব্রহ্মান্ড ঘুরিয়ে যদি পুনরায় A বিন্দুতে ফিরিয়ে নিয়ে আসা হয় তাহলে মোট কাজের পরিমান হবে শূন্য। অর্থাৎ আবদ্ধ পথের জন্য,

$\displaystyle \oint {\bf E}.d{\bf l} = 0$ ………………(8)

চিত্র ২ - স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রে কোন আবদ্ধ পথে আধানকে একটি পূর্ণ আবর্তন করাতে মোট কাজের পরিমান শূন্য। — চিত্র ২ – স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রে কোন আবদ্ধ পথে আধানকে একটি পূর্ণ আবর্তন করাতে মোট কাজের পরিমান শূন্য।

(8) নম্বর সমীকরণটিকে আমরা আরও একরকমভাবে আহরণ করতে পারি। মনে কর স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রে $C$ একটি বক্ররেখা যা $S$ তলকে আবদ্ধ করে রেখেছে। তবে স্টোকের সূত্র প্রয়োগ করে,

$\displaystyle begin{aligned} \oint_C {\bf E}.d{\bf l} &= i\int_S \left( boldsymbol{nabla}times {\bf E} \right).d{\bf S} \ & = 0 end{aligned}$ [কারণ $boldsymbol{nabla}times {\bf E}=0$ ।]

(6) ও (7) থেকে আরও দেখা যাচ্ছে যে,

$\displaystyle \int_A^B {\bf E}.d{\bf l}= -(\phi_B - \phi_A)$ ………………(9)

সবশেষে (1) ও (4) নম্বর সমীকরণদুটো থেকে আমরা লিখতে পারি,

$\displaystyle begin{aligned} & boldsymbol{nabla}.{\bf E} = \frac{rho}{e\psilon_0} \ &text{or }-boldsymbol{nabla}.boldsymbol{nabla}\phi = \frac{rho}{e\psilon_0} \ &text{or }nabla^2 \phi = - \frac{rho}{e\psilon_0} end{aligned}$ …………………(10)

এটাই হল পোয়াসোঁ সমীকরণ। এই সমীকরণের সমাধান করে আমরা কোন অঞ্চলে আধনের ঘনত্ব জানা থাকলে সেখানে পোটেনশিয়ালের মান বের করতে পারি। তবে তার জন্য আমাদের “বাউন্ডারী শর্ত (boundary conditions)” জানতে হবে। এই সম্মন্ধে আমরা পরে আলোচনা করব। যদি কোন অঞ্চলে আধানের ঘনত্ব $rho$ শূন্য হয় তবে,

$\displaystyle nabla^2 \phi = 0$ ……………………(11)

এটা অতিপরিচিত ল্যাপলাসের সমীকরণ নামে। শুধু স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রের জন্য নয়, পদার্থবিদ্যার আরও নানা স্থানে এই সমীকরনটিকে দেখা যায়। মনে হয় এটা প্রকৃতির একটি খুবই পছন্দের সমীকরণ। এর পরের পোস্টগুলিতে আমরা কিভাবে পোয়াসোঁ সমীকরণের সমাধান করা যায় সে সম্মন্ধে আলোচনা করব। তদবধি ভালো থেকো। ভাল লাগলে মন্তব্য ও শেয়ার করতে ভুলোনা। ও হ্যাঁ, একটি প্রয়োজনীয় বইয়ের লিঙ্ক দিয়ে দিচ্ছি।

<br />

স্থির তড়িৎ ক্ষেত্রের কার্ল, স্কেলার পোটেনশিয়াল ও পোয়াসোঁ সমীকরণ

Related

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

Leave a Reply Cancel reply