ডিরাকের সমীকরণ – আহরণ

এর আগের পোস্টের আলোচনা থেকে পরিষ্কার যে ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ রিলেটিভিস্টিক কণা যেমন ইলেক্ট্রন, প্রোটন ইত্যাদি, যাদের প্রবাবিলিটির ঘনত্ব ধনাত্মক, তাদের সঠিক কোয়ান্টাম মেকানিস্ক হতে পারেনা। আমরা দেখেছি যে ওই সমস্ত কণার সঠিক রিলেটিভিস্টিক সমীকরণে সময় ও স্থান উভয়ের সাপেক্ষেই ওয়েভ ফাংশনের ডেরিভেটিভ প্রথম ক্রমের হতে হবে। সেরকম একটি সমীকরণ বের করার জন্য ডিরাক একটি চমৎকার পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন। তিনি রিলেটিভিস্টিক শক্তির সমীকরণ $E^2 -p^2c^2 -m^2c^4=0$ এর বামপাশের রাশিমালাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেন যাতে যে উৎপাদক দুটি পাওয়া যায় তাদের প্রত্যেকের মধ্যে $E$ ও $p$ একঘাত বিশিষ্ট হয়। তাহলে তাদের অপারেটর ব্যবহার করে যে সমীকরণ পাওয়া যাবে সেটাতেও সময় ও স্থান উভয়েরই প্রথম ডেরিভেটিভ থাকবে। চল ব্যাপারটিকে প্রত্যক্ষ্য করা যাক।

$\displaystyle E^2 - p^2c^2 - m^2c^4 = 0 implies \frac{E^2}{c^2} -p^2 -m^2c^2=0$

বা, $\displaystyle p_0^2 -p_1^2 -p_2^2 -p_3^2 -m^2c^2 =0$ …………………(1) যেহেতু $p_0 = E/c$

বা, $\displaystyle p^{\mu}p_{\mu} - m^2c^2 =0, \mu = 0, 1, 2, 3$ ………………….. (2)

এবারে (2) নং সমীকরণের বাদিকের রাশিমালাকে আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব। মনে কর কিছু $\gamma^{\mu}$ এবং $\beta^{\mu}$ এর জন্যে,

$\displaystyle p^{\mu}p_{\mu} - m^2c^2 = (\beta^{\mu}p_{\mu}+mc)(\gamma^{\nu}p_{\nu}-mc)$ ……………….(3)

বা, $\displaystyle p_0^2 -p_1^2 -p_2^2 -p_3^2 -m^2c^2 = \beta^{\mu}\gamma^{\nu}p_{\mu}p_{\nu} -mc\beta^{\mu}p_{\mu}+mc\gamma^{\nu}p_{\nu}- m^2c^2$ ……………(4)

দেখ যে বাদিকের রাশিমালাতে কোন একঘাত বিশিষ্ট পদ নেই। সেজন্য ডানদিকের রাশিমালাতেও একঘাত বিশিষ্ট পদগুলিকে না থাকতে হলে $\beta^{\mu} = \gamma^{\nu}$ হতে হবে, কারণ তাহলেই $mc\gamma^{\nu}p_{\nu} = mc\beta^{\mu}p_{\mu}$ । অতএব,

$\displaystyle p_0^2 -p_1^2 -p_2^2 -p_3^2 -m^2c^2 = (\gamma^{\mu}p_{\mu}+mc)(\gamma^{\nu}p_{\nu}-mc) = \gamma^{\mu}\gamma^{\nu}p_{\mu}p_{\nu} - m^2c^2$ …………… (5)

বা,

$\displaystyle p_0^2 -p_1^2 -p_2^2 -p_3^2 -m^2c^2 = (\gamma^0)^2p_0^2 +(\gamma^1)^2p_1^2 + (\gamma^2)^2p_2^2 +(\gamma^3)^2p_3^2 +(\gamma^0\gamma^1+\gamma^1\gamma^0)p_0p_1 + (\gamma^0\gamma^2+\gamma^2\gamma^0)p_0p_2 +(\gamma^0\gamma^3+\gamma^3\gamma^0)p_0p_3 + (\gamma^1\gamma^2+\gamma^2\gamma^1)p_1p_2 + (\gamma^1\gamma^3+\gamma^3\gamma^1)p_1p_3 + (\gamma^2\gamma^3+\gamma^3\gamma^2)p_2p_3 -m^2c^2$ …………… (6)

এবারে দেখ যে বাদিক ও ডানদিকের রাশিমালা সমান হতে গেলে স্পষ্টতই,

$\displaystyle (\gamma^0)^2 = 1, (\gamma^1)^2 = (\gamma^2)^2= (\gamma^3)^2=-1$ ……….(7)

এবং

$\displaystyle (\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}+\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}) = 0$ যদি $\mu neq \nu$ ……………… (8)

বুঝতেই পারছ, $\gamma$ গুলো যদি সাধারণ সংখ্যা (বাস্তব বা জটিল) হয় তবে (7) ও (8) নং শর্তদুটি একসাথে কখওনই সত্যি হতে পারেনা। কারণ, যদি প্রথম শর্ত সত্যি হতে হয় তবে $\gamma^0 = 1, \gamma^1 = \gamma^2 = \gamma^3 = i$ । কিন্তু তাহলে (8) নং সমীকরণে প্রদত্ত শর্ত সিদ্ধ হচ্ছেনা। অতএব এটা পরিষ্কার যে $\gamma$ সাধারণ সংখ্যা নয়। ওই দুটো শর্ত একসাথে সিদ্ধ হতে পারে কেবল তখওনই যদি $\gamma$ গুলো $ntimes n$ এর এমন মেট্রিক্স হয় যাতে করে,

$\displaystyle (\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}+\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}) = 2eta^{\mu\nu}I$

বা, $\displaystyle {\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}} = 2eta^{\mu\nu}I$ …………..(9)

যেখানে ${\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}} =(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}+\gamma^{\nu}\gamma^{\mu})$ হল $\gamma^{\mu}$ এবং $\gamma^{\nu}$ এর অ্যান্টিকমিউটেটর এবং $eta^{\mu\nu}$ হল মেট্রিক টেন্সর
$\displaystyle eta=\left(begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 end{matrix}\right)$ -এর উপাদান। $I$ হল $ntimes n$ মাত্রার অভেদক (identity) মেট্রিক্স।

স্পষ্টতই, $nneq 1$ । কারণ, $1 times1$ এর মেট্রিক্স একটি সাধারণ সংখ্যা বা স্কেলার ছাড়া আর কিছুই নয়। ডিরাক দেখিয়েছিলেন যে $n$ এর ন্যূনতম মান হতে পারে $4$ । কিভাবে? সেটা এর পরের পোস্টে আলোচনা করব। তার আগে চল আমরা এটা মেনে নেই যে $4times 4$ মাত্রার $\gamma^{\mu}$ মেট্রিক্সগুলোর বাস্তবে অস্তিত্ত্ব রয়েছে। তার মানে এই মেট্রিক্সগুলো ব্যবহার করে আমরা $\displaystyle (p^{\mu}p_{\mu} - m^2c^2)$ -কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি। অতএব, (2) ও (5) নং সমীকরণের সাহায্য নিয়ে আমরা লিখতে পারি যে,

$\displaystyle (\gamma^{\mu}p_{\mu}+mc)(\gamma^{\nu}p_{\nu}-mc)=0$ ………..(10)

উপরোক্ত সমীকরণের যেকোন সমাধানই হল ডিরাকের সমীকরণ। সাধারণত (10) নং সমীকরণের দ্বিতীয় উৎপাদকটিকেই ডিরাকের সমীকরণ হিসেবে ব্যবহার করা হয়। অতএব ওই উৎপাদককে কোয়ান্টাইজ করে বা অপারেটর ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি,

$\displaystyle (i\hbar\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-mc)\psi=0$ ……….. (11)

এটাই বিখ্যাত ডিরাকের সমীকরণ,

বলাই বাহুল্য, $\partial_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, \partial_0 = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \partial_1 = \frac{\partial}{\partial x} ...etc$ ।

ডিরাকের সমীকরণের একটি অতি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল যে যেহেতু $\gamma^{\mu}$ মেট্রিক্সগুলো $4times 4$ এর মেট্রিক্স, তাই অতি অবশ্যই ওয়েভ ফাংশন $\psi$ একটি $4times 1$ এর স্তম্ভ বা কলাম মেট্রিক্স। নাহলে (11) নং সমীকরণ অর্থহীন। এইরকম $4times 1$ এর স্তম্ভ বা কলাম মেট্রিক্স, যা ডিরাকের সমীকরণের সমাধাণ, তাদের বলা হয় বাই-স্পিনর।

$\displaystyle \psi = \left(begin{matrix} \psi_1 \ \psi_2 \ \psi_3 \ \psi_4 end{matrix}\right)$

উল্লেখ্য যে এই বাই-স্পিনর দেখতে ফোর ভেক্টরের মত হলেও এরা লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের ফলে ফোর ভেক্টরের মত আচরণ করেনা। অর্থাৎ মোদ্দা কথা হল, বাই-স্পীনর ফোর ভেক্টর নয়। মনে রাখবে যে এই বাই-স্পিনরের প্রত্যেকটি উপাদান কিন্তু এককভাবে ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ মেনে চলে। (11) নং সমীকরণকে বাদিক থেকে $(i\hbar\gamma^{\nu}\partial_{\nu}+mc)$ অপারেটর দিয়ে গুণ করে,

$\displaystyle (i\hbar\gamma^{\nu}\partial_{\nu}+mc)(i\hbar\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-mc)\psi=0$

বা, $\displaystyle -\hbar^2 \gamma^{\nu}\gamma^{\mu}\partial_{\nu}\partial_{\mu}\psi-m^2c^2\psi = 0$

বা, $\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2}(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}+\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}\partial_{\nu}\partial_{\mu})\psi -m^2c^2\psi = 0$ ……………….(12)

যেহেতু, $\partial_{\nu}\partial_{\mu}=\partial_{\mu}\partial_{\nu}=\partial^2_{\mu\nu}$ , তাই (12) নং থেকে,

$\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2}(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}+\gamma^{\nu}\gamma^{\mu})\partial^2_{\mu\nu}\psi -m^2c^2\psi = 0$

অতএব, $\gamma$ মেট্রিক্সের বৈশিষ্ট ব্যবহার করে,

$\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2}2.eta^{\mu\nu}.I.\partial^2_{\mu\nu}\psi - m^2c^2\psi =0$

বা, $\displaystyle \left(nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)I\psi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi$

বা, $\displaystyle \left(nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\left(begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{matrix}\right)\left(begin{matrix}\psi_1 \ \psi_2 \ \psi_3 \ \psi_4 end{matrix}\right) = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\left(begin{matrix}\psi_1 \ \psi_2 \ \psi_3 \ \psi_4 end{matrix}\right)$

বা, $\displaystyle \left(nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi_k = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi_k$

অতএব দেখতে পাচ্ছ যে বাই-স্পিনর $\psi$ এর প্রত্যেক উপাদান ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ মেনে চলে। এছাড়াও এই গণনা থেকে আরও দেখা যায় যে ওয়েভ অপারেটরের বর্গমূল হল $i\hbar\gamma^{\mu}\partial_{\mu}$ । এর পরের পোস্টে আমরা দেখব সত্যিই (9) নং সমীকরণ মেনে চলে এমন $\gamma^{\mu}$ মেট্রিক্সগুলোর অস্তিত্ব আছে কিনা? 🙂 ভালো থেকো! আগের মতই রিলেটিভিস্টিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স ও ডিরাকের সমীকরণ সম্মন্ধে বিশদে জানতে প্রয়োজনীয় দুটি বইয়ের লিঙ্ক এখানে দিয়েছি।

ডিরাকের সমীকরণ – আহরণ

Related

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

Leave a Reply Cancel reply