রিলেটিভিস্টিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স

শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ হল নন-রিলেটিভিস্টিক কণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স যা কেবল সেই সকল ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য যখন কোন কণা বা কণাসমষ্টির গতিবেগ আলোর বেগের চেয়ে অনেক কম হয়। এটা শুনে মনে যদি প্রশ্ন ওঠে, তবে একটু ভাবার চেষ্টা কর। তোমাদের নিশ্চয়ই মনে আছে যে $m$ ভরের কোন কণার শক্তি ও ভরবেগ যদি যথাক্রমে $E$ ও $p$ হয় তবে $E = p^2/2m + V$ , ( $V$ হল স্থিতিশক্তি) । এই সমীকরণ অপারেটরের মাধ্যমে লিখে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ পাওয়া যায়। আর এই সমীকরণ যে মূলত নিউটনের নন-রিলেটিভিস্টিক মেকানিক্স থেকেই আসে সেটা বলাই বাহুল্য। এছাড়াও শ্রোডিঙ্গার সমীকরণে স্থানের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভসমূহ দ্বিতীয় ক্রমের এবং সময় সংক্রান্ত ডেরিভেটিভ প্রথম ক্রমের। কিন্তু বিশেষ আপেক্ষিকতায় সময় ও স্থানের ভূমিকা একইরকম হওয়া আবশ্যক, অর্থাৎ সময় ও স্থানের সাপেক্ষে ওয়েভ ফাংশনের ডেরিভেটিভের ক্রম একই হতে হবে। অতএব রিলেটিভিস্টিক কণার জন্য আমাদের বিশেষ আপেক্ষিকতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নতুন কোন সমীকরণ খুঁজতে হবে , যেখানে সময় ও স্থানের ভূমিকা একই এবং যা নিম্নলিখিত রিলেটিভিস্টিক সমীকরণ মেনে চলে।

$\displaystyle E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ ……………… (1)

যথারীতি $c$ হল শূন্যস্থানে আলোর বেগ। তোমরা জানো যে শক্তি ও ভরবেগের অপারেটর হল যথাক্রমে $i\hbar \frac{\partial }{\partial t}$ ও $-i\hbarboldsymbol{nabla}$ । অতএব যদি রিলেটিভিস্টিক কণার ওয়েভ ফাংশন $\phi$ হয় তবে (1) নং সমীকরণকে কোয়ান্টাইজ করে,

$\displaystyle -\hbar^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}= -\hbar^2c^2nabla^2\phi + m^2c^4\phi$

$\displaystyle \left(nabla^2 -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\phi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi$ ………………… (2)

এই সমীকরনকে বলা হয় ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ (Klein-Gordon equation)। শ্রোডিঙ্গার তার নিজের নামে নামাঙ্কিত সমীকরটি আবিষ্কার করার আগে এই সমীকরণটিই আবিষ্কার করেছিলেন। কিন্তু কিছু বিশেষ কারণে তখন তিনি এই সমীকরণটিকে কোয়ান্টাম মেকানিক্সে ব্যবহার করেননি। সেই কারণগুলো আজ আমরা আলোচনা করব এবং সেখান থেকে বোঝার চেষ্টা করব কেন এটা সঠিক রিলেটিভিস্টিক কণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স নয়। প্রকৃতপক্ষে এই সমীকরণটি হল রিলেটিভিস্টিক স্কেলার ফিল্ডের সমীকরণ। এইরকম স্কেলার ফিল্ডের একটি উদাহরণ হল হিগস ফিল্ড। ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণে লক্ষ্য কর যে সময় ও স্থান উভয়ের সাপেক্ষেই $\phi$ এর ডেরিভেটিভ দ্বিতীয় ক্রমের, যা রিলেটিভিস্টিক সমীকরণের একটি প্রধাণ বৈশিষ্ট। বাস্তবিকই বিশেষ আপেক্ষিকতার প্রতীকগুচ্ছ ব্যবহার করলে এই সমীকরণকে লেখা যায়,

$\displaystyle \partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi=0$ ……….. (3)

যেখানে, $\mu = 0, 1, 2, 3$ , $x^0 = ct, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z$ এবং $\partial_0 = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \partial_1 = \frac{\partial}{\partial x}....$ । এছাড়াও $\partial^{\mu}= eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}$ ।

চল এবারে দেখা যাক ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ কেন কোন রিলেটিভিস্টিক কণার সঠিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স নয়? কেনই বা শ্রোডিঙ্গার এই সমীকরণটিকে পরিত্যাগ করেছিলেন ও ডিরাককে তার নতুন সমীকরণ আবিষ্কার করার জন্য চেষ্টা করতে হয়েছিল? এর জন্য আমরা শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ ব্যবহার করে আমাদের আলোচনা আরম্ভ করব।

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}nabla^2\phi + V\phi = i\hbar\frac{\partial \phi}{\partial t}$ ……………. (4)

এই সমীকরণকে $\phi^*$ দিয়ে গুণ করে,

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\phi^*nabla^2\phi + V\phi^*\phi = i\hbar\phi^*\frac{\partial \phi}{\partial t}$ ……………. (5)

(4) নং সমীকরণের কমপ্লেক্স কনজুগেট নিয়ে তাকে $\phi$ দিয়ে গুণ করে,,

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\phinabla^2\phi^* + V\phi\phi^* = -i\hbar\phi\frac{\partial \phi^*}{\partial t}$ ………………. (6)

(5) – (6) করে,

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\phi^*nabla^2\phi - \phinabla^2\phi^*\right) = i\hbar\left(\phi^*\frac{\partial \phi}{\partial t}+ \phi\frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right)$

বা, $\displaystyle \frac{i\hbar}{2m}boldsymbol{nabla}.\left(\phi^*boldsymbol{nabla}\phi - \phiboldsymbol{nabla}\phi^*\right) = \frac{\partial }{\partial t}\phi^*\phi$

বা, $\displaystyle boldsymbol{nabla}.{\bf J} + \frac{\partial rho}{\partial t}=0$ ……….(7)

যেখানে প্রবাবিলিটি কারেন্ট ঘনত্ব (probability current density),

$\displaystyle {\bf J} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(\phi^*boldsymbol{nabla}\phi - \phiboldsymbol{nabla}\phi^*\right)$ ……………………(8)

এবং প্রবাবিলিটি ঘনত্ব (probability density),

$\displaystyle rho = \phi^*\phi=|\phi|^2$ …………………..(9)

স্পষ্টতই (7) নম্বর সমীকরণ হচ্ছে কন্টিনিউইটির সমীকরণ যেখানে প্রবাবিলিটি ডেনসিটি $(rho)$ হল ধনাত্মক চিহ্ন বিশিষ্ট সসীম সংখ্যা (possitive definite), যার ফলস্বরূপ ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজ করা সম্ভব [ $\int rho dV = 1$ ]। উপরোক্ত কন্টিনিউইটি সমীকরণের অর্থ হল যে প্রবাবিলিটি সর্বদা সংরক্ষিত থাকে। এবারে স্টেপ-বাই-স্টেপ একই পদ্ধতি ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণের উপর প্রয়োগ করে পাওয়া যায়,

$\displaystyle boldsymbol{nabla}.\left(\phi^*boldsymbol{nabla}\phi - \phiboldsymbol{nabla}\phi^* \right) = \frac{1}{c^2}\left(\phi^*\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \phi\frac{\partial^2 \phi^*}{\partial t^2}\right)$

আগের মতই $\displaystyle {\bf J} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(\phi^*boldsymbol{nabla}\phi - \phiboldsymbol{nabla}\phi^*\right)$ ব্যবহার করে,

$\displaystyle boldsymbol{nabla}.{\bf J} + \frac{i\hbar}{2mc^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\phi^*\frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi\frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right)=0$

বা, $\displaystyle boldsymbol{nabla}.{\bf J} + \frac{\partial rho}{\partial t}=0$

যেখানে $\displaystyle rho= \frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\phi^*\frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi\frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right)$ । বিশেষ আপেক্ষিকতার প্রতীকগুচ্ছ ব্যবহার করে,

$\displaystyle \partial_{i}J^{i} + \partial_0 (rho c) = 0 implies \partial_{\mu}J^{\mu}=0$ ……………………(10)

যেখানে,

$\displaystyle J^0 = rho c=\frac{i\hbar}{2mc}\left(\phi^*\frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi\frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) =\left(\phi^*\partial_0 \phi - \phi\partial_0 \phi^*\right)$ …………….(11)

উল্লেখ্য, আপেক্ষিকতার আলোচনা থেকে তোমাদের হয়তো মনে থাকতে পারে যে (10) নং সমীকরণ রিলেটিভিস্টিক কন্টিনিউইটির সমীকরণের মতই দেখতে।

এখনও পর্যন্ত সব ঠিকঠাক। আমরা ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ ব্যবহার করে একটি কন্টিনিউইটির সমীকরণ বের করতে পেরেছি। কিন্তু সমস্যার সূত্রপাত হয় এখান থেকেই। ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ থেকে প্রবাবিলিটি ঘনত্বের যে রাশিমালা পাওয়া গেল সেটাই গোলমেলে, এতটাই যে (10) নং সমীকরণকে কন্টিনিউইটির সমীকরণই বলা যায়না। ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ একটি তরঙ্গের সমীকরণ। অতএব এর সমাধান হবে,

$\displaystyle \phi = e^{ i({\bf k.r} - omega t)}= e^{i({\bf p.r} - E t)/\hbar}$ ……… (12)

$p = \hbar k$ এবং $E = \hbar omega$ হল যথাক্রমে কণার ভরবেগ ও শক্তি।

এই ওয়েভ ফাংশন ব্যবহার করে যদি রিলেটিভিস্টিক কণার প্রবাবিলিটি ঘনত্ব গণনা করা হয় তবে,

$\displaystyle rho = \frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\phi^*\frac{\partial \phi}{\partial t} - \phi\frac{\partial \phi^*}{\partial t}\right) = \frac{i\hbar}{2mc^2}\left(-\frac{iE}{\hbar}\phi^*\phi -\frac{iE}{\hbar} \phi\phi^*\right)=\frac{E}{mc^2}$

দেখা যাচ্ছে যে প্রবাবিলিটি ঘনত্ব কনার শক্তির সাথে সমানুপাতিক। অর্থাৎ শক্তি ধনাত্মক না ঋণাত্মক তার উপর নির্ভর করে প্রবাবিলিটিও ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। কিন্তু কোথাও কণাটিকে পাওয়ার সম্ভাবনা ঋণাত্মক হওয়া অর্থহীন। তার মানে হয় ওই প্রবাবিলিটি ঘনত্বেব রাশিমালা ঠিক নয়, নতুবা ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ রিলেটিভিস্টিক কণার সঠিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স প্রকাশ করেনা। এখানে মনে হতে পারে, শক্তির মান ঋণাত্মক না হলেই তো এই সমস্যার সমাধাণ হয়ে যায়! কিন্তু (12) নং সমীকরণে প্রদত্ত তরঙ্গের সমীকরণ যদি ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণে ব্যবহার করা হয় তাহলে আশানুরূপভাবেই আমরা পাই,

$\displaystyle E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 implies E =pmsqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$

অর্থাৎ ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ থেকে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক, দুরকম শক্তি সম্পন্ন সমাধানই পাওয়া যায়। কাজে কাজেই ইচ্ছাকৃতভাবে ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণের ঋণাত্মক শক্তি সম্পন্ন সমাধানগুলিকে বাদ দেওয়া অনুচিত। বাস্তবিকই শুধু ধনাত্মক শক্তি বিশিষ্ট সমাধাণগুলি একটি সম্পূর্ণ সেট (complete set) গঠন করেনা, অর্থাৎ শুধু ধণাত্মক শক্তি সম্পন্ন সমাধানগুলি ব্যবহার করে ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণের জেনারেল বা সাধারণ সমাধান লেখা সম্ভব নয়। তাহলে উপায়? এই সংকট থেকে বের হবার একমাত্র উপায় হল অন্য কোন রিলেটিভিস্টিক সমীকরণ খোঁজা যাতে প্রবাবিলিটি ঘনত্ব সদা-সর্বদাই ধনাত্মক চিহ্ন বিশিষ্ট সসীম সংখ্যা হয় (যাতে ওয়েভ ফাংশনক নর্মালাইজ করা যায়)। ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ থেকে কন্টিনিউইটি সমীকরণ আহরণ করার সময় লক্ষ্য করে থাকবে যে ঋণাত্মক প্রবাবিলিটি ঘনত্বের মূল উৎস হল ওই সমীকরণে ওয়েভ ফাংশনের সময়ের সাপেক্ষে দ্বিতীয় ক্রমের ডেরিভেটিভের (2nd order derivative of the wave function with respect to time) উপস্থিতি। সেজন্যই প্রবাবিলিটি ঘনত্বের রাশিমালায় সময়ের সাপেক্ষে ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ রয়ে যায় (যার ফলে প্রোবাবিলিটি ঘনত্ব শক্তির সমানুপাতিক হয়)। অপরপক্ষে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণে ওয়েভ ফাংশনের সময়ের সাপেক্ষে প্রথম ক্রমের ডেরিভেটিভ থাকায় সেখান থেকে আহরিত প্রবাবিলিটি ঘনত্বের রাশিমালায় সময়ের সাপেক্ষে কোন ডেরিভেটিভ থাকেনা এবং তার ফলস্বরূপ প্রবাবিলিটি ঘনত্ব সর্বদা ধনাত্মক হয়। অতএব এটা নিশ্চিত যে, কোন রিলেটিভিস্টিক কণার (যার সংখ্যা সংরক্ষিত থাকে) কোয়ান্টাম মেকানিক্সের সমীকরণেও সময়ের সাপেক্ষে প্রথম ক্রমের ডেরিভেটিভ থাকতে হবে। আবার যেহেতু বিশেষ আপেক্ষিকতায় সময় ও স্থানের ভূমিকা একইরকম থাকা আবশ্যক, অতএব ওই সমীকরণে ওয়েভ ফাংশনের স্থানের সাপেক্ষেও প্রথম ডেরিভেটিভ থাকবে। মূলত এই নীতির উপর নির্ভর করেই ডিরাক তার সমীকরণ আবিষ্কার করেন। এর পরের পোস্টে আমরা সেটাই আলোচনা করব। ওই সমীকরণ ডিরাকের গাণিতিক দক্ষতা ও প্রতিভার অসাধারণ প্রমাণ। রিলেটিভিস্টিক স্পিন – $1/2$ কণার ওয়েভ ফাংশন যে একটি স্কেলার ফাংশন হতে পারেনা, তা যে চারটি উপাদানবিশিষ্ট একটি বিশেষ রাশি, যাকে স্পাইনর নামে অভিহীত করা হয়, এই সবই ডিরাকের প্রতিভা ও অধ্যবসয়ের ফসল। রিলেটিভিস্টিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স ও ডিরাকের সমীকরণ সম্মন্ধে বিশদে জানতে প্রয়োজনীয় দুটি বইয়ের লিঙ্ক এখানে দিয়েছি। এই বইগুলি এই পোস্ট লেখার রেফারেন্সও বটে।

রিলেটিভিস্টিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স

Related

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

Leave a Reply Cancel reply