December 2013 – My Physics Blog

পোটেনশিয়াল স্টেপ – কণার শক্তি E < স্টেপের উচ্চতা

পোটেনশিয়াল স্টেপের কিছু আলোচনা আমরা এর আগের দুটো পোস্টে করেছি। তোমরা দেখেছো যে যদি কণার শক্তি স্টেপের উচ্চতার থেকে বেশি হয়, তবে কণাটির কিছু সম্ভাবনা যেমন থাকে স্টেপ পার হয়ে চলে যাওয়ার, তেমনি কিছু সম্ভাবনা থাকে স্টেপ থেকে প্রতিফলিত হয়ে ফিরে আসার। এটা অনেকটা আলো এক মাধ্যম থেকে আরেক মাধ্যমে গেলে যেমনটি হয়, ঠিক তেমন। আজকে আমরা দেখব যদি কণার শক্তি ( $E$ ) পোটেনশিয়াল স্টেপের উচ্চতার থেকে কম হলে কি হবে। এখানে মনে রাখবে উচ্চতা বলতে আমি স্থিতিশক্তি বা পোটেনশিয়াল এনার্জির সর্ব্বোচ্চ মান বোঝাতে চেয়েছি, যাকে এর আগের দুটি পোস্টে $V_0$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে। যথারীতি আমরা টাইম ইনডেপেন্ডেন্ট শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ লিখে শুরু করব। Continue reading “পোটেনশিয়াল স্টেপ – কণার শক্তি E < স্টেপের উচ্চতা"

প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি ও স্টেপ পোটেনশিয়াল

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে কন্টিনিউইটি সমীকরণ থেকে প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটির ধারণা পাওয়া যায়। যেহেতু বস্তুকণার সংখ্যা সবসময় সংরক্ষিত থাকে, তাই একবার নর্মালাইজড করা ওয়েভ ফাংশন তা চিরকাল ধরেই নর্মালাইজড থাকবে। তার মানে,

$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-infty}^{infty}Psi^* Psi dx = 0$ (1a)

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty}\frac{\partial}{\partial t}(Psi^* Psi) dx = 0$

এখন, $\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}(Psi^* Psi) = Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial t} + \frac{\partialPsi^*}{\partial t}Psi$ (1b) Continue reading “প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি ও স্টেপ পোটেনশিয়াল”

কোয়ান্টাম স্টেপ পোটেনশিয়াল (একমাত্রিক)

আজ আরও একটি নতুন ও মজাদার পোটেনশিয়ালের জন্য সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান বের করবো। সেটা হল একমাত্রিক স্টেপ পোটেনশিয়াল। বস্তুর তরঙ্গ ধর্মের কিছু আজব পরিণাম দেখানোর জন্য এই পোটেনশিয়াল একটি আদর্শ উদাহরণ। ম্যাটার ওয়েভ কিভাবে কোনো পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত (incident) হয় ও কোনো পোটেনশিয়াল থেকে কিভাবে প্রতিফলিত (reflected) বা প্রেষিত(transmitted) হয়, সেটা এই স্টেপ পোটেনশিয়াল ব্যবহার করে খুব সুন্দরভাবে দেখানো যায়। নিচের ১ নং চিত্রে একটি স্টেপ পোটেনশিয়াল এ৺কে দেখানো হয়েছে। পোটেনশিয়ালটিতে স্টেপের উচ্চতা $V_0$ , অর্থাৎ পোটেনশিয়াল $V(x)$ কে $x$ এর ফাংশন হিসেবে এভাবে লেখা যায়, Continue reading “কোয়ান্টাম স্টেপ পোটেনশিয়াল (একমাত্রিক)”

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর – কয়েকটি অংক

এই পোস্টে কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের উপর কয়েকটি অংক করব, যাতে ধারণা আরও একটু পরিষ্কার হয়। আসলে আজ ভোরবেলায় স্বপ্ন দেখলাম যে আমাদের কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অধ্যাপকের সাথে বসে গল্প করছি। উনি অসাধারন শিক্ষক; কোয়ান্টাম মেকানিক্সে যা কিছু শিখেছি তাতে সবথেকে বড় ভূমিকাটা ওনারই। ক্লাসে উনি আমাদের উৎসাহ দিতেন বেসিক প্রিন্সীপল থেকে শুরু করে সমস্ত অংকটাই বুঝে বুঝে করতে। হয়তো ব্ল্যাকবোর্ডে তিনি একটি সমীকরণ লিখলেন, আমাদের কাজ হত সেটাকে প্রমাণ করা। অবশ্যই ইঙ্গিত দিয়ে দিতেন যে কিভাবে করতে হবে। আর খুব ভাল ভাল (পড় কঠিন কঠিন) হোমটাস্ক দিয়ে দিতেন। ওনার ক্লাস থেকেই মনে এটা বদ্ধমূল হয়ে গেছে যে যদি ফিজিক্সের কোন একটি বিষয় ভাল করে শিখতে হয়, তবে সেই বিষয় সম্মন্ধে যত বেশি সম্ভব অংক করা উচিত। অংকই প্রকৃতির নিজস্ব ভাষা। প্রকৃতির ভাষা না শিখে তাকে জানবে কি করে? সুতরাং চল লেগে পড়া যাক। Continue reading “কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর – কয়েকটি অংক”

হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন

সরল দোলক বা হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন

$\displaystyle Psi_0(x) = \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{momega}{2\hbar}x^2}$ (1)

তোমরা জানো যে গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশনের উপর ক্রীয়েশন অপারেটর $a^{\dagger}$ বারবার প্রয়োগ করে যেকোনো এক্সাইটেড স্টেটের ওয়েভ ফাংশন গণনা করা যায়।

$\displaystyle Psi_n(x) = \frac{1}{sqrt{n!}}(a^{\dagger})^nPsi_0(x)$ (2)

সুতরাং, (নিচের গণনাগুলি তোমাদের করে দেখতে বলা হয়েছেল।) Continue reading “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন”