প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি ও স্টেপ পোটেনশিয়াল

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে কন্টিনিউইটি সমীকরণ থেকে প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটির ধারণা পাওয়া যায়। যেহেতু বস্তুকণার সংখ্যা সবসময় সংরক্ষিত থাকে, তাই একবার নর্মালাইজড করা ওয়েভ ফাংশন তা চিরকাল ধরেই নর্মালাইজড থাকবে। তার মানে,

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-infty}^{infty}Psi^* Psi dx = 0                             (1a)

\displaystyle \int_{-infty}^{infty}\frac{\partial}{\partial t}(Psi^* Psi) dx = 0

এখন, \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}(Psi^* Psi) = Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial t} + \frac{\partialPsi^*}{\partial t}Psi                                                  (1b)

তোমরা জানো যে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ,

\displaystyle i\hbar\frac{\partial Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2Psi}{\partial x^2} +VPsi

\displaystyle \frac{\partial Psi}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2Psi}{\partial x^2} -\frac{i}{\hbar}VPsi                                            (2a)

এই সমীকরণের কমপ্লেক্স কনজুগেট করে,

\displaystyle \frac{\partial Psi^*}{\partial t} = -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2Psi^*}{\partial x^2} + \frac{i}{\hbar}VPsi^*                                              (2b)

(2a) নং সমীকরণকে Psi^* দিয়ে ও (2b) কে Psi দিয়ে গুণ করে পরষ্পরের সাথে যোগ করে

\displaystyle \left(\frac{\partial Psi^*}{\partial t}Psi + Psi^*\frac{\partial Psi}{\partial t}\right) = \frac{i\hbar}{2m}\left(Psi^*\frac{\partial^2Psi}{\partial x^2} - \frac{\partial^2Psi^*}{\partial x^2}Psi\right)

\displaystyle = \frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial}{\partial x}\left(Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} - \frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi\right)

বা, \displaystyle \frac{\partial rho}{\partial t} = -\frac{\partial j}{\partial x}                                 (3)

যেখানে rho = |Psi|^2 = Psi^* Psi হল প্রবাবিলিটি ডেনসিটি এবং j কে বলা হয় প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি, যার সংজ্ঞা,

\displaystyle j = -\frac{i\hbar}{2m}\left(Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} - \frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi\right)                                           (4)

(3) নং সমীকরণ একমাত্রিক কন্টিনিউইটি সমীকরণ ভিন্ন আর কিছুই নয়। ত্রিমাত্রিক স্পেসে এর রূপ সর্বপরিচিত,

\displaystyle \frac{\partial rho}{\partial t} = -boldsymbol{nabla}. bf{j}

(3) নং সমীকরণ ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে যে

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{}^{}rho dx = 0।

এবারে আমরা আমাদের আলোচনা স্টেপ পোটেনশিয়ালের দিকে ফিরিয়ে আনব। আমরা দেখেছি,

\displaystyle Psi_1 = Atext{e}^{ik_1x} + Btext{e}^{-ik_1x}

\displaystyle Psi_2 = Ctext{e}^{ik_2x}

\displaystyle\frac{B}{A} = \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}

\displaystyle\frac{C}{A} = \frac{2k_1}{k_1+k_2}

যেহেতু আপতিত ওয়েভ Atext{e}^{ik_1x}, সুতরাং আপতিত প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি (j_{text{incident}}) হল

\displaystyle j_{text{incident}} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(|A|^2ik_1 + |A|^2ik_1\right) = \frac{|A|^2\hbar k_1}{m}                                   (5a)

একইভাবে,

\displaystyle j_{text{reflected}} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(-|B|^2ik_1 - |B|^2ik_1\right) = -\frac{|B|^2\hbar k_1}{m}                                   (5b)

\displaystyle j_{text{transmitted}} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(|C|^2ik_2 + |C|^2ik_2\right) = \frac{|C|^2\hbar k_2}{m}                                     (5c)

প্রতিফলিত কারেন্ট ডেনসিটির মান ও আপতিত কারেন্ট ডেনসিটির মানের অনুপাতকে বলা হয় রিফ্লেকশন কোফিসিয়েন্ট (reflection coefficient) R,

\displaystyle R = \frac{|j_{text{reflected}}|}{|j_{text{incident}}|} = \frac{|B|^2}{|A|^2} = \left(\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\right)^2

এবং ট্রাস্নমিটেড কারেন্ট ডেনসিটির মান ও আপতিত কারেন্ট ডেনসিটির মানের অনুপাতকে বলা হয় ট্রান্সমিশন কোফিসিয়েন্ট (transmission coefficient) T,

\displaystyle T = \frac{|j_{text{transmited}}|}{|j_{text{incident}}|} = \frac{|C|^2k_2}{|A|^2k_1} = \frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}

তোমরা এটা সহজেই কষে দেখতে পার যে,

R + T = 1 implies j_{text{incident}} = j_{text{reflected}} + j_{text{transmited}}

অর্থাৎ আপতিত ওয়েভের একটি অংশ প্রতিফলিত হয়ে ফিরে যায় এবং অপর অংশ ট্রান্সমিটেড হয়, যার ফলে বস্তুকণার মোট সংখ্যা সংরক্ষিত থাকে। মনে রাখবে যে ক্লাসিকাল মেকানিক্সে E > V_0 হলে বস্তুকণা ১০০ শতাংশ সম্ভাবনা নিয়ে ট্রান্সমিটেড হয়ে যেত। কিন্তু কোয়ান্টাম জগতে তা হয়না! প্রতিফলিত হওয়ার সসীম সম্ভাবনা থাকে। এটা বস্তুর তরঙ্গ ধর্মের ফল। তোমাদের হয়তো মনে আছে যে আলো এক মাধ্যম থেকে আরেক মাধ্যমে গেলে ওই দুই মাধ্যমের বাউন্ডারীতে আংশিক প্রতিফলিত হয়। যদি n_1 ও n_2 যথাক্রমে দুই মাধ্যমের প্রতিসরাঙ্ক হয় তবে আলোর ক্ষেত্রে রিফ্লেকশন কোফিসিয়েন্ট R= \left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2। যেহেতু কোনো মাধ্যমে আলোর বেগ v = c/n, সুতরাং, R= \left(\frac{v_1-v_2}{v_1+v_2}\right)^2। আর যেহেতু বস্তুকণার ক্ষেত্রে k = mv/\hbar, সুতরাং কণার ক্ষেত্রে (5a) সমীকরণকে লেখা যেতে পারে, R= \left(\frac{v_1-v_2}{v_1+v_2}\right)^2। অর্থাত বস্তুকণা ও আলোর ব্যবহার একইরূপ। এখানে একবার তোমাদের কোয়ান্টাম মেকানিক্সে পরিমাপের প্রকৃতি তোমাদের মনে করিয়ে দিচ্ছি। প্রতিফলিত হওয়ার সম্ভাবনা R এর অর্থ হল যদি n সংখ্যক কণা স্টেপটির উপর আপতিত হয় তবে তার মধ্যে থেকে Rn সংখ্যক কণা প্রতিফলিত হবে ও বাকিগুলো ট্রান্সমিটেড হয়ে যাবে। অর্থাৎ রিফ্লেকশন ও ট্রান্সমিশন কোফিসিয়েন্ট সংখ্যাতাত্বিক সম্ভাবনা (statistical probability) প্রকাশ করে, ঠিক ওয়েভ ফাংশনের মতই।

যদি কণার ওয়েভ ডানদিক থেকে এসে (অর্থাৎ II -নং অঞ্চল থেকে I -নং অঞ্চলের দিকে যায়) স্টেপের উপর আপতিত হয় তখনও ওর একাংশ প্রতিফলিত হবে ও অপর অংশ ট্রান্সমিটেড হবে। কথাটি বিশ্বাস না হয় নিজেরা অংক করে দেখ।

5 thoughts on “প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি ও স্টেপ পোটেনশিয়াল”

  1. Durdanto post..eti ebong ager 3ti post… Onli9 na thakar karone regular porte parini tobe eksathe 3-4te tana porte osadharon laglo… Plz carry on

    Reply

    1. আমি অবশ্যই চালিয়ে যাব, আশা করি you will continue to read and support. ধন্যবাদ।

      Reply

  2. R ekta kotha.. Jodi apnar somosto quantum mechanics lecture er post gulo niye ekta ebook toiri kora somvob hoy tobe oneke upokrito hobe amar dharona..

    Reply

    1. sujoy, তোমার idea টা ভালো। তবে এখনো পর্যন্ত একটি ই-বুকের জন্য পর্যাপ্ত পরিমান লেখা হয়নি। বেসিক কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অন্তত কিছুটা substantial পরিমান ছাড়া ই-বুক complete লাগবেনা। আর তাছাড়া বই হিসেবে প্রকাশ করার আগে পোস্টগুলোকে আরও মার্জিত করতে হবে। যাই হোক, তোমাকে অনেক ধন্যবাদ idea টির জন্য, হয়তো ভবিষ্যতে একদিন বাস্তবায়িত হবে।

      Reply

Leave a Reply to sujoy Cancel reply

Your email address will not be published.