পোটেনশিয়াল স্টেপ – কণার শক্তি E < স্টেপের উচ্চতা

পোটেনশিয়াল স্টেপের কিছু আলোচনা আমরা এর আগের দুটো পোস্টে করেছি। তোমরা দেখেছো যে যদি কণার শক্তি স্টেপের উচ্চতার থেকে বেশি হয়, তবে কণাটির কিছু সম্ভাবনা যেমন থাকে স্টেপ পার হয়ে চলে যাওয়ার, তেমনি কিছু সম্ভাবনা থাকে স্টেপ থেকে প্রতিফলিত হয়ে ফিরে আসার। এটা অনেকটা আলো এক মাধ্যম থেকে আরেক মাধ্যমে গেলে যেমনটি হয়, ঠিক তেমন। আজকে আমরা দেখব যদি কণার শক্তি ( $E$ ) পোটেনশিয়াল স্টেপের উচ্চতার থেকে কম হলে কি হবে। এখানে মনে রাখবে উচ্চতা বলতে আমি স্থিতিশক্তি বা পোটেনশিয়াল এনার্জির সর্ব্বোচ্চ মান বোঝাতে চেয়েছি, যাকে এর আগের দুটি পোস্টে $V_0$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে। যথারীতি আমরা টাইম ইনডেপেন্ডেন্ট শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ লিখে শুরু করব।

I -নং অঞ্চলের জন্য ( $x < 0$ ),

চিত্র ১ - স্টেপ পোটেনশিয়াল — চিত্র ১ – স্টেপ পোটেনশিয়াল

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Psi_1}{dx^2} +0. Psi_1 = EPsi_1$ (1a)

II -নং অঞ্চলের জন্য ( $x>0$ ),

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Psi_2}{dx^2} +V_0. Psi_1 = EPsi_2$ (1b)

সাজিয়ে লিখে,

$\displaystyle\frac{d^2Psi_1}{dx^2} = -k_1^2Psi_1$ (2a)

$\displaystyle\frac{d^2Psi_2}{dx^2} = -k_2^2Psi_2$ (2b)

যেখানে আগের মতই, $\displaystyle k_1^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$ এবং $\displaystyle k_2^2 = \frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}$ । কিন্ত এক্ষেত্রে একটি ব্যাপার আগেরটির থেকে আলাদা। যেহেতু $E < V_0$ , ফলে $k_2$ একটি ইমাজিনারী রাশি (imaginary variable)। মনে কর $k_2 = ikappa$ , যেখানে $\displaystyle kappa = sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}}$ একটি রিয়েল রাশি (real variable)। সুতরাং, I ও II নং অঞ্চলে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান (আগের পোস্টের যুক্তি ব্যবহার করে),

$\displaystyle Psi_1 = Atext{e}^{ik_1x} + Btext{e}^{-ik_1x}$ (3a)

$\displaystyle Psi_2 = Ctext{e}^{ik_2x} = C text{e}^{i.ikappa x} = C text{e}^{-kappa x}$ (3b)

লক্ষ্য কর যে (3b) সমীকরণে $Dtext{e}^{kappa x}$ , পদটি থাকলে ওয়েভ ফাংশনটিকে নর্মালাইজ করা যেতনা (কেন? মাথা খাটাও!)। এবারে (3) নং সমীকরণের ওয়েভ ফাংশন দুটির প্রকৃতি সম্মন্ধে একটু আলোচনা প্রয়োজন। I -নং অঞ্চলের ওয়েভ ফাংশন ( $Psi_1$ ), আগের পোস্টের মতই, সুতরাং ওটার বৈশিষ্ট তোমরা জানো। তবুও পূর্ণতার স্বার্থে এখানে উল্লেখ করছি যে $Psi_1$ একটি চলতরঙ্গ (travelling), যার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে $+x$ ও $-x$ অক্ষ বরাবর চলমান তরঙ্গ প্রকাশ করে। কিন্তু II -নং অঞ্চলের ওয়েভ ফাংশনটি এক্সপোনেনশিয়ালি ক্ষয়িষ্ণু (exponentially decaying)। তার মানে II -নং অঞ্চলে, স্টেপের ( $x =0$ ) থেকে যত দূরে যাওয়া যায়, কণাটির সেখানে অস্তিত্বের সম্ভাবনা তত কমতে থাকে। অর্থাৎ যদিও কণার শক্তি স্টেপের উচ্চতার থেকে কম, তথাপি কণাটিকে স্টেপের অপরপাশে পাওয়ার সসীম সম্ভাবনা থাকে (যদি মাপতে পারা যায়)! (উল্লেখযোগ্য যে, I -নং অঞ্চলে কণাটিকে পাওয়ার সম্ভাবনা সর্বত্র সমান। এইরকম ওয়েভ ফাংশনকে নর্মালাইজ করার জন্য একটি বিশেষ উপায় ব্যবহার করা হয়, যার সম্মন্ধে এর পরে একটি পোস্টে আলোচনা করব।)

step-potential-wave-function — Figure 2: I -নং ( $x < 0$ ) ও II -নং ( $x>0$ ) অঞ্চলে ওয়েভ ফাংশন।

Figure 2: I -নং ( $x < 0$ ) ও II -নং ( $x>0$ ) অঞ্চলে ওয়েভ ফাংশন।

বাউন্ডারী কন্ডিশন ব্যবহার করে,

$A + B = C$ (4a)

$Aik_1 - Bik_1 = -Ckappa$ (4b)

সুতরাং,

$\displaystyle \frac{B}{A} = \frac{k_1 - ikappa}{k_1 + ikappa}$ (5a)

$\displaystyle \frac{C}{A} = \frac{2k_1}{k_1 + ikappa}$ (5b)

(5a) সমীকরণটিকে আরেকটু পরিষ্কার করে লিখলে দেখতে পাবে যে ওর মধ্যে একটি মজাদার ব্যাপার লুকিয়ে আছে।

$\displaystyle \frac{B}{A} = \frac{k_1 - ikappa}{k_1 + ikappa} = \frac{sqrt{k_1^2+kappa^2} text{e}^{-itheta}}{sqrt{k_1^2+kappa^2} text{e}^{itheta}} = text{e}^{-2itheta}$ (6a)

যেখানে $\displaystyle theta = text{tan}^{-1}\left(\frac{kappa}{k_1}\right)$ । অর্থাৎ প্রতিফলিত তরঙ্গের বিস্তার (amplitude) আপতিত তরঙ্গের বিস্তারের সমান। প্রতিফলনের ফলে শুধু ওয়েভের দশা (phase) পরিবর্তিত হয়ে যায়। প্রতিফলিত ও আপতিত তরঙ্গের বিস্তার সমান হওয়ার মানে হল স্টেপ থেকে প্রতিফলনের সম্ভাবনা একশ শতাংশ; অর্থাৎ যদি ১০ টি কণা স্টেপের উপর আপতিত হয় তবে ১০ টিই প্রতিফলিত হয়ে যাবে। এর আরেকটি পরিণাম হল যে স্টেপের মধ্যে দিয়ে ট্রান্সমিট হওয়ার সম্ভাবনা শূন্য। প্রবাবিলিটি কারেণ্ট ডেনসিটি নির্ণয় করলে দেখা যাবে আপতিত ও প্রতিফলিত কারেণ্ট ডেনসিটির মান সমান ও ট্রান্সমিটেড কারেন্ট ডেনসিটি শূন্য। চল দেখাই যাক,

$\displaystyle j_{text{incident}} =-\frac{i\hbar}{2m}\left(Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} - \frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi\right) = -\frac{i\hbar}{2m}\left(|A|^2ik_1 + |A|^2ik_1\right) = \frac{|A|^2\hbar k_1}{m}$

$\displaystyle j_{text{reflected}} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(-|B|^2ik_1 - |B|^2ik_1\right) = -\frac{|B|^2\hbar k_1}{m} = -\frac{|A|^2\hbar k_1}{m}$

$\displaystyle j_{text{transmitted}} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(-|C|^2kappatext{e}^{-2kappa x} + |C|^2kappatext{e}^{-2kappa x}\right) = \frac{C^2\hbar k_2}{m} = 0$

সুতরাং রিফ্লেকশন কোফিসিয়েন্ট

$\displaystyle R = \frac{|j_{text{reflected}}|}{|j_{text{incident}}|} = 1$

এবং ট্রান্সমিশন কোফিসিয়েন্ট

$\displaystyle T = \frac{|j_{text{transmited}}|}{|j_{text{incident}}|} = 0$

এবং $R + T = 1$ ।

ঠিক একই রকম ঘটনা ঘটে যখন আলো কোন ঘন মাধ্যম থেকে লঘুতর মাধ্যমে যায়। যদি আপতন কোণ (angle of incidence) ওই দুই মাধ্যমের সংকট কোণের (critical angle) থেকে বেশি হয়, তবে আপতিত রশ্মি পুরোপুরি (১০০ শতাংশ) প্রতিফলিত হয়। তোমরা জানো যে এই ঘটনাকে বলা হয় অভ্যন্তরীণ পূর্ণ প্রতিফলন (total \internal reflection)। আমাদের এই কোয়ান্টাম কেসেও সেই একই ঘটনা ঘটছে, যা তরঙ্গের একটি বৈশিষ্ট। এখানে যেমন II -নং অঞ্চলে একটি এক্সপোনেনশিয়ালি ক্ষয়িষ্ণু (exponentially decaying) ওয়েভ ফাংশন থাকে, ঠিক তেমনি অভ্যন্তরীণ পূর্ণ প্রতিফলনের ক্ষেত্রেও একটি এক্সপোনেনশিয়ালি ক্ষয়িষ্ণু তড়িৎ-চুম্বকীয় ক্ষেত্র তৈরি হয় লঘুতর মাধ্যমটিতে, যা ইভানেসেন্ট ওয়েভ নামে পরিচিত। মনে রাখবে ইভানেসেন্ট ওয়েভ এক ধরনের স্টেশনারি ওয়েভ। এখানে আসলে যেটা হয় সেটা হল যে I -নং অঞ্চল থেকে কণার ওয়েভ II -নং অঞ্চলে সামান্য প্রবেশ করলে তা সেখান থেকে ক্রমাগত প্রতিফলিত হতে থাকে যতক্ষন না প্রতিফলন সম্পূর্ণ হয়। ফলে II -নং অঞ্চলে ওয়েভ ফাংশন এক্সপোনেনশিয়ালি ক্ষয়ে যায়।

পোটেনশিয়াল স্টেপ – কণার শক্তি E < স্টেপের উচ্চতা

Related

2 thoughts on “পোটেনশিয়াল স্টেপ – কণার শক্তি E < স্টেপের উচ্চতা”

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

2 thoughts on “পোটেনশিয়াল স্টেপ – কণার শক্তি E < স্টেপের উচ্চতা”

Leave a Reply Cancel reply