ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে স্ক্যাটারিং

[বিঃদ্রঃ-এই পোস্টটি এর আগের “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল – বাউন্ড স্টেট” শীর্ষক পোস্টের সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত। সুতরাং ওটা পড়ার পরে এই পোস্টটি দেখা উচিত।] ডেল্টা ফাংশন ওয়েলের গভীরতা যাই হোক না কেন সেটাতে একটি এবং শুধুমাত্র একটিই বাউন্ড স্টেট থাকতে পারে যার ওয়েভ ফাংশন এর আগের পোস্টে আমরা নির্ণয় করেছি। ওই স্টেটে বস্তুকণার শক্তির মান $\displaystyle -\frac{mV_0^2}{2\hbar^2}$ । শক্তির ঋণাত্মক মান থেকে বোঝা যাচ্ছে যে ওটা একটা বাউন্ড স্টেট, কেননা $x = pm infty$ তে ডেল্টা পোটেনশিয়ালের মান $V(pm infty)=0$ । কিন্তু যদি কণার শক্তি ( $E$ ) ধনাত্মক হয়, তবে? এক্ষেত্রে যেহেতু $E > V(pm infty)$ , তাই কণাটি ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে বিক্ষিপ্ত (scattered) হবে, যাকে কোয়ান্টাম পদার্থবিদ্যার ভাষায় বলা হয় স্ক্যাটারিং স্টেট। স্ক্যাটারিং স্টেট ওয়েভ ফাংশন তোমরা আগেও দেখেছো – স্টেপ পোটেনশিয়াল ও পোটেনশিয়াল ব্যারিয়ারের ক্ষেত্রে। পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত ওয়েভ ফাংশনের একটি অংশ প্রতিফলিত হয় ও অপর অংশ পোটেনশিয়ালের মধ্যে দিয়ে ট্রান্সমিটেড (transmitted – প্রেষিত) হয়। পোটেনশিয়াল স্টেপ বা ব্যারিয়ারের জন্য যেমন অংক করা হয়েছিল ঠিক সেরকম পদ্ধতি অবলম্বন করেই ডেল্টা ফাংশনের জন্যেও প্রতিফলন ও ট্রান্সমিশন গুণাঙ্ক নির্ণয় করা যায়। শুধু একটি ব্যাপার এক্ষেত্রে একটু আলাদা। $x = 0$ তে (বা যেখানে ডেল্টা ফাংশনের চূড়া অবস্থিত সেখানে) ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ কন্টিনিউয়াস নয়, এই কথাটি মনে রাখতে হবে। চল এবারে কথা আর না বাড়িয়ে খাতা কলম নিয়ে একটু হাত নোংরা করা যাক। প্রথমেই চক্ষুর ক্ষুধা নিবৃত্তির জন্য ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েলের একটি রেখাচিত্র দিচ্ছি ১ নং ছবিতে। [বিঃদ্রঃ – ক্ষুধা ব্যাপারটিই জগতের চালিকা শক্তি; পেটের ভুখ, চোখের ক্ষিদে, অন্যান্য অঙ্গ-প্রত্যঙ্গের ক্ষিদা, জ্ঞানের ক্ষুধা ইত্যাদি। ভরা পেটে ভাজা মাছ যেমন ঘষি ঘষি লাগে, তেমনি ক্ষুধা না থাকলে জীবন আলুনি লাগবে।]

scattering state in delta function well — চিত্র ১ – ডেল্টা ফাংশন ওয়েলে স্ক্যাটারিং স্টেট।

দেখতেই পাচ্ছ যে $x = 0$ ছাড়া আর সর্বত্র পোটেনশিয়ালের মান শূন্য। সুতরাং $x neq 0$ এর জন্যে সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ,

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Psi}{dx^2} = EPsi$

বা, $\displaystyle \frac{d^2Psi}{dx^2} = -k^2Psi text{ with } k^2 =\frac{2mE}{\hbar^2}$ (1)

এই সমীকরণের সমাধান খুবই সহজ। এর আগেও অনেক পোস্টে এরকম সমীকরণের সমাধান করা হয়েছে। সুতরাং গণিতের গভীরে আর না গিয়ে আমি শুধু স্টেশনারী সমাধানটিকে লিখে ফেলব। ডেল্টা পোটেনশিয়ালের চূড়ার বাদিকে, অর্থাৎ $x<0$ এর জন্য সমাধান,

$\displaystyle Psi(x)_< = Atext{e}^{ikx} + Btext{e}^{-ikx}$ (2a)

এবং ডেল্টা পোটেনশিয়ালের চূড়ার ডানদিকে, অর্থাৎ $x>0$ এর জন্য সমাধান,

$\displaystyle Psi(x)_> = Ctext{e}^{ikx} + Dtext{e}^{-ikx}$ (2b)

সাধারণত স্ক্যাটারিং সংক্রান্ত পরীক্ষায় বস্তকণাগুলো একদিক থেকে এসে পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত হয় ও কতগুলো কণা ওই পোটেনশিয়াল থেকে প্রতিফলিত হল বা পোটেনশিয়ালের মধ্যে দিয়ে চলে গেল তা পরিমাপ করা হয়। যদি আমরা ধরে নেই যে কণাগুলি বাদিক থেকে ডানদিকে চলতে চলতে পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত হচ্ছে, তবে আমদের এই ক্ষেত্রে $x<0$ তে আপতিত ও প্রতিফলিত তরঙ্গ, দুইই থাকবে; কিন্তু $x>0$ তে শুধু ট্রান্সমিটেড তরঙ্গ থাকবে যা বাদিক থেকে ডানদিকে (অর্থাৎ $+x$ অক্ষ বরাবর) চলমান। সুতরাং আমরা ধরে নেব যে $D = 0$ । পোটেনশিয়াল স্টেপ ও ব্যারিয়ারের ক্ষেত্রেও এইরকম করা হয়েছিল। এবারে বাউন্ডারী শর্তগুলি প্রয়োগ করার পালা। প্রথমে $x=0$ তে কন্টিনিউটির শর্তটি ব্যবহার করব।

$\displaystyle Psi(0)_< = Psi(0)_> implies A + B = C$ (3a)

এরপর ওয়েভ ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ সম্পর্কীয় শর্তটি প্রয়োগ করব। যেহেতু $x=0$ তে পোটেনশিয়াল অসীম, তাই তোমরা দেখেছো যে,

$\displaystyle \Delta \left( \frac{dPsi(x)}{dx}\right) =-\frac{2m V_0}{\hbar^2}Psi(0)$

বা, $\displaystyle \left . \frac{dPsi_>}{dx}\right|_{x=0} - \left .\frac{dPsi_<}{dx}\right|_{x=0} = -\frac{2m V_0}{\hbar^2}Psi(0)$

বা, $\displaystyle Cik -(Aik -Bik) = -\frac{2m V_0}{\hbar^2}(A+B)$ , [যেহেতু $Psi(0) = A+B = C$ ]

বা, $\displaystyle C -A + B = i\frac{2m V_0}{k\hbar^2}(A+B)$ (3b)

(3a) ও (3b) দুটি যুগপত সমীকরণ (si\multaneous equation) যাদের সমাধান করা খুবই সহজ। সমীকরণ দুটিকে নিয়ে একটু বীজগণিত কষলেই দেখতে পাবে যে,

$\displaystyle B = \frac{i\gamma }{1-i\gamma}A$ (4a)

$\displaystyle C = \frac{1 }{1-i\gamma}A$ (4b)

যেখানে $\displaystyle \gamma = \frac{m V_0}{k\hbar^2}$ । তোমরা জানো যে কোন ওয়েভ ফাংশন $Psi$ -এর জন্য প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি

$\displaystyle j = -\frac{i\hbar}{2m}\left(Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} - \frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi\right)$

যেহেতু আপতিত ওয়েভ $Atext{e}^{ikx}$ , সুতরাং আপতিত প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি ( $j_{text{incident}}$ ) হল

$\displaystyle j_{text{incident}} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(|A|^2ik + |A|^2ik\right) = \frac{|A|^2\hbar k}{m}$ (5a)

একইভাবে,

$\displaystyle j_{text{reflected}} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(-|B|^2ik - |B|^2ik\right) = -\frac{|B|^2\hbar k}{m}$ (5b)

$\displaystyle j_{text{transmitted}} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(|C|^2ik + |C|^2ik\right) = \frac{|C|^2\hbar k}{m}$ (5c)

প্রতিফলিত কারেন্ট ডেনসিটির মান ও আপতিত কারেন্ট ডেনসিটির মানের অনুপাতকে বলা হয় রিফ্লেকশন কোফিসিয়েন্ট বা প্রতিফল গুণাঙ্ক (reflection coefficient) $R$ ,

$\displaystyle R = \frac{|j_{text{reflected}}|}{|j_{text{incident}}|} = \frac{|B|^2}{|A|^2} = \left|\frac{i\gamma}{1-i\gamma}\right|^2 = \frac{\gamma^2}{1+\gamma^2}$

এবং ট্রাস্নমিটেড কারেন্ট ডেনসিটির মান ও আপতিত কারেন্ট ডেনসিটির মানের অনুপাতকে বলা হয় ট্রান্সমিশন কোফিসিয়েন্ট (transmission coefficient) $T$ ,

$\displaystyle T = \frac{|j_{text{transmited}}|}{|j_{text{incident}}|} = \frac{|C|^2}{|A|^2} = \frac{1}{1+\gamma^2}$

দেখতেই পাচ্ছ যে $R + T = 1$ । $k$ ও $\gamma$ এর মান বসিয়ে,

$\displaystyle R = \frac{1}{1+(2\hbar^2E/mV_0^2)} text{, } T = \frac{1}{1+ (mV_0^2/2\hbar^2E)}$ (6)

অর্থাৎ কণার শক্তি যত বাড়বে ডেল্টা ওয়েলের মধ্যে দিয়ে ওর পার হয়ে যাওয়ার সম্ভাবনাও ততই বাড়বে। (4a) এবং 4(b) সমীকরণ থেকে আরও দেখা যাচ্ছে যে প্রতিফলিত ও আপতিত তরঙ্গের মধ্যে দশার পার্থক্য $pi/2+ text{tan}^{-1}(\gamma)$ এবং প্রেষিত ও আপতিত তরঙ্গের মধ্যে দশার পার্থক্য $text{tan}^{-1}(\gamma)$ ।

scattering from delta function barrier — চিত্র ২ – ডেল্টা ফাংশন ব্যারিয়ার ও স্ক্যাটারিং স্টেট।

এবারে আমাদের গন্তব্য ডেল্টা ফাংশন ব্যারিয়ার যার রেখাচিত্র নিচে ২ নং ছবিতে দেখানো হয়েছে। লক্ষ্য কর যে ডেল্টা ওয়েল ও ডেল্টা ব্যারিয়ারের মধ্যে পার্থক্য শুধু $V_0$ এর চিহ্নে। ওয়েলের ক্ষেত্রে পোটেনশিয়াল $V(x) = -V_0 delta(x)$ আর ব্যারিয়ারের জন্য পোটেনশিয়াল $V(x) = V_0 delta(x)$ । যেহেতু প্রতিফল ও ট্রান্সমিশন গুণাঙ্কের মান $V_0^2$ এর উপর নির্ভর করে, তাই ডেল্টা ব্যারিয়ার ও ডেল্টা ওয়েল, দুই ক্ষেত্রেই, প্রতিফলন ও ট্রান্সমিশন গুণাঙ্কের মান সমান। অর্থাৎ ব্যারিয়ার হোক বা ওয়েল হোক কোন বস্তুকণার সেই পোটেনশিয়াল অতিক্রম করার সম্ভাবনা সমান। ক্লাসিক্যাল পদার্থবিদ্যার নিরিখে এই ফল খুবই আশ্চর্যজনক। কারণ ক্লাসিক্যাল বলবিদ্যায় কোন বস্তুর পক্ষে অসীম উচ্চতা সম্পন্ন বাধা বা ব্যারিয়ার পার হওয়া কোনমতেই সম্ভব নয়; তাই এক্ষেত্রে $T = 0$ এবং $R = 1$ হবে। অপরপক্ষে ডেল্টা ওয়েলের জন্য ক্লাসিক্যাল বস্তুকণার পোটেনশিয়াল পার হয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা ১০০% ( $R = 0$ , $T = 1$ )। কোয়ান্টাম মেকানিক্সে কিন্তু কোন বস্তুকণা তার শক্তির থেকেও বেশি উচ্চতা সম্পন্ন বাধা বা পোটেনশিয়াল ব্যারিয়ার পার হয়ে যেতে পারে, যাকে বলা হয় কোয়ান্টাম টানেলিং। [বিঃদ্রঃ – এখানে বলে রাখা ভালো যে অসীম উচ্চতা সম্পন্ন পোটেনশিয়াল ব্যারিয়ারের প্রস্থ যদি সসীম বা ফাইনাইট হয় তবে সেই বাধা উল্লঙ্ঘন করা কোয়ান্টাম কণার পক্ষেও সম্ভব নয়।]

Tunneling and scattering delta function — চিত্র ৩ – $x = 0$ তে অবস্থিত ডেল্টা ফাংশন থেকে স্ক্যাটারিং ও টানেলিং।

চিত্র ৩ – $x = 0$ তে অবস্থিত ডেল্টা ফাংশন থেকে স্ক্যাটারিং ও টানেলিং।

লেখাটি শেষ করার আগে আরও একটি কথা উল্লেখ করা প্রয়োজন। আমাদের আজকের আলোচনায় আপতিত, প্রতিফলিত ও প্রেষিত ওয়েভ হিসেবে আমরা প্লেন ওয়েভ ব্যবহার করেছি। কিন্তু তোমরা এর আগে দেখেছো যে প্লেন ওয়েভ কোন বস্তুকণাকে সঠিকভাবে প্রকাশ করতে পারেনা। তাহলে? এই সংকট থেকে মুক্তির উপায় হল ওয়েভ প্যাকেট – যা কিনা একাধিক ভিন্ন শক্তি ও তরঙ্গ দৈর্ঘ সম্পন্ন প্লেন ওয়েভের উপরিপাতের ফল। এইরকম একটি ওয়েভ প্যাকেট পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত হলে তার গঠনকারী প্লেন ওয়েভ সমূহের প্রত্যেকটি (যাদের প্রত্যেকের শক্তি একে অপরের থেকে আলাদা) (6) নং সমীকরণে প্রদত্ত প্রতিফলন ও ট্রান্সমিশন গুণাঙ্ক অনুসারে প্রতিফলিত বা প্রেষিত হবে। প্রতিফলিত ও প্রেষিত প্লেন ওয়েভ গুলিকে পরষ্পরের সাথে উপরিপাত করে যথাক্রমে প্রতিফলিত ও ট্রান্সমিটেড ওয়েভ প্যাকেট গঠন করা সম্ভব। ব্যাপারটি খাতা কলম দিয়ে গণনা করা বেশ সময় সাপেক্ষ হওয়ায় ওটা কম্পিউটারে প্রোগ্রাম লিখে সমাধান করা হয়ে থাকে। নিচে ৩ নং ছবিতে $x = 0$ তে অবস্থিত ডেল্টা ফাংশন থেকে একটি ওয়েভ প্যাকেটের স্ক্যাটারিং ও টানেলিং দেখানো হয়েছে। ডেল্টা ফাংশনের চূড়ার বাদিকে ( $x<0$ ) আপতিত ও প্রতিফলিত তরঙ্গের ব্যতিচারের (\interference) ফলে যে ফ্রিন্জ প্যাটার্ন বা ইন্টারফেরেন্স প্যাটার্ন তৈরি হয় তা দেখা যাচ্ছে। আর ডানদিকে ( $x>0$ ) দেখা যাচ্ছে টানেল হওয়া ওয়েভ প্যাকেট। ছবিটি থেকে পরিষ্কার যে ওয়েভ প্যাকেটটি ডেল্টা পোটেনশিয়ালের উপর আপতনের পর একটি প্রতিফলিত ও একটি প্রেষিত (ট্রান্সমিটেড) প্যাকেট (সবুজ) তৈরী হয়েছে।

আপতিত, প্রতিফলিত ও প্রেষিত বস্তুকণার ওয়েভ ফাংশন হিসেবে প্লেন ওয়েভ ব্যবহার করার আরেকটি যুক্তি দেওয়া যায়। স্ক্যাটারিং (বিক্ষেপণ) পরীক্ষায়, যেমন ইলেকট্রন বিক্ষেপ বা নিউট্রন বিক্ষেপ ইত্যাদিতে একটি মাত্র কণা নিয়ে কখওনই কাজ করা সম্ভব নয়। যেটা করা হয় সেটা হল যে ক্রমাগত কণাগুলি একের পর এক স্রোতের মত বিক্ষেপক পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত হয়। যেহেতু ইলেকট্রন বা ওই জাতীয় কোয়ান্টাম কণাগুলো পরষ্পরের থেকে পার্থক্যহীন (indistinguishable), তাই যদি পরপর দুটি কণার দূরত্ব খুব কম হয়, তবে মনে করা যেতে পারে যে কণার স্রোত অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত এবং সর্বত্রই কণাগুলিকে পাওয়ার সম্ভাবনা সমান। এইরূপ অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত কণার স্রোতকে অনায়াসে প্লেন ওয়েভ দিয়ে প্রকাশ করা যেতে পারে। আরও একটি যুক্তি হল যে যদি ধরে নেওয়া হয় কণার ওয়েভ প্যাকেট অনেকটাই বিস্তৃত (অর্থাৎ কণার শক্তি মোটামোটি সুনির্দিষ্ট), তবে তাকেও মোটামুটিভাবে প্লেন ওয়েভ হিসেবে মেনে নেওয়া যেতে পারে।

3 thoughts on “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে স্ক্যাটারিং”

Sujoy says:

February 9, 2014 at 5:13 am

Last 3 te post tana porlam… Kono prosongsai jothesto noy erokom jotil bisoy ke sabolil vabe tule dhorar jonne… Keep posting dada…

1. admin says:
  
  February 9, 2014 at 6:38 am
  
  অনেকদিন পর তোমার কমেন্ট পেলাম সূজয়। ভাল লেগেছে জেনে ভালো লাগলো।
  
Sujoy says:

February 9, 2014 at 5:17 pm

sobsomoy online thakte pari na… Kin2 ei blog r apnar sob post ami regular follow kori…

ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে স্ক্যাটারিং

Related

3 thoughts on “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে স্ক্যাটারিং”

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Related

3 thoughts on “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে স্ক্যাটারিং”

Leave a Reply Cancel reply