দৈর্ঘ্য সংকোচন ও সময় প্রসারণ

নিউটনের বলবিদ্যায় সময়ের প্রবাহ বিশ্বব্রহ্মান্ডের সর্বত্র একই; বস্তু বা বস্তুসমষ্টির গতির উপর তা একেবারেই নির্ভর করেনা। সুতরাং দুটি ঘটনার মধ্যে সময়ের ব্যবধানও স্বভাবতই সমস্ত ফ্রেমে অভিন্ন হবে। উদাহরণস্বরূপ চলমান লোকাল ট্রেনে বসে পটলডাঙার ক্যাবলা যদি কায়দা দেখাতে গিয়ে রসগোল্লাকে উপরে ছুড়ে মুখে পুরতে যায় এবং সেই সুযোগে ঢাকাই হাবুল সেটাকে টপ করে ক্যাচ করে তার নিজের পেটে চালান করে দেয়, তবে ক্যাবলার ছোড়া থেকে আরম্ভ করে রসগোল্লাটির হাবুলের পেটে যাওয়া পর্যন্ত যে সময় অতিক্রান্ত হয়েছে তা ওদের পাশে বসা রসগোল্লার শোকে শোকার্ত ঘড়ি পড়া পটলা যতটা মাপবে, রেললাইনের ধারে দাঁড়ানো ব্যাজার মুখে লোলুপ দৃষ্টিতে ওদের দিকে তাকিয়ে থাকা ট্রেন ফেল করা টেনিদার কাছেও সেই দুটো ঘটনার মধ্যে সময়ের ব্যবধান ঠিক তটতাই হবে। কিন্তু তোমরা দেখেছো বিশেষ আপেক্ষিকতায় স্থান ও কালের পরষ্পরের থেকে আলাদা চলার যো নেই। এর ফলস্বরূপ দেখা যায় যে দুটো ঘটনার মধ্যবর্তি সময়ের ব্যবধানও নির্ভর করে যে দর্শক সেটা পরিমাপ করছে তার গতির উপর! শুধু সময়ই নয়, দুটো বিন্দুর মাঝের দূরত্বও একটি আপেক্ষিক বিষয়, যা সময়ের মতই দর্শকের গতির অবস্থার উপর নির্ভর করে। অর্থাৎ ট্রেনে বসা পটলার বর্ধিত প্লীহার দৈর্ঘ্য প্লাটফর্মে দাঁড়ানো দর্শকের কাছে তত বড় মনে নাও হতে পারে! মোদ্দা কথা এটাই যে দুটো বিন্দুর দূরত্ব এবং দুটি ঘটনার মাঝের সময়ের ব্যবধান হল পুরোপুরি আপেক্ষিক ব্যাপার।

রোজকার মত আজও আমরা ধরে নেব যে ফ্রেম গতিবেগে ফ্রেমের সাপেক্ষে অক্ষ বরাবর গতিশীল। এবং হল ফ্রেমের চতুর্মাত্রিক মিনকোভস্কি স্থানে দুটি পরষ্পরের কাছে অবস্থিত স্থির বিন্দু। স্পষ্টতই এই দুটি বিন্দুর সংযোগকারী ফোর-ভেক্টরের চারটি উপাদান হবে, । তোমরা হয়তো বুঝতেই পারছো যে এই ফোর ভেক্টরের চারটি উপাদানের মধ্যে তিনটি, অর্থাৎ , , ও হল যথাক্রমে ত্রিমাত্রিক স্থানে , ও বরাবর ওই ভেক্টরের দৈর্ঘ্য (১ নং ছবি দেখ)।

আবারও বলছি এই  ও বিন্দুদ্বয় ফ্রেমের সাপেক্ষে স্থির; অর্থাৎ ওরা গতিবেগে ফ্রেমের সাপেক্ষে অক্ষ বরাবর গতিশীল। এবারে ফোর ভেক্টরকে লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের মাধ্যমে আমরা ফ্রেমে নিয়ে যেতে পারি। যদি ফ্রেমে ওই রূপান্তরিত ফোর ভেক্টরটি হয় তবে (সামেশন রীতি ব্যবহার করে),

                    (1)

হল লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ মেট্রিক্স।

এখানে মনে করিয়ে দেওয়াটা মন্দ হবেনা যে মিনকোভস্কি স্থানে কোন ফোর ভেক্টরের দৈর্ঘ্য লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের ফলে অপরিবর্তিত থাকে। তার মানে,

                          (2)

(1) নম্বর সমীকরণকে মেট্রিক্সের আকারে স্পষ্ট করে লিখলে, যেখানে ,

                                     (3)

বা,                       (4a)

                      (4b)

                                             (4c)

                                             (4d)

এটা খুবই সহজবোধ্য যে কোন চলমান বস্তুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হলে ওই বস্তুর দুই প্রান্তের স্থানাঙ্ক একই সময়ে পরিমাপ করতে হবে, নাহলে বস্তুর গতির জন্য যে সরণ হবে তার ফলে দৈর্ঘ্যের পরিমাপ ভূল হবে। যেহেতু আমরা ফ্রেমে ফোর ভেক্টরের দৈর্ঘ্য মাপতে চাই, সুতরাং । তাহলে (4b) নম্বর সমীকরণ থেকে এটা স্পষ্ট যে,

               (5)

যেহেতু , তাই সবসময়ই । অর্থাৎ ফ্রেমে বিন্দু দুটির মাঝে অক্ষ বরাবর দূরত্ব (বা অক্ষ বরাবর এর অভিক্ষেপ বা projection), ফ্রেমে ওই বিন্দু দুটির মাঝের দূরত্বের থেকে কম। লক্ষ্য কর যে ফ্রেম ওই বিন্দু দুটির সাপেক্ষে স্থির, কিন্তু ফ্রেম ওদের সাপেক্ষে চলমান। অর্থাৎ বিন্দুদ্বয়ের সাপেক্ষে চলমান ফ্রেমে ওদের দূরত্ব স্থির ফ্রেমে পরিমাপ করা (ওদের) দূরত্বের থেকে কম। এই ঘটনাকেই বলা হয় বিশেষ আপেক্ষিকতায় দৈর্ঘ্য সংকোচন বা length contraction। এখানে উল্লেখযোগ্য যে এই দৈর্ঘ্য সংকোচন কিন্তু শুধুমাত্র দর্শকের সাপেক্ষে ওই বিন্দুদুটির আপেক্ষিক গতির অভিমুখেই হয়। ও বরাবর ওই ফোর ভেক্টরের দৈর্ঘ্য দুটো ফ্রেমে একই আছে। পরিষ্কার করে বোঝার জন্য চল একটি উদাহরণ নেওয়া যাক। মনে কর ফ্রেমে দৈর্ঘ্য বরাবর অক্ষের সমান্তরাল একটি বাস ওই অক্ষ বরাবরই বেগে চলছে। বাসের মধ্যে অবস্থিত কোন ব্যক্তি বাসের সাপেক্ষে স্থির। মনে কর সে মেপে দেখলো যে বাসের দৈর্ঘ্য , যাকে আমরা প্রপার দৈর্ঘ্য (proper length) বলব। আর ভূমিতে দাঁড়ানো দর্শক যদি মেপে দেখে যে ওই বাসের দৈর্ঘ্য হয় তবে (5) নম্বর সমীকরণ থেকে,

               (6)

বাসের প্রস্থ ও উচ্চতা কিন্তু দুজন দর্শকের সাপেক্ষে একই থাকবে, কারণ ওই দুদিক বরাবর বাসের গতি শূন্য। একইভাবে যদি বাসটি দাঁড়িয়ে থাকে ও তার সাপেক্ষে একটি লোক বেগে ছুটতে ছুটতে ওই বাসের দৈর্ঘ্য মাপে তবে তার ফলাফলও হবে । অর্থাৎ দৈর্ঘ্য সংকোচনের মান কেবলমাত্র দুটো ফ্রেমের (দর্শকের ফ্রেম ও যার দৈর্ঘ্য মাপা হচ্ছে তার ফ্রেম) আপেক্ষিক বেগের উপর নির্ভর করে। আর যেহেতু দৈর্ঘ্য সংকোচনের মান কেবল আপেক্ষিক বেগের বর্গের উপর নির্ভর করে, তাই তা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক বেগ, অর্থাৎ বিন্দু দুটি (বা বস্তুটি) দর্শকের দিকে আসুক বা দর্শক থেকে দূরে চলে যাক, দু-ক্ষেত্রেই দৈর্ঘ্য সংকোচনের মান একই থাকবে।

এবারে সময়ের ব্যবধান নিয়ে আলোচনা করব। ধর ফ্রেমের ত্রিমাত্রিক স্থানে কোন (স্থির) বিন্দুতে পরপর সময়ের ব্যবধানে দুটি ঘটনা ঘটল। অর্থাৎ এই ঘটনা দুটোর মিনকোভস্কি স্থানাঙ্ক এবং । তাহলে,

সুতরাং, (4b) সমীকরণ ব্যবহার করে,

এই মান (4a) তে বসিয়ে,

বা,

বা,                        (7)

অর্থাৎ ফ্রেমে সেই দুটি ঘটনার মধ্যবর্তি সময়ের ব্যবধান -র থেকে বেশি হবে। সুতরাং ফ্রেমে অবস্থিত কোন দর্শকের সাপেক্ষে ফ্রেমের সমস্ত ঘটনা, এমনকি ওই ফ্রেমের ঘড়িও স্লো চলবে। আরও স্পষ্টভাবে বললে, কোন দর্শকের সাপেক্ষে গতিশীল ফ্রেমে সময় ওই দর্শকের নিজের ফ্রেমের সময়ের থেকে ধীরগতিতে বা স্লো চলবে। এটাই বিশেষ আপেক্ষিকতায় সময়ের প্রসারণ বা time dilation। একইভাবে যেহেতু ফ্রেমের সাপেক্ষে ফ্রেম বেগে গতিশীল, তাই ফ্রেমে অবস্থিত দর্শকের সাপেক্ষে ফ্রেমের ঘড়িও একইরকম স্লো চলবে। এখানেও দৈর্ঘ্য সংকোচনের মতই সময় প্রসারণের মান আপেক্ষিক বেগ ধনাত্মক কিংবা ঋণাত্মক তার উপর নির্ভর করেনা। উল্লেখযোগ্য যে কোন ফ্রেমের সাথে একই বেগে চলমান ঘড়িতে ওই ফ্রেমের একই বিন্দুতে (স্থির) দুটি ঘটনার মাঝে যে সময়ের ব্যবধান হয় তাকে ওই দুটি ঘটনার মাঝে প্রপার টাইম বলা হয় যাকে দিয়ে লেখা হয়। যেমন ফ্রেমের জন্য ।

সময় প্রসারণ ও দৈর্ঘ্য সংকোচন শুধুমাত্র তত্ত্ব নয়, পরিক্ষীত সত্য। এর একটি বিখ্যাত প্রাকৃতিক প্রয়োগ দেখা যায় পৃথিবীতে আগত মহাজাগতীয় রশ্মিতে। মহাজাগতীক রশ্মিতে মিউঅন বলে এক প্রকার কণা থাকে যা ইলেকট্রনের থেকে প্রায় ২০৭ গুণ বেশি ভারি। এই মিউঅনদের গড় আয়ু খুব কম, প্রায় s। মহাজাগতীক রশ্মিতে যে মিউঅন গুলো পাওয়া যায় তারা সাধারণত ভূ-পৃষ্ঠ থেকে প্রায় 10 km উর্দ্ধে তৈরি হয় ও ওদের গতিবেগ আলোর বেগের প্রায় 0.995 গুণ। সুতরাং ওদের জীবনকালে ওরা সর্বাধিক 600 m  দূরত্ব অতিক্রম করতে পারবে। তার মানে ওদের পক্ষে ভূ-পৃষ্ঠে পৌছানো কোনভাবেই সম্ভব নয়। অথচ বাস্তবে তার উল্টোটা হয়। ভূ-পৃষ্ঠের কাছেও ওদের অস্তিত্ব পাওয়া গেছে। এর কারণ সময় সম্প্রসারণ। যেহেতু মিউঅনগুলো প্রায় আলোর বেগে গতিশীল, তাই ভূ-পৃষ্ঠের সাপেক্ষে ওদের নিজস্ব ফ্রেমের ঘড়ি স্লো চলবে। ওদের বেগ যদি হয় তবে । সুতরাং ভূ-পৃষ্ঠের সাপেক্ষে ওদের গড় আয়ূ হবে প্রায় s এবং ওই সময়ে ওরা প্রায় 6 km দূরত্ব অতিক্রম করে ভূ-পৃষ্ঠের কাছাকাছি আসতে পারে। এই একই ঘটনাকে মিউয়নগুলির ফ্রেমের সাপেক্ষে দৈর্ঘ্য সংকোচন হিসেবেও ব্যাখ্যা করা যায়। মিউয়নের সাপেক্ষে ওদের উৎপত্তিস্থল থেকে ভূ-পৃষ্ঠ পর্যন্ত দূরত্ব একটি 0.995c বেগে গতিশীল স্কেলের মত। সুতরাং দৈর্ঘ্য সংকোচনের ফলে ওই স্কেলের দৈর্ঘ্য মিউয়নের সাপেক্ষে দাঁড়াবে km. যেহেতু ওদের গড় আয়ূর মধ্যেই মিউয়নগুলো প্রায় 600 m অতিক্রম করতে পারে, সুতরাং কিছু সংখ্যক মিউয়নের পক্ষে ভূ-পৃষ্ঠে পৌঁছে যাওয়া খুবই স্বাভাবিক।

আজকের আলোচনার বিষয়বস্তু সহজ করে বললে বলতে হয় যে বিশেষ আপেক্ষিকতার দরুন কোন দর্শকের সাপেক্ষে চলমান ঘড়ি স্লো চলবে ও চলমান স্কেলের দৈর্ঘ্য সংকুচিত হবে। এখানে উল্লেখযোগ্য যে এই দৈর্ঘ্য সংকোচন বা সময় প্রসারণ কিন্তু স্থান ও কালের মৌলিক বৈশিষ্ট। এগুলো পদার্থের পারমাণবিক গঠনের কোন পরিবর্তনের ফল নয়। স্থান ও কাল যে সম্পূর্ণ আপেক্ষিক বিষয়, বিশেষ আপেক্ষিকতার এই দুটি গুরুত্বপূর্ণ ফল তাই প্রমাণ করে। শেষ করার আগে আরেকটি বিষয় উল্লেখ না করলে আলোচনাটি অসম্পূর্ণ থাকবে। বিশেষ আপেক্ষিকতার এই দৈর্ঘ্য সংকোচন ও সময় প্রসারণ ছাড়াও কোন বস্তু ও দর্শকের আপেক্ষিক বেগের জন্য আরও কিছু ঘটনা ঘটে যাদের প্রভাবে এই সংক্রান্ত পরীক্ষার ফলাফল (6) ও (7) নং সমীকরণের থেকে ভিন্ন হতে পারে। মনে কর একটি ট্রেন তোমার দিকে আসছে। যেহেতু আলোর বেগ সসীম তাই ট্রেনের শেষ প্রান্ত থেকে আলো যে সময়ে তোমার চোখে পৌছবে সেই সময়ে ওর অগ্রভাগ তোমার দিকে আরও খানিকটা এগিয়ে যাবে, যার ফলে তুমি ট্রেনটির যে দৈর্ঘ্য মাপবে তা ওই ট্রেনের আসল দৈর্ঘ্যের থেকে বেশি হবে। নিচের ছবিতে ব্যাপারটি দেখানো হয়েছে। মনে কর ট্রেনের দূরবর্তি প্রান্ত থেকে তোমার চোখে আলো আসতে সময় লাগল । ওই সময়ে ট্রেনটির সম্মুখভাগ আরও দূরত্ব এমনভাবে এগিয়ে গিয়েছে যাতে সেখান থেকেও আলো একই সাথে (মানে শেষ প্রান্ত থেকে আগত আলোর সাথে) তোমার চোখে পৌঁছায়। সুতরাং,

                     (8)

হল ট্রেনের গতিবেগ ও হল ট্রেনের আসল দৈর্ঘ্য। সুতরাং তোমার সাপেক্ষে ট্রেনের আপাত দৈর্ঘ্য (বিশেষ আপেক্ষিকতার জন্য নয় কিন্তু) । তবে (8) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে,

                  (9a)

অনুরূপভাবে যদি ট্রেনটি তোমার থেকে দূরে চলে যায় তবে তাকে অপেক্ষাকৃত ছোট মনে হবে। সেক্ষেত্রে,

                  (9b)

সাথে সাথে অবশ্য বিশেষ আপেক্ষিকতা সংক্রান্ত দৈর্ঘ্য সংকোচনও ঘটবে। সুতরাং কোন এক মুহূর্তে কোন গতিশীল বস্তুর দুই প্রান্তের অবস্থান দেখে বা ছবি তুলে ওর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করলে তার থেকে বিশেষ আপেক্ষিকতার দরুন যে দৈর্ঘ্য সংকোচন ঘটে তা প্রত্যক্ষ করা সম্ভব নয়। তাহলে উপায়? একটি উপায় হল ট্রেনটির গতিপথের কোন একটি বিন্দুতে দাঁড়িয়ে (তার মানে রেললাইনের ধারে দাঁড়িয়ে বিড়ি খেতে থাক যতক্ষন না ট্রেন আসে) ট্রেনের জন্য অপেক্ষা করা। যেহেতু ট্রেনের গতিবেগ তোমার জানা, তাই ট্রেনটির তোমার উপর দিয়ে ( বা আরও সঠিকভাবে বললে তোমার ব্যবহৃত সময় পরিমাপের যন্ত্রপাতির উপর দিয়ে) পুরো অতিক্রম করতে যে সময় লাগে সেই সময়ের সাথে ওর বেগ গুণ করলেই তোমার সাপেক্ষে ওর দৈর্ঘ্য গণনা করা সম্ভব। আপেক্ষিক বেগ ও আলোর সসীম বেগের আরেকটি ফল হল ডপলার এফেক্ট, যার সম্মন্ধে তোমরা হয়তো জানো। এই ডপলার এফেক্ট সময় প্রসারণ সংক্রান্ত পরীক্ষার ফলাফলের উপর প্রভাব বিস্তার করতে পারে যার সম্মন্ধে পরে একদিন বিস্তারিত আলোচনা করব। আজ এপর্যন্তই রইল।