টেন্সর আরও বিশদে

এই পোস্টটি বুঝতে গেলে এর আগের টেন্সর সম্পর্কিত পোস্টটি পড়ে নেওয়া অপরিহার্য। আজ আমরা টেন্সরের আরও কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট বিশদে আলোচনা করব। তার আগে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানো কিছু সংখ্যাকে কেবল তখনই টেন্সর বলা হয় যদি কোঅর্ডিনেট ফ্রেমের ঘূর্ণনের ফলে ওই সংখ্যাগুলি নির্দিষ্ট কিছু রূপান্তরণের সমীকরণ মেনে চলে। কোন দ্বিতীয় মাত্রার (second rank) টেন্সরের জন্যে ওই রূপান্তরণের সমীকরণগুলি হল,

$\displaystyle A'^{ij} = \sum_{k, l} \frac{\partial x'^i}{\partial x^k} \frac{\partial x'^j}{\partial x^l} A^{kl}$ …………… (1a)

যদি ${\bf A}$ কনট্রাভ্যারিয়েন্ট টেন্সর হয়। একইভাবে কোন দ্বিমাত্রিক (second rank) কোভ্যারিয়েন্ট টেন্সরের জন্য,

$\displaystyle B'_{ij} = \sum_{k, l} \frac{\partial x^k}{\partial x'^i} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} B_{kl}$ …………. …(1b)

এবং মিশ্র দ্বিমাত্রিক (second rank) টেন্সরের জন্য,

$\displaystyle {C'}_j^i = \sum_{k, l} \frac{\partial x'^i}{\partial x^k} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} C_l^k$ ……………….(1c)

আইনস্টাইন প্রচলিত সামেশন বা যোগের রীতি ব্যবহার করে উপোরোক্ত সমীকরণগুলিকে আরও একটু সংক্ষেপে লেখা যায়। এই রীতি অনুসারে যদি কোন সমীকরণের ডান বা বামদিকে একই সূচক দুবার থাকে, একবার উর্ধ্বসূচক ও একবার নিম্নসূচকরূপে, তবে ওই দিকের রাশিমালাকে ওই সূচকের সমস্ত মানের জন্য পরষ্পরের সাথে যোগ করতে হবে। সামেশন রীতি ব্যবহার করলে সামেশন চিহ্নটিকে আর স্পষ্ট করে লেখার প্রয়োজন হয়না। যেমন উপরের তিনটি সমীকরণ এই রীতি ব্যবহার করে লিখলে এরকম দাঁড়ায়,

$\displaystyle A'^{ij} = \frac{\partial x'^i}{\partial x^k} \frac{\partial x'^j}{\partial x^l} A^{kl}= \partial_k x'^i \partial_l x'^j A^{kl}$ ……………………(2a)

$\displaystyle B'_{ij} = \frac{\partial x^k}{\partial x'^i} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} B_{kl}$ …………………….(2b)

$\displaystyle {C'}_j^i = \frac{\partial x'^i}{\partial x^k} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} C_l^k = \partial_k x'^i \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} C_l^k$ ………………………(2c)

এই সমীকরণগুলিতে দেখ যে সমান চিহ্নের ডানদিকে $k$ ও $l$ এই সূচক দুটো দুবার করে আছে – একবার $x$ এর সূচক হিসেবে এবং আরেকবার $A$ , $B$ কিংবা $C$ এর সূচক হিসেবে। তাই $k$ ও $l$ এর উপরে সামেশন চিহ্নটিকে আর স্পষ্ট করে লেখার প্রয়োজন নেই। যেহেতু $k$ ও $l$ দুবার করে আছে, তাই ওদের সমস্ত মানের জন্য ওই ডানদিকের পদগুলিকে পরষ্পরের সাথে যোগ করতে হবে। তবে এখানে বলে রাখা ভাল যে একই সূচক যদি শুধু দুবার উর্ধ্ব বা দুবার শুধু নিম্নসূচকরূপে থাকে তবে সেক্ষেত্রে সামেশন রীতি প্রযোজ্য নয়। উর্ধ্ব এবং নিম্নসূচকরূপে পুনরাবৃত্তি হয়েছে এরকম সূচকদের ডামি সূচক (dummy index) বলা হয় এবং কেবল এই ডামি সূচকদের জন্যেই আইনস্টাইন প্রচলিত যোগের রীতি প্রযোজ্য।

এবারে টেন্সরের একটি অতিপরিচিত উদাহরণ দিচ্ছি। ক্রোনেকার ডেল্টা চিহ্নের সাথে আশাকরি তোমরা সকলেই পরিচিত যাকে $delta_l^k$ বা অনেক সময় $delta_{kl}$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এই ক্রোনেকার ডেল্টার মান কেবল $k=l$ হলে তবেই 1, অন্যথায় এর মান শূন্য। চল প্রমাণ করা যাক যে এই ক্রোনেকার ডেল্টা আসলে একটি মিশ্র টেন্সর। স্পষ্টতই ক্রোনেকার ডেল্টার সংজ্ঞা (এবং সামেশন রীতি) ব্যবহার করে,

$\displaystyle \frac{\partial x'^i}{\partial x^k} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} delta_l^k = \frac{\partial x'^i}{\partial x^k} \frac{\partial x^k}{\partial x'^j}$ …………….. (3)

এবারে আংশিক ডেরিভেটিভের বৈশিষ্ট ব্যবহার করে,

$\displaystyle \frac{\partial x'^i}{\partial x^k} \frac{\partial x^k}{\partial x'^j} = \frac{\partial x'^i}{\partial x'^j}$ …………………. (4)

যেহেতু $x'^i$ এবং $x'^j$ পরষ্পরের উপর নির্ভর করেনা (যেমন দ্বিমাত্রায় $x'$ ও $y'$ স্থানাঙ্ক পরষ্পরের সাপেক্ষে স্বতন্ত্র), তাই (4) নম্বর সমীকরণের ডানদিকের এই আংশিক ডেরিভেটিভের মান কেবল তখনই 1 হবে যদি $i = j$ । অন্যথায় ওই আংশিক ডেরিভেটিভের মান শূন্য। অতএব (4) নং সমীকরণের ডানদিকের পার্শিয়াল বা আংশিক ডেরিভেটিভ হল ক্রোনেকার ডেল্টা।

$\displaystyle \frac{\partial x'^i}{\partial x'^j} = {delta'}_{j}^{i}$ ……………..(5)

অতএব (3), (4) ও (5) নং সমীকরণ ব্যবহার করে,

$\displaystyle {delta'}_{j}^{i} = \frac{\partial x'^i}{\partial x^k} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} delta_l^k$

যা মিশ্র টেন্সরের রূপান্তরণের নিয়ম (2c) মেনে রূপান্তরিত হচ্ছে। অতএব ক্রোনেকার ডেল্টা হল একটি মিশ্র টেন্সর যার rank 2।

যদি ${\bf A}$ ও ${\bf B}$ দুটি দ্বিতীয় rank -এর টেন্সর হয় তবে তাদের যোগফলও একটি 2 rank বিশিষ্ট টেন্সর ${\bf C}$ । এই যোগের ফলে উৎপন্ন নতুন টেন্সরের উপাদানসমূহ নিচে দেওয়া এই সমীকরণ থেকে বের করা যায়,

$\displaystyle A^{ij} + B^{ij} = C^{ij}$ …………………. (6)

এই সমীকরণটি যেকোন rank বিশিষ্ট টেন্সরের জন্যেই প্রযোজ্য, শুধু ${\bf A}$ ও ${\bf B}$ টেন্সর দুটোর rank সমান হতে হবে এবং ওদের যোগের ফলে উৎপন্ন টেন্সরও ওই একই rank বা মাত্রাবিশিষ্ট টেন্সর হবে। (6) নং সমীকরণের জন্যে আরেকটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল এই যে ${\bf A}$ ও ${\bf B}$ টেন্সরের উপাদানগুলিকে একই মাত্রা (dimension) বিশিষ্ট স্থানে বা কোঅর্ডিনেট ফ্রেমের সাপেক্ষে লিখতে হবে। [লক্ষ্য রাখবে যে আমরা rank ও dimension এই দুটো শব্দেরই বাংলা প্রতিশব্দ হিসেবে “মাত্রা” কথাটি ব্যবহার করেছি। তবে আশাকরি কোন প্রসঙ্গে কথাটি ব্যবহৃত হয়েছে সেখান থেকেই “মাত্রা” বলতে কি বোঝানো হয়েছে সেটা পরিষ্কার হয়ে যাবে।]

কোন টেন্সর ${\bf A}$ এর উপাদানগুলি যদি এমন হয় যে $k$ ও $l$ সূচকের সমস্ত মানের জন্য

$\displaystyle A^{kl} = A^{lk}$

তবে তাকে বলা হয় সিমেট্রিক বা প্রতিসম টেন্সর (symmetric tensor)। আর যদি,

$\displaystyle A^{kl} = -A^{lk}$

তবে ওই টেন্সরকে বলা হবে অপ্রতিসম বা antisymmetric টেন্সর। যেকোন 2 rank বিশিষ্ট টেন্সরকে একটি প্রতিসম ও একটি অপ্রতিসম টেন্সরে ভেঙ্গে ফেলা যায়। কিভাবে? বীজগণিতের নিয়ম থেকে এটা সহজেই দেখতে পাচ্ছ যে,

$\displaystyle A^{kl} = \frac{1}{2}(A^{kl} + A^{lk}) + \frac{1}{2}(A^{kl} - A^{lk})$ ………………….(7)

এই সমীকরণের ডানদিকের প্রথম পদটিতে (প্রথম বন্ধনীর মধ্যে) $l$ ও $k$ এর স্থান পরষ্পরের সাথে বদল করলেও টেন্সরের কোন পরিবর্তন হয়না, অতএব এটা একটি প্রতিসম টেন্সর। অপরপক্ষে ডানদিকের দ্বিতীয় পদটিতে $l$ ও $k$ এর স্থান পরষ্পরের সাথে বদল করলে ওই পদের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে যায়। অর্থাৎ ওটা অপ্রতিসম টেন্সর। সুতরাং আমরা মূল ${\bf A}$ টেন্সরকে একটি প্রতিসম ও একটি অপ্রতিসম টেন্সরে ভেঙ্গে ফেলতে সক্ষম হয়েছি।

মনে কর $a^i$ হল একটি কনট্রাভ্যারিয়েন্ট ভেক্টরের উপাদানসমূহ ( $i$ এর বিভিন্ন মানের জন্য) এবং $b_j$ হল একটি কোভ্যারিয়েন্ট ভেক্টরের উপাদানসমূহ ( $j$ এর বিভিন্ন মানের জন্য)। তবে $i$ ও $j$ এর যেকোন মানের জন্য $b_ja^i$ একটি দ্বিতীয় rank বা মাত্রাবিশিষ্ট টেন্সরের উপাদানগুলিকে প্রকাশ করে। এটা প্রমাণ করা সহজ। তোমরা দেখেছো যে ফ্রেমের আবর্তনের ফলে,

$\displaystyle a'^i = \frac{\partial x'^i}{\partial x^k}a^k$

$\displaystyle b'_j = \frac{\partial x^l}{\partial x'_j}b_l$

অতএব,

$\displaystyle b'_j a'^i = \frac{\partial x^l}{\partial x'_j}b_l \frac{\partial x'^i}{\partial x^k}a^k = \frac{\partial x^l}{\partial x'_j}\frac{\partial x'^i}{\partial x^k} (b_l a^k)$ ……………… (8)

এটা (2c) নং সমীকরণে প্রদত্ত মিশ্র টেন্সরের রূপান্তরণ সূত্র। অতএব $b_ja^i$ একটি দ্বিতীয় rank বা মাত্রাবিশিষ্ট মিশ্র টেন্সরের উপাদান। দুটো ভেক্টরের এইরকম গুণফলকে বলা হয় direct গুণ। এই direct গুণ টেন্সরের জন্যেও প্রযোজ্য। যেকোন দুটি টেন্সরের direct গুণের ফলে যে নতুন টেন্সর তৈরি হয় তার rank বা মাত্রা প্রারম্ভিক দুটি টেন্সরের মাত্রার যোগফল। যেমন উপরের উদাহরণে ${\bf b}$ এবং ${\bf a}$ হল দুটি ভেক্টর যা আসলে 1 rank বা মাত্রাবিশিষ্ট টেন্সর, অতএব তাদের direct গুণের ফলে 2 rank বা মাত্রাবিশিষ্ট একটি টেন্সর উৎপন্ন হয়েছে। সাধারণভাবে,

$\displaystyle A^{ij} B_{kl} = C_{kl}^{ij}$

এই direct গুণের ক্ষেত্রে ${\bf A}$ ও ${\bf B}$ হল 2 rank বা মাত্রাবিশিষ্ট এবং তাদের গুণফল ${\bf C}$ একটি 4 rank বা মাত্রাযুক্ত টেন্সর।

(8) নম্বর সমীকরণে যদি $i =j$ ব্যবহার করা যায় তবে পার্শিয়াল বা আংশিক ডেরিভেটিভের সূত্র এবং ক্রোনেকার ডেল্টা টেন্সরের বৈশিষ্ট [(4) ও (5) নং সমীকরণ] ব্যবহার করে,

$\displaystyle b'_j a'^j = \frac{\partial x^l}{\partial x'_j}\frac{\partial x'^j}{\partial x^k} (b_l a^k) = \frac{\partial x^l}{\partial x^k} (b_l a^k)= delta_k^l (b_l a^k)=b_la^l$ ……………….. (9)

অর্থাৎ ফ্রেমের আবর্তনের ফলে $b'_j a'^j = b_l a^l$ । সুতরাং এটা একটি স্কেলার যার মান কোঅর্ডিনেট ফ্রেমের ঘূর্ণনের ফলে পরিবর্তিত হয়না। কোন দ্বিতীয় মাত্রা বা rank বিশিষ্ট মিশ্র টেন্সরের উর্ধ্ব ও নিম্নসূচককে এক করে দিলে যে ফল পাওয়া যায় তা একটি স্কেলার। উর্ধ্ব ও নিম্নসূচক এক হওয়ার অর্থ হল টেন্সরের (মেট্রিক্সে) কোণাকুণি (diagonal) উপাদানগুলিকে পরষ্পরের সাথে যোগ করা (সামেশন রীতি)। এই ঘটনাকে বলা হয় টেন্সরের সংকোচন বা contraction। সাধারণভাবে যেকোন দ্বিতীয় মাত্রার মিশ্র টেন্সর ${\bf C}$ এর জন্য,

$\displaystyle {C'}_i^i = \frac{\partial x'^i}{\partial x^l} \frac{\partial x^k}{\partial x'^i} C_k^l = \frac{\partial x^k}{\partial x^l} C_k^l = delta_l^k C_k^l = C_k^k$ ……………………. (10)

যেহেতু দ্বিতীয় মাত্রার (rank) টেন্সর প্রকাশ করা হয় মেট্রিক্সের মাধ্যমে, তাই মেট্রিক্স বীজগণিতের সমস্ত সূত্রাবলী টেন্সরের জন্যেও প্রযোজ্য। যেমন উপরের উদাহরণে টেন্সর সংকোচন আসলে মেট্রিক্সের ট্রেস (trace) বের করারই নামান্তর মাত্র। পরিশেষে বলে রাখি যে টেন্সর হল একাধিক স্কেলার, ভেক্টর কিংবা টেন্সরের মাঝের রৈখিক বা একঘাতবিশিষ্ট সম্পর্কের বা সমীকরণের সংহত রূপ। টেন্সরের উপর প্রারম্ভিক আলোচনাতে আপাতত এখানেই ইতি টানছি। এর পরে যখন যেখানে যেমন প্রয়োজন হবে সেখানে টেন্সর সম্মন্ধে আরও আলোচনা করা হবে। ভালো থেকো।

4 thoughts on “টেন্সর আরও বিশদে”

Sujoy says:

April 23, 2014 at 3:14 am

Post duto peye khub valo laglo… Aro likhte thakun..dhonyobad

1. admin says:
  
  April 23, 2014 at 4:06 pm
  
  🙂 অবশ্যই।
  
মিঠুন রায় says:

April 24, 2014 at 8:40 pm

ভাল লাগল :)।
আচ্ছা টেনসরের প্রয়োগটা কি করে বুঝব ? যেমন কোন কোন ক্ষেত্রে বুঝব যে এখানে টেনসর প্রয়োগ করতে হবে ? যেমন সাধারন আপেক্ষিক তত্তে এর প্রয়োগ আছে । কিংবা ডিরাক সমীকরণেও আছে । এসব জায়গায় কাঠামো ঘূর্ণনের ব্যাপারটা কোথায় যে টেনসর প্রয়োগ করতে হবে?
আর এর (টেন্সর) এই কয়টাই নিয়ম বা বৈশিষ্ট্য আছে নাকি আরও আছে?

1. admin says:
  
  April 25, 2014 at 3:36 am
  
  ধন্যবাদ মিঠুন। টেন্সরের আরও অনেক বৈশিষ্ট ও প্রয়োগ আছে। সত্যি কথা বলতে গেলে শুধু টেন্সরের উপরেই লেখা হয়েছে এরকম বইও আছে। তুমি হয়তো এর আগের পোস্টের একটি বিষয় লক্ষ্য করনি। সেটা হল যে মিনকোভস্কি স্থানে কাঠামো ঘূর্ণনের জায়গা লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ নেয়। অর্থাৎ মিনকোভস্কি স্থানে ফ্রেমের লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের ফলে যেসকল রাশির উপাদান নির্দিষ্ট কিছু নিয়ম মেনে রূপান্তরিত হয় তারাই টেন্সর। আর কোথায় কোথায় টেন্সরের প্রয়োগ করতে হবে সেটা প্রদত্ত পরিস্থিতি থেকেই বোঝা যায়। যেমন দ্বিমাত্রায় চুম্বক ক্ষেত্রের উপস্থিতিতে তড়িৎ পরিবহনের জন্য টেন্সর ব্যবহার করতে হয়েছে। সাধারণত পদার্থবিদ্যায় একঘাতবিশিষ্ট কিছু সমীকরণকে (system of linear equation) সুগঠিত করে লেখার প্রয়োজনেই টেন্সরের প্রয়োগ। যেমন দুটো ভেক্টরের পরষ্পরের সাথে সম্পর্ক টেন্সরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। আমরা টেন্সর সম্মন্ধে আরও আলোচনা করব, তবে সেটা যখন যেমন দরকার হবে সেভাবে। প্রয়োগের মাধ্যমে কোন জিনিস শেখাটা বুঝতে অনেক সহজ হয়ে যায়। ভালো থেকো। 🙂

টেন্সর আরও বিশদে

Related

4 thoughts on “টেন্সর আরও বিশদে”

Leave a Reply to Sujoy Cancel reply

Share this:

Related

4 thoughts on “টেন্সর আরও বিশদে”

Leave a Reply to Sujoy Cancel reply