তড়িৎ গতিবিদ্যা – ফোর পোটেনশিয়াল, ফিল্ড টেন্সর এবং ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের কোভ্যারিয়েন্ট রূপ

স্কেলার ও ভেক্টর পোটেনশিয়াল ব্যবহার করে ম্যাক্সওয়েলর চারটি তড়িৎ-চুম্বকিয় তত্ব সম্পর্কিত সমীকরণকে দুটি সমীকরণে পরিণত করা যায়। শুধু তাই নয়, এটাও দেখিয়েছি যে লোরেন্‍ৎস গেজের শর্ত অনুসারে ওই পোটেনশিয়াল সংক্রান্ত দুটি সমীকরণ মূলত দুটি তরঙ্গের সমীকরণ। আজ চল তড়িৎ গতিবিদ্যা সম্পর্কিত এই বিশেষ পোস্ট আধানের ধারাবাহিকতার সমীকরণ বা কন্টিনিউয়িটি সমীকরণ (conti\nuity equation) দিয়ে আরম্ভ করা যাক।

$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol\nabla . {\bf J}$ ………….. (1)

যথারীতি এখানে $rho$ ও ${\bf J}$ হল যথাক্রমে আধান ও তড়িৎ প্রবাহের ঘনত্ব।

[বিঃদ্রঃ – আজকের আলোচনার প্রায় সবটাই টেন্সর ও ফোর ভেক্টর নির্ভর। তাই এই পোস্টটি বুঝতে হলে টেন্সর ও ভেক্টর সম্মন্ধে আলোচনা ঝালিয়ে নেওয়া উচিত। শুধু তাই নয়, এই পোস্টটি এর আগের স্কেলার ও ভেক্টর পোটেনশিয়াল সংক্রান্ত আলোচনাটির উপর ভিত্তি করে লেখা। আরও মনে রাখবে যে আমরা আইনস্টাইন প্রবর্তিত যোগের রীতি ব্যবহার করেছি। এছাড়াও $x^1 =x, x^2 = y, x^3 = z, x^0 = ct$ , $J^1=J_x, J^2 = J_y, J^3 = J_z$ , $E^1 = E_x, E^2 = E_y, E^3 = E_z$ … ইত্যাদি। এখানে উর্দ্ধসূচকগুলো কিন্তু ঘাত নয়।]

এবারে এর আগের পোস্টে প্রদত্ত কোন ফোর ভেক্টরের $(J^{\mu})$ ফোর ডাইভারজেন্সের রাশিমালা এখানে লিখে দেখা যাক সেটা কোন কাজে আসে কিনা,

$\displaystyle \partial_{\mu} J^{\mu} = \partial^{\mu}J_{\mu} = \frac{1}{c}\frac{\partial J^0}{\partial t} + boldsymbolnabla . {\bf J}$ ……………. (2)

অর্থাৎ যদি আমরা ধরে নেই যে $\displaystyle J^0 = rho c, J^1 = J_x, J^2 = J_y$ এবং $\displaystyle J^3 = J_z$ , তবে কন্টিনিউয়িটি সমীকরনকে এভাবে লেখা সম্ভব,

$\displaystyle \partial_{\mu}J^{\mu} = 0$ …………….. (3)

যেখানে, $\displaystyle J^{\mu} equiv (rho c, J_x, J_y, J_z) = (rho c, {\bf J})$ কে বলা হয় কারেন্ট ডেনসিটি ফোর ভেক্টর। আধানের ঘনত্ব যে একটি ফোর ভেক্টরের সময়ের মত বা শূন্যতম উপাদানের মত করে রূপান্তরিত হয় সেটা আরেকটি বিষয় থেকেও বোঝা যায়। তোমরা জানো যে মোট আধান সর্বদা সংরক্ষিত, বা মোট আধান একটি স্কেলার রাশি। মনে কর কোন কোঅর্ডিনেট সিস্টেমে একটি ক্ষুদ্র আয়তন $d^3r = dx^1 dx^2 dx^3$ -এ আধানের ঘনত্ব $rho$ । তাহলে সেখানে মোট আধান $rho d^3r$ হল একটি স্কেলার রাশি। লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের মাধ্যমে যদি এবারে অন্য একটি ফ্রেমে যাওয়া যায়, তাহলে স্পষ্টতই $\displaystyle rho' d^3r' = rho d^3r$ । আবার আমরা জানি যে ফোর ভলিউম বা আয়তনও একটি লোরেন্‍ৎস স্কেলার। $\displaystyle d^4r' = dx'^0 d^3r' = d^4r = dx^0d^3r$ । মোট আধান ও ফোর ভলিউমের এই দুটি রাশিমালা তুলনা করে দেখা যায় যে আধানের ঘনত্ব কোন একটি ফোর ভেক্টরের সময়ের মত উপাদানের মত করে আচরণ করবে।

এর আগের পোস্টে দেখেছি যে লোরেন্‍ৎস গেজ ব্যবহারের ফলে স্কেলার ও ভেক্টর পোটেনশিয়ালের সমীকরণ দুটো তরঙ্গের সমীকরণে রূপান্তরিত হয়। এবারে যদি ওই সমীকরণদুটোকে কারন্ট ডেনসিটি ফোর ভেক্টরের মাধ্যমে লিখে ফেলা যায় তবে,

$\displaystyle Box \phi = \frac{rho}{e\psilon_0}= \frac{J^0}{ce\psilon_0} implies Box \frac{\phi}{c} = \frac{J^0}{c^2e\psilon_0} = \mu_0 J^0$ ………… (4a)

$\displaystyle Box {\bf A} = \mu_0 {\bf J}$ …………….. (4b)

(4a) ও (4b) সমীকরণের ডানদিকের রাশিগুলো [যথাক্রমে $J^0$ এবং ${\bf J}$ ] হল ফোর ভেক্টরের উপাদান। অপরপক্ষে বাদিকের ‘বক্স’ অপারেটর একটি স্কেলার অপারেটর। সুতরাং সমান চিহ্নের বাদিকের স্কেলার ও ভেক্টর পোটেনশিয়াল মিলিয়েও একটি ফোর ভেক্টর গঠন করা প্রয়োজন, যাকে বলা হয় ফোর পোটেনশিয়াল,

$\displaystyle A^{\mu} = \left(\frac{\phi}{c}, {\bf A}\right)$ ………….. (5)

ফোর পোটেনশিয়াল ব্যবহার করলে (4a) এবং (4b) সমীকরণদুটি থেকে,

$\displaystyle Box A^{\mu} = \partial_{\nu} \partial^{\nu} A^{\mu}=\mu_0 J^{\mu}$ ………………. (6)

দেখতে পাচ্ছ তো যে ফোর পোটেনশিয়াল ও পার্শিয়াল ডেরিভেটিভ অপারেটরের ফোর ভেক্টর ব্যবহার করে আমরা সমস্ত ম্যাক্সোয়েলের সমীকরণগুলিকে এক করে একটি সমীকরণ তৈরি করতে সক্ষম হয়েছি। এবারে আমরা ফোর পোটেনশিয়াল ব্যবহার করে তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্র নির্ণয় করতে পারি,

$\displaystyle {\bf E} = -boldsymbolnabla\phi - \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}$

বা, $\displaystyle E^1 = E_x = -\frac{\partial \phi}{\partial x^1} - \frac{\partial A^1}{\partial t} = c \left( -\frac{\partial}{\partial x^1}(\phi/c) - \frac{\partial A^1}{\partial x^0} \right)$

$\displaystyle = c\left(-\partial_1 A^0 - \partial_0 A^1 \right) = -c\left( \partial^0 A^1 -\partial^1 A^0\right) = -cF^{01} = cF^{10}$ ………………..(7a)

একইভাবে,

$\displaystyle E^2 = E_y = -c\left( \partial^0 A^2 -\partial^2 A^0\right) = -cF^{02} = cF^{20}$ ………………..(7b)

$\displaystyle E^3 = E_z = -c\left( \partial^0 A^3 -\partial^3 A^0\right) = -cF^{02} = cF^{20}$ ………………………….(7c)

আবার, $\displaystyle {\bf B} = boldsymbolnabla times {\bf A}$

$\displaystyle B^1 = B_x = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right)$

$\displaystyle = \left(\frac{\partial A^3}{\partial x^2} - \frac{\partial A^2}{\partial x^3}\right) = \left( \partial_2 A^3 - \partial_3 A^2 \right) = -\left(\partial^2 A^3 - \partial^3 A^2 \right) = - F^{23} = F^{32}$ ………………..(8a)

$\displaystyle B^2 =B_y= -\left(\partial^3 A^1 - \partial^1 A^3 \right) = - F^{31} = F^{13}$ …………….. ….(8b)

$\displaystyle B^3 =B_z= -\left(\partial^1 A^2 - \partial^2 A^1 \right) = - F^{12} = F^{21}$ ………………………(8c)

সুতরাং তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্রদের একত্রে একটি দ্বিতীয় মাত্রার টেন্সরের $\displaystyle (F^{\mu \nu})$ উপাদান হিসেবে লেখা সম্ভব,

$\displaystyle F^{\mu \nu} = \left(\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}\right)$

এবং,

$\displaystyle F= \left (begin{matrix} 0 & -E^1/c & - E^2/c & -E^3/c \ E^1/c & 0 & -B^3 & B^2 \ E^2/c & B^3 & 0 & -B^1 \ E^3/c & -B^2 & B^1 & 0 end{matrix} \right)$ ……………(9)

স্পষ্টতই এটা একটি অপ্রতিসম টেন্সর যার $F^{\mu\mu}=0$ এবং $F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$ । এই টেন্সরের নাম ফিল্ড টেন্সর এবং ফিল্ড টেন্সর ব্যবহার করেও ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণগুলোকে লেখা যায়। তবে সেটা করতে গেলে আগে লোরেন্‍ৎস গেজের শর্তকে ফোর ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। তোমরা দেখেছো যে লোরেন্‍ৎস গেজের শর্ত হল,

$\displaystyle \frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + boldsymbolnabla.{\bf A} = 0$

বা, $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^0}(\phi/c) + boldsymbolnabla.{\bf A} = 0$

বা, $\displaystyle \partial_{\mu}A^{\mu}=0$ ……………….. (10)

এবারে আমরা ফিল্ড টেন্সর ব্যবহার করতে পারি,

$\displaystyle \partial_{\mu}F^{\mu \nu} = \partial_{\mu} \left( \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}\right)$

$\displaystyle = \partial_{\mu} \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}\partial_{\mu}A^{\mu}$

$\displaystyle = \partial_{\mu} \partial^{\mu}A^{\nu} - 0$ [(10) নম্বর সমীকরণ থেকে]

$\displaystyle = \mu_0 J^{\nu}$ [(6) নম্বর সমীকরণ ব্যবহার করে]

বা, $\displaystyle \partial_{\mu}F^{\mu \nu} = \mu_0 J^{\nu}$ …………. (11)

এটাই ম্যাক্সওয়েলের ইনহোমোজিনিয়াস সমীকরণদুটোর সংহত রূপ। অচেনা ঠেকছে তো? চল এই সমীকরণটিকে ভেঙ্গে দেখা যাক ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ পাওয়া যায় কিনা? প্রথমেই ধর $\nu = 0$ । তবে,

$\displaystyle \partial_{\mu}F^{\mu 0} = \mu_0 J^0$

$\displaystyle \partial_0F^{00} + \partial_1 F^{10} + \partial_2F^{20} +\partial_3F^{30}= \mu_0 J^0$

ফিল্ড টেন্সরের উপাদানগুলি থেকে দেখা যাচ্ছে যে,

$\displaystyle 0 + \frac{1}{c}\partial_1 E^1 + \frac{1}{c}\partial_2 E^2 +\frac{1}{c}\partial_3 E^3= \mu_0 J^0$

$\displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z}= \mu_0 c^2rho$ [যেহেতু $J^0 = rho c$ ]

$\displaystyle boldsymbolnabla.{\bf E} = \frac{rho}{e\psilon_0}$ [যেহেতু $c = 1/sqrt{\mu_0e\psilon_0}$ ] …………… (12)

এটা অবশ্যই চিনতে পারছ। এবারে মনে কর $\nu = 1$ , তাহলে,

$\displaystyle \partial_{\mu}F^{\mu 1} = \mu_0 J^1$

$\displaystyle \partial_0F^{01} + \partial_1 F^{11} + \partial_2F^{21} +\partial_3F^{31}= \mu_0 J_x$

ফিল্ড টেন্সরের উপাদানগুলি থেকে দেখা যাচ্ছে যে,

$\displaystyle -\frac{1}{c^2}\frac{\partial E^1}{\partial t} + 0 + \frac{\partial B^3}{\partial y} - \frac{\partial B^2}{\partial z} = \mu_0 J_x$

$\displaystyle \frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = \mu_0 J_x + \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_x}{\partial t}$ ……………… (13a)

একইভাবে $\nu = 2$ বসিয়ে,

$\displaystyle \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0 J_y + \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_y}{\partial t}$ ………………. (13b)

$\nu = 3$ বসিয়ে,

$\displaystyle \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \mu_0 J_z + \frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}$ ……………….. (13c)

এই তিনটি সমীকরণ [(13a), (13b), 13(c)] একসাথে করলে,

$\displaystyle boldsymbolnabla times {\bf B} = \mu_0 {\bf J} + \mu_0 e\psilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}$ ……………….. (14)

ম্যাক্সওয়েলের বাকিদুটো সমীকরণকে ফিল্ড টেন্সরের মাধ্যমে সহজে লিখতে হলে আমাদের আরেক ধরনের ফিল্ড টেন্সরের সাথে পরিচিত হতে হবে, যাকে বলা হয় ডুয়াল ফিল্ড টেন্সর $mathscr{F}^{\alpha \beta}$ এবং,

$\displaystyle mathscr{F}^{\alpha \beta}= \frac{1}{2}e\psilon^{\alpha\beta\gammadelta}F_{\gammadelta}$ ………………………. (15)

যেখানে, $\displaystyle F_{\gammadelta} = eta_{\mu \gamma}eta_{\nu delta}F^{\mu \nu}$ হল কোভ্যারিয়েন্ট ফিল্ড টেন্সর। $eta_{\mu \gamma}, eta_{\nu delta}$ যথারীতি মেট্রিক টেন্সরের উপাদান।

$e\psilon^{\alpha\beta\gammadelta}$ কে বলা হয় লেভি-সিভিটা (levi-cevita) চিহ্ন, যা প্রকৃতপক্ষে একটি সম্পূর্ণরূপে অপ্রতিসম চার মাত্রা (rank) বিশিষ্ট টেন্সর। এর সংজ্ঞা হল,

$\displaystyle e\psilon^{\alpha\beta\gammadelta} = \left[begin{matrix}+1 & text{ if }\alpha=0, \beta=1, \gamma=2, delta=3 text{ and any even per\mutation} \ -1 & text{ for any odd per\mutation of the index with respect to } \alpha=0, \beta=1, \gamma=2, delta=3 \ 0 & text{ if any two indices are same} end{matrix} \right.$

লেভি-সিভিটা চিহ্নটিকে একটু উদাহরণ দিয়ে বলছি। সংজ্ঞা থেকে স্পষ্ট যে $e\psilon^{0123}=+1$ । এবারে বলতো $e\psilon^{1023}=?$ । দেখ এক ও শূন্যকে পরষ্পরের সাথে একবার স্থান বদলালেই আমরা আবার $e\psilon^{0123}$ পেয়ে যাব; অতএব $e\psilon^{1023}=-1$ । একইভাবে $e\psilon^{3201}=-1$ , কারণ এখানে তিন বার সূচকগুলিকে নিজেদের স্থান বদলালে তবে আমরা $e\psilon^{0123}$ পাব; অর্থাৎ $3201 to 1203 to 1023 to 0123$ । তেমনি $e\psilon^{1203}=+1$ ; কারণ $1203 to 1023 to 0123$ । ইত্যাদি ইত্যাদি….

এত জটিলতার মধ্যে না যেতে চাইলে $F^{\mu\nu}$ থেকে সহজে $mathscr{F}^{\mu\nu}$ পেতে হলে শুধু ${\bf E}/c to {\bf B}$ এবং ${\bf B} to -{\bf E}/c$ করে দিলেই হল। তার মানে,

$\displaystyle mathscr{F} = \left (begin{matrix} 0 & -B^1 & - B^2 & -B^3 \ B^1 & 0 & E^3/c & -E^2/c \ B^2 & -E^3/c & 0 & E^1/c \ B^3 & E^2/c & -E^1/c & 0 end{matrix} \right)$ ……………… (16)

এই ডুয়াল টেন্সর ব্যবহার করে ম্যাক্সওয়েলের হোমোজিনিয়াস সমীকরণদুটি সহজেই লেখা যায় নিচের মত করে,

$\displaystyle \partial_{\mu}mathscr{F}^{\mu\nu}=0$ …………. (17)

এটাকে পরীক্ষা করতে হলে প্রথমে ধরে নাও $\nu =0$ তাহলে,

$\displaystyle \partial_{\mu}mathscr{F}^{\mu 0}=0$

$\displaystyle \partial_{0}mathscr{F}^{0 0} + \partial_{1}mathscr{F}^{1 0} +\partial_{2}mathscr{F}^{2 0} +\partial_{3}mathscr{F}^{3 0}=0$

$\displaystyle 0+\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$

$\displaystyle boldsymbolnabla.{\bf B} = 0$ ………………… (18)

এবারে মন কর $\nu =1$ , তবে,

$\displaystyle \partial_{0}mathscr{F}^{0 1} + \partial_{1}mathscr{F}^{1 1} +\partial_{2}mathscr{F}^{2 1} +\partial_{3}mathscr{F}^{3 1}=0$

$\displaystyle -\frac{1}{c}\frac{\partial B_x}{\partial t} +0 -\frac{1}{c}\frac{\partial E_z}{\partial y} + \frac{1}{c}\frac{\partial E_y}{\partial z}=0$

$\displaystyle -\frac{\partial E_z}{\partial y} + \frac{\partial E_y}{\partial z}=\frac{\partial B_x}{\partial t}$ ………………… (19a)

একইভাবে $\nu =2$ হলে,

$\displaystyle \frac{\partial E_z}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial z}=\frac{\partial B_y}{\partial t}$ …………………… (19b)

$\nu =3$ হলে,

$\displaystyle -\frac{\partial E_y}{\partial x} + \frac{\partial E_x}{\partial y}=\frac{\partial B_z}{\partial t}$ ……………………… (19c)

এই তিনটি সমীকরণদের একসাথে করলে (ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের মাধ্যমে),

$\displaystyle boldsymbolnabla times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}$ …………………… (20)

অর্থাৎ ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের কোভ্যারিয়েন্ট রূপ হল (সমীকরণ (11) এবং (17))

$\displaystyle \partial_{\mu}F^{\mu \nu} = \mu_0 J^{\nu}$

$\displaystyle \partial_{\mu}mathscr{F}^{\mu\nu}=0$

সমীকরণদুটি কি সুন্দর নয়? আহা দেখলেই চোখ জুড়িয়ে যায়! পদার্থবিদদের এটা বিশ্বাস যে কোন সমীকরণকে সত্যি হলে সেটা অবশ্যই দেখতে সুন্দর ও সুগঠিত হতে হবে! সৌন্দর্যই যেন সবকিছুর প্রাণ। যেমন কণা পদার্থবিদ্যায় স্ট্যান্ডার্ড মডেল সুন্দর নয় বলে বিজ্ঞানীদের বিশ্বাস ওটা পুরোপুরি সত্যি নয়। যাইহোক ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের কোভ্যারিয়েন্ট রূপ বের করতে গিয়ে আমরা দেখতে পেলাম যে তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্র আসলে একই মূল বিষয়ের প্রকাশ মাত্র এবং সেই মূল বিষয়টি হল ফিল্ড টেন্সর। এই ফিল্ড টেন্সরের ছটি পৃথক উপাদানের তিনটি তড়িৎ ক্ষেত্র এবং অপর তিনটি চুম্বক ক্ষেত্র প্রকাশ করে। লোরেন্‍ৎস রূপান্তরের ফলে তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্র কিভাবে পরিবর্তিত হয় সেটা জানতে হলে এই ফিল্ড টেন্সরের রূপান্তরণ দেখতে হবে। এর পরের পোস্টে সেটা ও লোরেন্‍ৎস বল সম্মন্ধে আলোচনা করব। তদবধি ভালো থেকো।

2 thoughts on “তড়িৎ গতিবিদ্যা – ফোর পোটেনশিয়াল, ফিল্ড টেন্সর এবং ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের কোভ্যারিয়েন্ট রূপ”

মাথা মোটা says:

November 11, 2014 at 5:49 pm

আচ্ছা এই ইকুয়েশন কীভাবে বলে যে কাঠমোর ঘূর্ণনে চার্জের পরিবর্তন হয় না ?

1. admin says:
  
  November 13, 2014 at 6:17 pm
  
  তুমি কোন ইকুয়েশনের কথা বলছ সেটা বুঝতে পারিনি। তবে আধানের ঘনত্ব যে একটি ফোর ভেক্টরের সময়ের মত উপাদানের (শূন্যতম উপাদান) মত আচরণ করে সেটা আহরণ করার সময় এই পোস্টে শুধু উল্লেখ করা হয়েছে যে বস্তুর আধান একটি ইনভ্যারিয়েন্ট বা স্কেলার রাশি। এটা একটা পরীক্ষিত সত্য। অধিক জানতে হলে J. D. Jackson এর লেখা Classical Electrodynamics বইয়ের ১১ নম্বর চাপ্টার দেখ।

তড়িৎ গতিবিদ্যা – ফোর পোটেনশিয়াল, ফিল্ড টেন্সর এবং ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের কোভ্যারিয়েন্ট রূপ

Related

2 thoughts on “তড়িৎ গতিবিদ্যা – ফোর পোটেনশিয়াল, ফিল্ড টেন্সর এবং ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের কোভ্যারিয়েন্ট রূপ”

Leave a Reply to মাথা মোটা Cancel reply

Share this:

Related

2 thoughts on “তড়িৎ গতিবিদ্যা – ফোর পোটেনশিয়াল, ফিল্ড টেন্সর এবং ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের কোভ্যারিয়েন্ট রূপ”

Leave a Reply to মাথা মোটা Cancel reply