admin

কোয়ান্টাম স্টেপ পোটেনশিয়াল (একমাত্রিক)

আজ আরও একটি নতুন ও মজাদার পোটেনশিয়ালের জন্য সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান বের করবো। সেটা হল একমাত্রিক স্টেপ পোটেনশিয়াল। বস্তুর তরঙ্গ ধর্মের কিছু আজব পরিণাম দেখানোর জন্য এই পোটেনশিয়াল একটি আদর্শ উদাহরণ। ম্যাটার ওয়েভ কিভাবে কোনো পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত (incident) হয় ও কোনো পোটেনশিয়াল থেকে কিভাবে প্রতিফলিত (reflected) বা প্রেষিত(transmitted) হয়, সেটা এই স্টেপ পোটেনশিয়াল ব্যবহার করে খুব সুন্দরভাবে দেখানো যায়। নিচের ১ নং চিত্রে একটি স্টেপ পোটেনশিয়াল এ৺কে দেখানো হয়েছে। পোটেনশিয়ালটিতে স্টেপের উচ্চতা $V_0$ , অর্থাৎ পোটেনশিয়াল $V(x)$ কে $x$ এর ফাংশন হিসেবে এভাবে লেখা যায়, Continue reading “কোয়ান্টাম স্টেপ পোটেনশিয়াল (একমাত্রিক)”

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর – কয়েকটি অংক

এই পোস্টে কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের উপর কয়েকটি অংক করব, যাতে ধারণা আরও একটু পরিষ্কার হয়। আসলে আজ ভোরবেলায় স্বপ্ন দেখলাম যে আমাদের কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অধ্যাপকের সাথে বসে গল্প করছি। উনি অসাধারন শিক্ষক; কোয়ান্টাম মেকানিক্সে যা কিছু শিখেছি তাতে সবথেকে বড় ভূমিকাটা ওনারই। ক্লাসে উনি আমাদের উৎসাহ দিতেন বেসিক প্রিন্সীপল থেকে শুরু করে সমস্ত অংকটাই বুঝে বুঝে করতে। হয়তো ব্ল্যাকবোর্ডে তিনি একটি সমীকরণ লিখলেন, আমাদের কাজ হত সেটাকে প্রমাণ করা। অবশ্যই ইঙ্গিত দিয়ে দিতেন যে কিভাবে করতে হবে। আর খুব ভাল ভাল (পড় কঠিন কঠিন) হোমটাস্ক দিয়ে দিতেন। ওনার ক্লাস থেকেই মনে এটা বদ্ধমূল হয়ে গেছে যে যদি ফিজিক্সের কোন একটি বিষয় ভাল করে শিখতে হয়, তবে সেই বিষয় সম্মন্ধে যত বেশি সম্ভব অংক করা উচিত। অংকই প্রকৃতির নিজস্ব ভাষা। প্রকৃতির ভাষা না শিখে তাকে জানবে কি করে? সুতরাং চল লেগে পড়া যাক। Continue reading “কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর – কয়েকটি অংক”

হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন

সরল দোলক বা হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন

$\displaystyle Psi_0(x) = \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{momega}{2\hbar}x^2}$ (1)

তোমরা জানো যে গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশনের উপর ক্রীয়েশন অপারেটর $a^{\dagger}$ বারবার প্রয়োগ করে যেকোনো এক্সাইটেড স্টেটের ওয়েভ ফাংশন গণনা করা যায়।

$\displaystyle Psi_n(x) = \frac{1}{sqrt{n!}}(a^{\dagger})^nPsi_0(x)$ (2)

সুতরাং, (নিচের গণনাগুলি তোমাদের করে দেখতে বলা হয়েছেল।) Continue reading “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন”

হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর

এর আগের পোস্টে তোমরা দেখেছো যে হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেটের উপর ক্রমাগত রেইজিং অপারেটর প্রয়োগ করে বিভিন্ন এক্সাইটেড স্টেটগুলি তৈরি করা সম্ভব। যদি গ্রাউন্ড স্টেটের ( $Psi_0$ ) উপর রেইজিং অপারেটর $n$ বার প্রয়োগ করা হয় তবে $n$ তম এক্সাইটেড স্টেট ( $Psi_n$ ) পাওয়া যায়,

$Psi_n = C_n (a^{\dagger})^nPsi_0$ এবং $E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbaromega$ (1)

যেখানে $C_n$ হল নর্মালাইজেশন ধ্রুবক যার মান আমরা এখন বের করব। সেজন্য আমাদের রেইজিং ও লোয়ারিং অপারেটরদের সম্মন্ধে আরও কিছু জানতে হবে। Continue reading “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর”

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর সম্মন্ধে জ্ঞান পদার্থবিদ্যার চর্চা ও ব্যবহারিক প্রয়োগের জন্য অত্যন্ত প্রয়োজনীয়। নাম থেকেই বোঝা যায় যে কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর হল সরল দোলকের কোয়ান্টাম সংস্করণ। বস্তুর যেকোনো ধরনের গতি বা চলন, তা সে যতই জটিল হোক না কেন, সবসময়ই একাধিক সরল দোলগতির সমন্বয় হিসেবে প্রকাশ করা যায়। ফুরিয়ের ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে সেটা করা সম্ভব। তাই সরল দোলকের কোয়ান্টাম মেকানিকাল সমাধান কোয়ান্টাম পদার্থবিদ্যায় একটি বিশষ স্থান দখল করে। অজস্র ব্যবহারিক ক্ষেত্রে, যেমন কোয়ান্টাম ফিল্ড থিয়োরী, কনডেন্সড ম্যাটার ফিজিক্স ইত্যাদিতে এর প্রয়োগ হামেসাই হয়। এই পোস্টে আমরা সরল দোলক বা হারমোনিক অসিলেটরের কোয়ন্টাম মেকানিক্স নিয়ে আলোচনা করব। সরল দোলকের একটি খুব প্রচলিত দৃষ্টান্ত হল ভারহীন স্প্রীংয়ের এক মাথায় বাধা একটি বস্তু। যদি বস্তুটির ভর $m$ ও স্প্রীংয়ের বল ধ্রুবক বা force constant $k$ হয়, তবে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র প্রয়োগ করে তোমরা জানো যে Continue reading “কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর”

কমিউটেটর ও ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সূত্র (পরিবর্ধিত)

কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র আজ তোমাদের বলব। ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সূত্র বা সম্পর্ক (canonical com\mutation relation)। তোমরা হয়তো গণিতে কমিউটেশন কি সেটা জানো। তবুও এখানে সেটার একটু পুনরাবৃত্তি নেহাত অপ্রাসঙ্গিক হবেনা। ধর $a$ ও $b$ দুটি জটিল রাশি। এই দুটি রাশির পরষ্পরের সাথে গুণের একটি বৈশিষ্ট হল যে তা কমিউটেটিভ, অর্থাৎ,

$atimes b = btimes a$ ———– (1)

(1) নং সমীকরণকে অন্যরকম ভাষায় এরকম ভাবেও ব্যক্ত করা হয় – “গুণের ক্ষেত্রে $a$ , $b$ -এর সাথে কমিউট করে”। Continue reading “কমিউটেটর ও ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সূত্র (পরিবর্ধিত)”

স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট

এতদিনে তোমরা অবশ্যই জেনে গেছ যে স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনগুলি হল সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান। ওদের কিছু বৈশিষ্ট তোমাদের বলেও দিয়েছি। আজকের আলোচনার উদ্দেশ্য স্টেশনারি স্টেটগুলির সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্টগুলিকে একত্রিত করে সংক্ষেপে লেখা, যাতে কিনা যখনই প্রয়োজন পড়বে তখওনই চট করে ঝালিয়ে নেওয়া যায়। তোমাদের কারও যদি রান্না করার অভিজ্ঞতা থাকে তাহলে বুঝবে যে প্রয়োজনের সমস্ত জিনিস হাতের কাছে গুছিয়ে রাখার গুরুত্ব কতটা। নাহলে সেই রান্না করা খাবার ফ্রীতে দিলেও কেউ খাবেনা। পুরোটাই নর্দমার পেটে যাবে। অতএব $n$ তম স্থানু স্টেটের ওয়েভ ফাংশন লিখে চল শুরু করা যাক,

$\displaystylePsi_n(x,t) = Psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$ ———- (1) Continue reading “স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট”

ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন – একটি উদাহরণ

তোমরা দেখেছো যে ষ্টেশনারি স্টেটগুলোকে মিশিয়ে আমরা ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর জেনারেল সমাধান লিখতে পারি। মনে কর ইনফাইনাইট ওয়েলে অবস্থিত কোন কণার প্রারম্ভিক ( $t=0$ ) ওয়েভ ফাংশন ওই ওয়েলের $m$ ও $n$ তম লেভেলের স্থানু বা ষ্টেশনারি স্টেটের সংমিশ্রণ। অর্থাৎ,

$\displaystylePsi(x, 0) = A\left[Psi_n(x) + Psi_m(x)\right]$ ———– (1)

যেখানে $A$ হল নর্মালাইজেশন ধ্রুবক। আমাদের আজকের আলোচনার বিষয়বস্তু হল উপরোক্ত প্রারম্ভিক ওয়েভ ফাংশন সময়ের সাথে কিভাবে পরিবর্তিত হয় সেটা দেখা এবং তার থেকে কণাটির অবস্থান ( $x$ ), রৈখিক ভরবেগ ( $p$ ) ও শক্তির গড় মান বা এক্সপেকটেশন মান নির্ণয় করা। Continue reading “ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন – একটি উদাহরণ”

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান – আরও একটু

এক ঝলকে একটু দেখা, আরও একটু বেশি হলে ক্ষতি কি? যদি কাটেই জীবন ফিজিক্স পড়ে, আরও একটু বেশি জেনে, ক্ষতি কি? তাই আজ আমরা কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধানটিকে নিয়ে আরও একটু নাড়াচাড়া করবো, আরও একটু বেশি জানবো। যেমন জেনারেল সমাধানের ধ্রুবকগুলির তাৎপর্য কি, ওগুলোর বৈশিষ্টই বা কি ইত্যাদি। তাহলে চটপট জেনারেল সমাধানটিকে লিখে ফেল,

$Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$

যেখানে $Psi_n(x)$ হল $n$ -তম লেভেলের স্থানু ওয়েভ ফাংশন যাতে কণার শক্তি $E_n$ । আশাকরি তোমাদের মনে আছে যে ওয়েভ ফাংশনকে সবসময়ই নর্মালাইজড থাকতে হবে (মনে কর কেন?)। সুতরাং, Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান – আরও একটু”

ফুরিয়ের সিরিজ ও ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন

এর আগেরদিন আমরা ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন কিভাবে সময়ের উপর নির্ভর করে সেটা দেখেছি। আজ একটি উদাহরণ দিয়ে দেখানোর চেষ্টা করব কিভাবে ফুরিয়ের সিরিজ ব্যবহার করে কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান কোন প্রদত্ত প্রারম্ভিক শর্ত বা initial condition -এর সাথে মেলানো যায়। তার জন্য চল প্রথমেই জেনারেল সমাধানটি লেখা যাক,

$Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x).mathrm{exp}\left(-iE_nt/\hbar\right)$ —- (1)

বা, $Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x, t)$ —— (2) Continue reading “ফুরিয়ের সিরিজ ও ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন”