কোয়ান্টাম মেকানিক্স (Quantum Mechanics)

ব্রা-কেট চিহ্ন ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে তার ব্যবহার – ২

ব্রা-কেট চিহ্ন সম্পর্কে কিছু আলোচনা এর পূর্বের পোস্টে করা হয়েছিল। এই পোস্টে ব্রা-কেট চিহ্ন ও তার ব্যবহার সম্পর্কে আরও কিছু তথ্য দিচ্ছি। ব্রা ও কেট নিয়ে যেকোনো গণনার সময় খেয়াল রাখতে হয় যে উপযুক্ত হিলবার্ট স্পেসে ব্রা হল রো মেট্রিক্স, কেট হল কলাম মেট্রিক্স এবং অপারেটর হল স্কোয়ার মেট্রিক্স। আমরা দেখেছি কিভাবে ব্রা-কেট চিহ্নের মাধ্যমে দুটি কেট বা কোয়ান্টাম স্টেট ভেক্টরের ইনার প্রোডাক্ট বা স্কেলার গুণ প্রকাশ করা হয়। এখানে আমরা ব্রা ও কেটের অপর এক ধরনের গুণনের কথা বলব যা আউটার প্রোডাক্ট নামে পরিচিত। Continue reading “ব্রা-কেট চিহ্ন ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে তার ব্যবহার – ২”

ব্রা-কেট চিহ্ন ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে তার ব্যবহার -১

ব্রা-কেট (Bra-Ket) চিহ্ন কোয়ান্টাম মেকানিক্সে কোন সিস্টেমের কোয়ান্টাম স্টেট বোঝানোর জন্য ব্যবহার করা হয়। এই চিহ্নসমূহ ব্যবহার করে কোয়ান্টাম স্টেট সংক্রান্ত বিভিন্ন গণনা অনেকটা পরিচ্ছন্ন ও মার্জিতভাবে (elegant) লেখা সম্ভব। ব্রা-কেট চিহ্নের আবিষ্কর্তা পি. এ. এম. ডিরাক, তাই অনেক সময় ব্রা-কেট চিহ্নকে ডিরাক চিহ্নও বলা হয়। ব্রা-কেট নামকরণের কারণ হল যে এই পদ্ধতিতে দুটি কোয়ান্টাম স্টেট ভেক্টরের স্কেলার প্রোডাক্ট বা inner product নিচে দেখানো কৌণিক ব্রাকেটের মাধ্যমে লেখা হয়, Continue reading “ব্রা-কেট চিহ্ন ও কোয়ান্টাম মেকানিক্সে তার ব্যবহার -১”

ডিরাকের সমীকরণ – গামা মেট্রিক্সসমূহ

এর আগের পোস্টের সাথে ধারাবহিকতা রক্ষার জন্য আমরা ডিরাকের সমীকরণ লিখেই আলোচনা শুরু করব।

$\displaystyle \left (i\hbar\gamma^{\mu}\partial_{\mu} -mc\right)\psi = 0$

আজকের বিষয়বস্তু হল উপরোক্ত সমীকরণে অবস্থিত $ntimes n$ মাত্রার $\gamma$ মেট্রিক্সগুলো ও তাদের ধর্ম বা বৈশিষ্ট। এর আগের পোস্টে দেখিয়েছি যে ওই মেট্রিক্সগুলো নিন্মলিখিত সম্পর্ক মেনে চলেঃ Continue reading “ডিরাকের সমীকরণ – গামা মেট্রিক্সসমূহ”

ডিরাকের সমীকরণ – আহরণ

এর আগের পোস্টের আলোচনা থেকে পরিষ্কার যে ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ রিলেটিভিস্টিক কণা যেমন ইলেক্ট্রন, প্রোটন ইত্যাদি, যাদের প্রবাবিলিটির ঘনত্ব ধনাত্মক, তাদের সঠিক কোয়ান্টাম মেকানিস্ক হতে পারেনা। আমরা দেখেছি যে ওই সমস্ত কণার সঠিক রিলেটিভিস্টিক সমীকরণে সময় ও স্থান উভয়ের সাপেক্ষেই ওয়েভ ফাংশনের ডেরিভেটিভ প্রথম ক্রমের হতে হবে। সেরকম একটি সমীকরণ বের করার জন্য ডিরাক একটি চমৎকার পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন। তিনি রিলেটিভিস্টিক শক্তির সমীকরণ $E^2 -p^2c^2 -m^2c^4=0$ এর বামপাশের রাশিমালাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেন যাতে যে উৎপাদক দুটি পাওয়া যায় তাদের প্রত্যেকের মধ্যে $E$ ও $p$ একঘাত বিশিষ্ট হয়। তাহলে তাদের অপারেটর ব্যবহার করে যে সমীকরণ পাওয়া যাবে সেটাতেও সময় ও স্থান উভয়েরই প্রথম ডেরিভেটিভ থাকবে। চল ব্যাপারটিকে প্রত্যক্ষ্য করা যাক। Continue reading “ডিরাকের সমীকরণ – আহরণ”

রিলেটিভিস্টিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স

শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ হল নন-রিলেটিভিস্টিক কণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স যা কেবল সেই সকল ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য যখন কোন কণা বা কণাসমষ্টির গতিবেগ আলোর বেগের চেয়ে অনেক কম হয়। এটা শুনে মনে যদি প্রশ্ন ওঠে, তবে একটু ভাবার চেষ্টা কর। তোমাদের নিশ্চয়ই মনে আছে যে $m$ ভরের কোন কণার শক্তি ও ভরবেগ যদি যথাক্রমে $E$ ও $p$ হয় তবে $E = p^2/2m + V$ , ( $V$ হল স্থিতিশক্তি) । এই সমীকরণ অপারেটরের মাধ্যমে লিখে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ পাওয়া যায়। আর এই সমীকরণ যে মূলত নিউটনের নন-রিলেটিভিস্টিক মেকানিক্স থেকেই আসে সেটা বলাই বাহুল্য। এছাড়াও শ্রোডিঙ্গার সমীকরণে স্থানের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভসমূহ দ্বিতীয় ক্রমের এবং সময় সংক্রান্ত ডেরিভেটিভ প্রথম ক্রমের। Continue reading “রিলেটিভিস্টিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স”

শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ সমাধান না করেও কিভাবে ওয়েভ ফাংশন আঁকা যায়?

আজ তোমাদের বলব শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান না করেও কিভাবে কোন প্রদত্ত পোটেনশিয়াল (potential) বা স্থিতিশক্তির ফাংশনের জন্য নির্দিষ্ট কোয়ান্টাম কণার ওয়েভ ফাংশন আঁকা যায়। এর ব্যবহারিক প্রয়োগই বা কি, সেটাও জানাবো। অবশ্য এই আলোচনা শুধু বাউন্ড স্টেটগিলুর জন্যই প্রযোজ্য। তবে তাতে কোন অসুবিধা নেই। স্ক্যাটারিং স্টেটের ওয়েভ ফাংশন আঁকা এমনিতেই খুব সহজ, কারণ ওগুলো বেশিরভাগ সময় প্লেন ওয়েভ। যদিও আমরা শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের স্পষ্টভাবে (explicitly) সমাধান করব না, তবুও যেহেতু কোন সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশনের সম্মন্ধে তথ্য জানার একমাত্র রাস্তা শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ তাই সেটা লিখেই আমরা আজকের আলোচনার সূত্রপাত করব। বলাই বাহুল্য যে আজকের আলোচনা একমাত্রিক সিষ্টেমের উপর ভিত্তি করে গড়া, তবে ত্রিমাত্রিক সিষ্টেমের জন্যেও এগুলোকে পরিবর্ধিত করা সম্ভব। Continue reading “শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ সমাধান না করেও কিভাবে ওয়েভ ফাংশন আঁকা যায়?”

ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে স্ক্যাটারিং

[বিঃদ্রঃ-এই পোস্টটি এর আগের “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল – বাউন্ড স্টেট” শীর্ষক পোস্টের সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত। সুতরাং ওটা পড়ার পরে এই পোস্টটি দেখা উচিত।] ডেল্টা ফাংশন ওয়েলের গভীরতা যাই হোক না কেন সেটাতে একটি এবং শুধুমাত্র একটিই বাউন্ড স্টেট থাকতে পারে যার ওয়েভ ফাংশন এর আগের পোস্টে আমরা নির্ণয় করেছি। ওই স্টেটে বস্তুকণার শক্তির মান $\displaystyle -\frac{mV_0^2}{2\hbar^2}$ । শক্তির ঋণাত্মক মান থেকে বোঝা যাচ্ছে যে ওটা একটা বাউন্ড স্টেট, কেননা $x = pm infty$ তে ডেল্টা পোটেনশিয়ালের মান $V(pm infty)=0$ । কিন্তু যদি কণার শক্তি ( $E$ ) ধনাত্মক হয়, তবে? এক্ষেত্রে যেহেতু $E > V(pm infty)$ , তাই কণাটি ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে বিক্ষিপ্ত (scattered) হবে, যাকে কোয়ান্টাম পদার্থবিদ্যার ভাষায় বলা হয় স্ক্যাটারিং স্টেট। স্ক্যাটারিং স্টেট ওয়েভ ফাংশন তোমরা আগেও দেখেছো – স্টেপ পোটেনশিয়াল ও পোটেনশিয়াল ব্যারিয়ারের ক্ষেত্রে। পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত ওয়েভ ফাংশনের একটি অংশ প্রতিফলিত হয় ও অপর অংশ পোটেনশিয়ালের মধ্যে দিয়ে ট্রান্সমিটেড (transmitted – প্রেষিত) হয়। Continue reading “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে স্ক্যাটারিং”

ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল (কূপ) – বাউন্ড স্টেট

ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের প্রকৃতি ও ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট বোঝার জন্য একটি সহজ, সুন্দর এবং গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। আজ আমরা ডেল্টা ফাংশন ওয়েলের বাউন্ড স্টেট সম্মন্ধে আলোচনা করব। ডেল্টা ফাংশন ( $delta(x)$ ) বা আরও ভালভাবে বললে, ডিরাকের ডেল্টা ফাংশনের সংজ্ঞা দিয়ে চল আজকের অপেক্ষাকৃত সহজ এই গল্পের সূচনা করি।

$\displaystyle delta (x) = \left{ begin{matrix} 0 & text{ if } x neq 0 \ infty & text{ if } x = 0 end{matrix}\right.$ (1a)
Continue reading “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল (কূপ) – বাউন্ড স্টেট”

গ্রুপ ভেলোসিটি ও ওয়েভ প্যাকেট

$\displaystyle text{e}^{i(kx-omega t)}$ যদি কোন নির্দ্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ $(lambda)$ বিশিষ্ট চলতরঙ্গের সমীকরণ হয়, যেখানে $k = 2pi/lambda$ ও $omega$ কৌণিক কম্পাঙ্ক, তবে ওই তরঙ্গের ফেজ ভেলোসিটি

$\displaystyle v_{text{phase}} = \frac{omega}{k}$ (1)

আগেই বলেছি ফেজ ভেলোসিটি হল ওই তরঙ্গের কোন স্থির দশাযুক্ত বিন্দুর গতিবেগ। অপরপক্ষে আজকের আলোচ্য বিষয় গ্রুপ ভেলোসিটি । “গ্রুপ” শব্দটি থেকেই বুঝতে পারছ যে এটি কোন গ্রুপ বা সমষ্টির গতিবেগ বোঝায়। আর আমরা আগের পোস্টে দেখেছি যে ওয়েভ প্যাকেট হল ভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ সম্পন্ন একগুচ্ছ চলতরঙ্গের সমষ্টি। সুতরাং হয়তো অনুমান করতে পারছ যে এইরকম ওয়েভ প্যাকেট যে গতিতে চলনশীল সেটাই ওই তরঙ্গগুচ্ছের গ্রুপ ভেলোসিটি। Continue reading “গ্রুপ ভেলোসিটি ও ওয়েভ প্যাকেট”

গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)

বিখ্যাত জার্মান গণিতজ্ঞ ও পদার্থবিদ্‍ কার্ল ফ্রিডরিশ গাউসের নাম তোমরা সকলেই হয়তো শুনে থাকবে। গাউসিয়ান শব্দটি এসেছে তারই নাম থেকে। পদার্থবিদ্যা ও গণিতে গাউসিয়ান সারফেস বা পৃষ্ঠতল, গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল, গাউসিয়ান ফাংশন ও গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন অতি ব্যবহৃত শব্দাবলী। আজকে আমারা ফ্রী পার্টিকলের প্রারম্ভিক ওয়েভ প্যাকেট রূপে গাউসিয়ান ফাংশন ব্যবহার করব। অর্থাৎ,

$\displaystyle Psi(x,0) = A text{e}^{-a x^2}$ (1)

তোমরা আরও জানো যে কোন নির্দ্দিষ্ট সময়ে ফ্রী পার্টিকলের ওয়েভ প্যাকেট নিম্নলিখিত দুটি সমীকরণ ব্যবহার করে লেখা হয়, Continue reading “গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)”