কোয়ান্টাম মেকানিক্স (Quantum Mechanics) – Page 2

ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স

ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার গতি ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে একটি মামুলী বিষয় – এতটাই যে কোন পাঠ্যবইতে ওর সম্মন্ধে আলাদা করে কিছু লেখা হয়না। অথচ ফ্রী পার্টিকলের কোয়ান্টাম মেকানিক্স একটি অত্যন্ত চমত্কার ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। নাম থেকেই বোঝা যাচ্ছে যে ফ্রী পার্টিকল হচ্ছে এমন একটি বস্তুকণা যার স্থিতিশক্তি সর্বদা শূন্য। আরও পরিষ্কার করে বললে – ওর জন্য বিশ্বব্রহ্মান্ডের সর্বত্রই পোটেনশিয়ালের মান শূন্য ( $V(x) = 0$ )। এর মানে এটাও হয় যে কণাটি আকর্ষণ বা বিকর্ষণ কোন রকম বল অনুভব করেনা। অর্থাৎ ফ্রী পার্টিকল যেন কোয়ান্টাম মেকানিকাল খোলা ষাঁড়। অথবা যেন স্থিতপ্রজ্ঞ সন্ন্যাসী – যেখানে খুশি সেখানে অবাধ গতি, কোন কিছুর প্রতিই কোন আসক্তি বা বিরক্তি নেই। যেহেতু আমাদের উদ্দেশ্য এইরকম একটি ফ্রী পার্টিকলের কোয়ান্টাম মেকানিক্স আলোচনা করা সুতরাং আর অধিক বিলম্ব না করে আমরা ওর জন্য একমাত্রিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি লিখে ফেলব। Continue reading “ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স”

বাউন্ড স্টেট ও স্ক্যাটারিং স্টেট

বাউন্ড স্টেট ও স্ক্যাটারিং স্টেট (bound states and scattering states) শব্দ দুটি তোমরা ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে হয়তো শুনে থাকবে। ধর $E$ শক্তি সম্পন্ন একটি বস্তকণা $V(x)$ পোটেনশিয়াল বিশিষ্ট স্থানে গতিশীল। যদি (কোন মুহুর্তে) বস্তুটি যেখানে আছে তার দুদিকেই $V(x)$ -এর মান কণার শক্তি থেকে বেশী হয় তবে যে পোটেনশিয়াল ওয়েল তৈরী হবে বস্তুটি তার মধ্যেই আটকে থাকতে বাধ্য (যদি বাইরে থেকে অতিরিক্ত শক্তি বস্তুটিকে প্রদান করা না হয়)। ১ নং চিত্রে এটা দেখানো হয়েছে। বস্তুর মোট শক্তি যে বিন্দুদ্বয়ে ওর পোটেনশিয়াল শক্তির সমান হয়ে যায় সেই বিন্দুদের বলা হয় ক্লাসিক্যাল টার্ণিং পয়েন্ট (turning p\oint)। কারণ ওই দুটি বিন্দুতে কণার গতিশক্তি শূন্য হয় এবং ফলে বস্তুর গতির অভিমুখ উল্টে যায়। Continue reading “বাউন্ড স্টেট ও স্ক্যাটারিং স্টেট”

টানেলিং- কয়েকটি উদাহরণ

আজ টানেলিংয়ের কয়েকটি উদাহরণ দেব। এর থেকে বুঝতে পারবে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের এই উদ্ভট তত্ত্বের ব্যাবহারিক প্রয়োগ কতটা গুরুত্বপূর্ণ। প্রথম উদাহরণ একটি প্রাকৃতিক ঘটনা। দেখা গেছে যে কিছু কিছু তেজস্ক্রিয় মৌলের পরমাণুর নিউক্লিয়াস স্বতপ্রণোদিত ভাবে একটি আলফা কণা (হিলিয়াম নিউক্লিয়াস $^4_2text{He}$ ) নির্গত করে অপাক্ষাকৃত কম ভর সংখ্যা (চার কম) ও পারমাণবিক সংখ্যা (দুই কম) বিশিষ্ট একটি নতুন নিউক্লিয়াসে পরিণত হয়। যেমন ইউরেনিয়ামের নিউক্লিয়াস $^{238}_{92}text U$ থেকে একটি আলফা কণা বিকিরীত হলে সেটা থোরিয়াম নিউক্লিয়াসে ( $^{234}_{90}text {Th}$ ) পর্যবসিত হয়। Continue reading “টানেলিং- কয়েকটি উদাহরণ”

পোটেনশিয়াল ব্যারিয়ার – টানেলিং

টানেলিং ব্যাপারটি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি অন্যতম অদ্ভুত ঘটনা। ধর তুমি লোহার দেওয়ালে একটি পাথর নিক্ষেপ করলে। (যদি তুমি বাটুল দি গ্রেট না হও) তবে ক্লাসিকাল মেকানিক্স অনুসারে পাথরটি অবশ্যই দেওয়ালে ঢাক্কা খেয়ে ফিরে আসবে। কিন্তু কোয়ান্টাম ওয়ার্ল্ডে তুমি পিলে জ্বরে ভোগা ও রোজ পেঁপে দিয়ে শিঙি মাছের ঝোল খাওয়া পটলডাঙ্গার পটলা হলেও তোমার ছোড়া ঢিল লোহার দেওয়ালের অপর পাশে পৌছে যেতে পারে (সে তুমি যত আস্তেই ঢিল ছোড় না কেন)। এটাই টানেলিং। এবারে আমরা আরও গভীরে গিয়ে ব্যাপারটি বোঝার চেষ্টা করব। তোমরা দেখেছো যে যদি পোটেনশিয়াল স্টেপের উচ্চতার থেকে কম শক্তি সম্পন্ন কোন কণা স্টেপের উপর আপতিত হয়, তবে স্টেপের অপর পাশেও এক্সপোনেনশিয়ালি ক্ষয়িষ্ণু ওয়েভ ফাংশন তৈরী হয়। Continue reading “পোটেনশিয়াল ব্যারিয়ার – টানেলিং”

পোটেনশিয়াল স্টেপ – কণার শক্তি E < স্টেপের উচ্চতা

পোটেনশিয়াল স্টেপের কিছু আলোচনা আমরা এর আগের দুটো পোস্টে করেছি। তোমরা দেখেছো যে যদি কণার শক্তি স্টেপের উচ্চতার থেকে বেশি হয়, তবে কণাটির কিছু সম্ভাবনা যেমন থাকে স্টেপ পার হয়ে চলে যাওয়ার, তেমনি কিছু সম্ভাবনা থাকে স্টেপ থেকে প্রতিফলিত হয়ে ফিরে আসার। এটা অনেকটা আলো এক মাধ্যম থেকে আরেক মাধ্যমে গেলে যেমনটি হয়, ঠিক তেমন। আজকে আমরা দেখব যদি কণার শক্তি ( $E$ ) পোটেনশিয়াল স্টেপের উচ্চতার থেকে কম হলে কি হবে। এখানে মনে রাখবে উচ্চতা বলতে আমি স্থিতিশক্তি বা পোটেনশিয়াল এনার্জির সর্ব্বোচ্চ মান বোঝাতে চেয়েছি, যাকে এর আগের দুটি পোস্টে $V_0$ দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে। যথারীতি আমরা টাইম ইনডেপেন্ডেন্ট শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ লিখে শুরু করব। Continue reading “পোটেনশিয়াল স্টেপ – কণার শক্তি E < স্টেপের উচ্চতা"

প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি ও স্টেপ পোটেনশিয়াল

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে কন্টিনিউইটি সমীকরণ থেকে প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটির ধারণা পাওয়া যায়। যেহেতু বস্তুকণার সংখ্যা সবসময় সংরক্ষিত থাকে, তাই একবার নর্মালাইজড করা ওয়েভ ফাংশন তা চিরকাল ধরেই নর্মালাইজড থাকবে। তার মানে,

$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-infty}^{infty}Psi^* Psi dx = 0$ (1a)

$\displaystyle \int_{-infty}^{infty}\frac{\partial}{\partial t}(Psi^* Psi) dx = 0$

এখন, $\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}(Psi^* Psi) = Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial t} + \frac{\partialPsi^*}{\partial t}Psi$ (1b) Continue reading “প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি ও স্টেপ পোটেনশিয়াল”

কোয়ান্টাম স্টেপ পোটেনশিয়াল (একমাত্রিক)

আজ আরও একটি নতুন ও মজাদার পোটেনশিয়ালের জন্য সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান বের করবো। সেটা হল একমাত্রিক স্টেপ পোটেনশিয়াল। বস্তুর তরঙ্গ ধর্মের কিছু আজব পরিণাম দেখানোর জন্য এই পোটেনশিয়াল একটি আদর্শ উদাহরণ। ম্যাটার ওয়েভ কিভাবে কোনো পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত (incident) হয় ও কোনো পোটেনশিয়াল থেকে কিভাবে প্রতিফলিত (reflected) বা প্রেষিত(transmitted) হয়, সেটা এই স্টেপ পোটেনশিয়াল ব্যবহার করে খুব সুন্দরভাবে দেখানো যায়। নিচের ১ নং চিত্রে একটি স্টেপ পোটেনশিয়াল এ৺কে দেখানো হয়েছে। পোটেনশিয়ালটিতে স্টেপের উচ্চতা $V_0$ , অর্থাৎ পোটেনশিয়াল $V(x)$ কে $x$ এর ফাংশন হিসেবে এভাবে লেখা যায়, Continue reading “কোয়ান্টাম স্টেপ পোটেনশিয়াল (একমাত্রিক)”

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর – কয়েকটি অংক

এই পোস্টে কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের উপর কয়েকটি অংক করব, যাতে ধারণা আরও একটু পরিষ্কার হয়। আসলে আজ ভোরবেলায় স্বপ্ন দেখলাম যে আমাদের কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অধ্যাপকের সাথে বসে গল্প করছি। উনি অসাধারন শিক্ষক; কোয়ান্টাম মেকানিক্সে যা কিছু শিখেছি তাতে সবথেকে বড় ভূমিকাটা ওনারই। ক্লাসে উনি আমাদের উৎসাহ দিতেন বেসিক প্রিন্সীপল থেকে শুরু করে সমস্ত অংকটাই বুঝে বুঝে করতে। হয়তো ব্ল্যাকবোর্ডে তিনি একটি সমীকরণ লিখলেন, আমাদের কাজ হত সেটাকে প্রমাণ করা। অবশ্যই ইঙ্গিত দিয়ে দিতেন যে কিভাবে করতে হবে। আর খুব ভাল ভাল (পড় কঠিন কঠিন) হোমটাস্ক দিয়ে দিতেন। ওনার ক্লাস থেকেই মনে এটা বদ্ধমূল হয়ে গেছে যে যদি ফিজিক্সের কোন একটি বিষয় ভাল করে শিখতে হয়, তবে সেই বিষয় সম্মন্ধে যত বেশি সম্ভব অংক করা উচিত। অংকই প্রকৃতির নিজস্ব ভাষা। প্রকৃতির ভাষা না শিখে তাকে জানবে কি করে? সুতরাং চল লেগে পড়া যাক। Continue reading “কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর – কয়েকটি অংক”

হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন

সরল দোলক বা হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশন

$\displaystyle Psi_0(x) = \left(\frac{momega}{pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{momega}{2\hbar}x^2}$ (1)

তোমরা জানো যে গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভ ফাংশনের উপর ক্রীয়েশন অপারেটর $a^{\dagger}$ বারবার প্রয়োগ করে যেকোনো এক্সাইটেড স্টেটের ওয়েভ ফাংশন গণনা করা যায়।

$\displaystyle Psi_n(x) = \frac{1}{sqrt{n!}}(a^{\dagger})^nPsi_0(x)$ (2)

সুতরাং, (নিচের গণনাগুলি তোমাদের করে দেখতে বলা হয়েছেল।) Continue reading “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন”

হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর

এর আগের পোস্টে তোমরা দেখেছো যে হারমোনিক অসিলেটরের গ্রাউন্ড স্টেটের উপর ক্রমাগত রেইজিং অপারেটর প্রয়োগ করে বিভিন্ন এক্সাইটেড স্টেটগুলি তৈরি করা সম্ভব। যদি গ্রাউন্ড স্টেটের ( $Psi_0$ ) উপর রেইজিং অপারেটর $n$ বার প্রয়োগ করা হয় তবে $n$ তম এক্সাইটেড স্টেট ( $Psi_n$ ) পাওয়া যায়,

$Psi_n = C_n (a^{\dagger})^nPsi_0$ এবং $E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbaromega$ (1)

যেখানে $C_n$ হল নর্মালাইজেশন ধ্রুবক যার মান আমরা এখন বের করব। সেজন্য আমাদের রেইজিং ও লোয়ারিং অপারেটরদের সম্মন্ধে আরও কিছু জানতে হবে। Continue reading “হারমোনিক অসিলেটরের ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজেশন ও ল্যাডার অপারেটর”