ওয়েভ ফাংশন #২

এর আগে আমরা জেনেছি ওয়েভ ফাংশন কি।  নর্মালাইজেশন শব্দটাও একবার উচ্চারন করেছিলাম! চল আরেকটু ভাল করে বুঝে নেই এই নর্মালাইজেশন ব্যাপারটা। আমি ধরে নেব ক্যালকুলাস সম্মন্ধে তোমাদের সামান্য হলেও ধারণা আছে। নাহলে নিচে লেখা অনুচ্ছেদগুলির মানে বুঝতে অসুবিধা হতে পারে। যদি Psi(x, t) কোন কণার ওয়েভ ফাংশন হয় তবে স্পেসে x বিন্দুর আশেপাশে খুব ক্ষূদ্র পরিসরে কোন সময় t তে ওই কণাটির অস্তিত্বের  সম্ভাবনা |Psi(x, t)|^{2} dx। তাহলে ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের নিয়ম থেকে তোমরা জানো যে দুটি বিন্দু x_1 ও x_2 -র মাঝে কণাটির থাকার সম্ভাবনা \int_{x_1}^{x_2}|Psi(x, t)|^{2}mathrm{d}x। এবারে যদি তুমি ইন্টিগ্রেশনের লিমিট বাড়াতে বাড়াতে ইনফিনিটি বা অসীম পর্যন্ত নিয়ে যাও তবে বলতো কণাটিকে ওই লিমিটের মাঝে পাওয়ার সম্ভাবনা কত? উত্তর – ১০০ শতাংশ (বা ভগ্নাংশে বললে 1.00), কারণ কণাটি বিশ্ব-ব্রক্ষ্মান্ডের কোথাও না কোথাও তো থাকবেই। অর্থাৎ \int_{-infty}^{infty}|Psi(x, t)|^{2} dx = 1। এটাই নর্মালাইজেশন কন্ডিশন। প্রসঙ্গক্রমে  উল্লেখ্য যে |Psi(x, t)|^{2} -কে t সময়ে x বিন্দুতে কণার অস্তিত্বের সম্ভাবনার ঘনত্ব বা সংক্ষেপে প্রোবাবিলিটি ডেনসিটি (probability density) বলা হয়।

চিত্র ১- পরিমাপের পূর্বে ওয়েভ ফাংশনের বর্গ।
চিত্র ১- পরিমাপের পূর্বে  |Psi(x, t)|^{2}।
চিত্র ২ - পরিমাপের পর
চিত্র ২ – পরিমাপের পর |Psi(x, t)|^{2}

১ নং চিত্রে একটি কণার ওয়েভ ফাংশনের বর্গ (|Psi(x, t)|^{2}) দেখানো হয়েছে। এটা দেখা যাচ্ছে যে A, B ও C বিন্দুতে এবং তাদের আশেপাশে কণাটির থাকার সম্ভাবনা যথাক্রমে 30% (বা 0.3), 50% (বা 0.5) ও 20% (বা 0.2)। এই কথার মানে কিন্তু এটা নয় যে তুমি যদি কণাটির অবস্থান 100 বার পরিমাপ কর তাহলে কণাটিকে গড়ে 30 বার A বিন্দুতে, 50 বার B বিন্দুতে এবং 20 বার C বিন্দুতে পাবে। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের প্রেক্ষাপটে ওই সম্ভাবনার অর্থ হল যদি তুমি 100 খানা একই রকম কণার জন্য 100 টা হুবহু একই ওয়েভ ফাংশন তৈরী করে তাদের অবস্থান মাপ তাহলে গড়ে 30 টি কণাকে A বিন্দুতে, 50 টিকে B বিন্দুতে ও 20 টি কণাকে C বিন্দুতে পাবে। কোয়ান্টাম মেকানিক্সে পরিমাপ ব্যাপারটি খুব অদ্ভুত ! একটু ব্যাখ্যা দেওয়ার চেষ্টা করছি। ধর একবার পরিমাপ করে কণাটিকে A বিন্দুতে পেলে। সঙ্গে সঙ্গে যদি আবার ওই কণাটির অবস্থান মাপ তাহলেও দেখতে পাবে কণাটি A বিন্দুতেই আছে। এইভাবে প্রথমবার পরিমাপের পর যদি আরও অসংখ্যবার ওই কণাটির অবস্থান মাপা হয় তাহলে প্রত্যেকবারই প্রথমবার যা ফল পাওয়া গেছে তাই পাওয়া যাবে। এর কারণ হচ্ছে পরিমাপের ফলে কণাটির ওয়েভ ফাংশন পরিবর্তিত হয়ে যায়। এই ক্ষেত্রে আগের ছড়ানো ওয়েভ ফাংশনটি পরিমাপের পর A বিন্দুতে সঙ্কুচিত (collapse) বা কেন্দ্রীভূত হয়ে গেছে (২ নং চিত্র দেখ)।

এবারে চল দেখে নিই কোন বাস্তব অর্থপূর্ণ ওয়েভ ফাংশনের কি কি বৈশিষ্ট থাকা দরকার।

১) ওয়েভ ফাংশনকে অবশ্যই স্কোয়ার ইন্টিগ্রেবল হতে হবে। সহজ কথায় এর অর্থ হল ওয়েভ ফাংশনের মানের বর্গকে যদি সমস্ত স্থানের ওপর ইন্টিগ্রেট করা হয়  (\integrated over all space) তাহলে তার ফল সসীম বা ফাইনাইট (finite) হবে। অঙ্কের ভাষায় \int_{-infty}^{infty}|Psi(x, t)|^{2} dx = mathrm{finite}। নাহলে ওয়েভ ফাংশনকে নর্মালাইজ করা যাবেনা। আর যদি ওয়েভ ফাংশন নর্মালাইজ না করা যায় তাহলে সেই ফাংশন কোন বাস্তব কোয়ান্টাম সিষ্টেমের প্রতিনিধিত্ব করতে পারেনা।

২) ওয়েভ ফাংশন অবশ্যই কন্টিনিউয়াস বা নিরবচ্ছিন্ন হবে। কন্টিনিউয়াস কথাটির মানে হল যদি কোন ফাংশনের ইনপুটে খুব সামান্য পরিবর্তন করা হয় তবে তার আউটপুটেও খুব সামান্য পরিবর্তন হবে। খাতা থেকে একবারও পেন না উঠিয়ে তুমি যদি কোন বক্ররেখা আঁকো তবে তা একটি কন্টিনিউয়াস ফাংশনের উদাহরণ।

৩) ওয়েভ ফাংশনের নতি বা slope -কেও কন্টিনিউয়াস হতে হবে (সাধারণত)। নতি বা slope হল \frac{\partial Psi(x, t)}{\partial x}। শুধুমাত্র যেখানে পোটেনশিয়াল বা স্থিতিশক্তি ইনফাইনাইট (অসীম) সেখানে এই শর্তটি প্রযোজ্য নয়।

Leave a Reply

Your email address will not be published.