টাইম ইনডিপেনডেন্ট শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ

এর আগের পোষ্টে  আমরা সময় নির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরনের সাথে পরিচিত হয়েছি, যা সময় (t) ও স্থান (x) – উভয়ের উপরেই নির্ভর করে। কিন্তু বাস্তবে কিছু ক্ষেত্রে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণকে স্থান ও কালে (space and time coordinates) আলাদা করে নেওয়া সম্ভব; এই সব ক্ষেত্রে ওয়েভ ফাংশন নির্ণয়ের জন্য একটা অপেক্ষাকৃত সহজ সমীকরনের সাহায্য নেওয়া হয়, যা টাইম ইনডিপেনডেন্ট শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ নামে পরিচিত। ঠিক কোন কোন অবস্থায় এইরকম সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার ইক্যুয়েশন ব্যবহার করা যায় আমরা এবারে সেটাই দেখব। সময় নির্ভর একমাত্রিক শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণটি লিখে আমি আজকের আলোচনা শুরু করছি।

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}Psi(x,t) + VPsi(x,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}Psi(x,t) ——————– (1)

এবারে আমি কোন ব্যাখ্যা না দিয়েই ধরে নেব যে Psi(x,t) = \phi(x)T(t) , যেখানে \phi(x) ও T(t) যথাক্রমে শুধু x (স্পেস) ও t (সময়) এর ফাংশন। ঠিক কোন শর্তে ওয়েভ ফাংশনকে এভাবে স্পেস ও টাইম অংশে আলাদা করা যায় তা আমরা একটু পরেই দেখতে পাব (সবুরে মেওয়া ফলে!)। তাহলে (1) নং সমীকরণটিকে নিম্নলিখিতভাবে লেখা যায়,

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}T(t)\frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d} x^2}\phi(x) + V\phi(x)T(t) = i\hbar\phi(x)\frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}T(t) ————- (2)

লক্ষ্য কর যে সমীকরণটির বাদিকের \frac{\partial^2}{\partial x^2} -কে যেহেতু শুধুমাত্র x এর ফাংশনের উপর অপারেট করা যায়, তাই T(t) কে আমরা অপারেটরের বাইরে নিয়ে আসতে পেরেছি। একইভাবে সমীকরণটির ডানদিকের \frac{\partial}{\partial t} -কে যেহেতু শুধুমাত্র t এর ফাংশনের উপর অপারেট করা যায়, তাই \phi(x) কে আমরা বাইরে নিয়ে আসতে পেরেছি। ঠিক একই কারণে পার্শিয়াল ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলিকে (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial t} ) সাধারণ ডিফারেনশিয়াল অপারেটর (\frac{mathrm {d}}{mathrm{d}x}, \frac{mathrm {d}}{mathrm{d}t}) দিয়ে বদলানো সম্ভব হয়েছে। এবারে ইক্যুয়েশনটির দুদিকে \phi(x)T(t) দিয়ে ভাগ করে আমরা পাই,

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m\phi(x)}\frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d} x^2}\phi(x) + V = i\hbar\frac{1}{T(t)}\frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}T(t)  ——– (3)

এখন যদি স্থিতিশক্তি বা পোটেনশিয়াল (potential) V শুধু x এর ফাংশন হয় তবে একটা বেশ মজাদার ব্যাপার ঘটেছে আমাদের সমীকরণটিতে। দেখ যে সমান চিহ্নের বাদিকের সবকটি রাশিই শুধু x এর ফাংশন এবং ডানদিকের রাশিটি শুধু t এর ফাংশন। তার মানে সমীকরণটি সত্যি হবে শুধু সেইসব ক্ষেত্রেই যখন সমান চিহ্নের দুদিকের মানই কোন ধ্রুবক বা কনস্ট্যান্টের সমান হবে। ধরা যাক সেই ধ্রুবকটি হল E,  তবে আমরা লিখতে পারি,

\displaystyle i\hbar\frac{1}{T(t)}\frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}T(t) = E ————– (4)

বা, \displaystyle \frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}T(t) = \frac{1}{i\hbar}E T(t) = -\frac{i}{\hbar}E T(t)

এই সমীকরণটির সমাধান হল, T(t) = C_1 mathrm{exp}\left(-\frac{i}{\hbar}E t\right) ———-(5)

আর (3) নং সমীকরণের বাদিকের অংশটি হল,

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m\phi(x)}\frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d} x^2}\phi(x) + V = E

বা,  \displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{mathrm{d}^2}{mathrm{d} x^2}\phi(x) + V\phi(x) = E\phi(x) ——-(6)

এটাই টাইম ইনডিপেনডেন্ট শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ। সমীকরণটিকে নিম্নলিখিতভাবেও লেখা হয়,

\displaystyle hat H\phi(x) = E\phi(x) —————(7)

যেখানে hat H হল হ্যামিল্টোনিয়ান (Hamiltonian) অপারেটর। এইরকম সমীকরণকে বলা হয় আইগেন ভ্যালূ ইক্যুয়েশন (Eigen value equation), যেখানে কোন অপারেটর কোন ফাংশনের উপর অপারেট বা প্রয়োগ করলে ফল হিসাবে একটি ধ্রুবক দিয়ে গুণ করা অবস্থায় ওই ফাংশনটিই পাওয়া যায়। ওই বিশেষ ধ্রুবকটিকে বলা হয় ওই অপারেটরের আইগেন ভ্যালূ এবং ফাংশনটিকে বলা হয় আইগেন ফাংশন। (7) নং সমীকরণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে \phi(x) ফাংশনের জন্য হ্যামিল্টোনিয়ান (Hamiltonian) অপারেটরের আইগেন ভ্যালূ হল E। যেহেতু হ্যামিল্টোনিয়ান অপারেটর আসলে মোট শক্তির (গতিশক্তি + স্থিতিশক্তি) অপারেটর, তাই তার আইগেন ভ্যালূ E ওই সিষ্টেমের মোট শক্তি ছাড়া আর কিছুই নয়। লক্ষ্য কর যে E সময়ের উপর নির্ভরশীল নয়, অর্থাৎ ওই সিষ্টেমের শক্তি সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়না। তোমরা এইরকম সিষ্টেমের কথা আগেও শুনেছো; বল তো কোথায়? পরমাণুর মধ্যে বিভিন্ন কক্ষপথে (?)অবস্থিত ইলেকট্রনের ক্ষেত্রে এইরকম সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ প্রযোজ্য। এই কক্ষপথগুলিতে ইলেকট্রনের শক্তি সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়না। তোমরা জানো যে ওইরকম কক্ষপথগুলির নাম দেওয়া হয়েছিল স্থানু কক্ষপথ বা stationary orbit। একইভাবে যে সমস্ত ওয়েভ ফাংশন সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ মেনে চলে তাদেরকে বলা হয় ষ্টেশনারী স্টেট বা স্থানু ফাংশন। এর জন্য আবশ্যক শর্ত হল সিষ্টেমের স্থিতিশক্তি বা পোটেনশিয়াল -কে সময়ের উপর নির্ভরশীল বা সময়ের ফাংশন হওয়া চলবে না। উদাহরণস্বরূপ হাইড্রোজেন পরমাণুতে ইলেকট্রন নিউক্লিয়াসের দরুন যে পোটেনশিয়াল অনুভব করে তা শুধুমাত্র নিউক্লিয়াস থেকে ইলেকট্রনের দূরত্বের উপর নির্ভর করে, সময়ের উপর নির্ভর করেনা। আমরা এর পরের পোষ্টগুলিতে ওইরকম আরও কিছু মজাদার উদাহরণ নিয়ে আলোচনা করব।

এবারে চল (7) নং সমীকরণ ব্যবহার করে হ্যামিল্টোনিয়ান (Hamiltonian) অপারেটরের এক্সপেকটেশন ভ্যালূ নির্ণয় করা যাক। (7) নং সমীকরণকে নিচের মত করে \phi(x)^* দিয়ে গুণ করে আমরা লিখতে পারি,

\displaystyle \phi(x)^*hat H\phi(x)=\phi(x)^* E\phi(x) =E|\phi(x)|^2     —————- (8)

এই সমীকরণটির দুপাশে ইনটিগ্রেট করে আমরা পাই,

\displaystyle \int_{-infty}^{infty}\phi(x)^*hat H\phi(x) mathrm{d}x=E\int_{-infty}^{infty}|\phi(x)|^2mathrm{d}x = E  —————- (9)

যেহেতু ওয়েভ ফাংশনকে নর্মালাইজড হতে হবে, তাই \int_{-infty}^{infty}|\phi(x)|^2mathrm{d}x=1। অতএব (9) নং সমীকরণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে হ্যামিল্টোনিয়ান (Hamiltonian) অপারেটরের এক্সপেকটেশন ভ্যালূ হল E। অর্থাৎ এক্ষেত্রে আইগেন ভ্যালূ ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ একই। আজকের আলোচনা শেষ করার আগে এটা তোমাদের মনে করিয়ে দেব যে সময় নির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান হল,

\displaystyle Psi(x,t) =\phi(x)T(t)= N.\phi(x).mathrm{exp}\left(-\frac{i}{\hbar}E t\right) , যেখানে N হল নর্মালাইজেশন ধ্রুবক। এসম্মন্ধে আরও আলোচনা করব এর পরের পোষ্টে, তদবধি ভালো থেকো।

[আমাদের আজকের আলোচনার গাণিতিক ভিত্তি ছিল সেপারেশন অফ ভেরিয়েবেলস (separation of variables) বলে একটা পদ্ধতি যা কিনা পার্শিয়াল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (\partial differential equations) সমাধান করার একটা গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি।]

Leave a Reply

Your email address will not be published.