ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে স্ক্যাটারিং

[বিঃদ্রঃ-এই পোস্টটি এর আগের “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল – বাউন্ড স্টেট” শীর্ষক পোস্টের সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত। সুতরাং ওটা পড়ার পরে এই পোস্টটি দেখা উচিত।] ডেল্টা ফাংশন ওয়েলের গভীরতা যাই হোক না কেন সেটাতে একটি এবং শুধুমাত্র একটিই বাউন্ড স্টেট থাকতে পারে যার ওয়েভ ফাংশন এর আগের পোস্টে আমরা নির্ণয় করেছি। ওই স্টেটে বস্তুকণার শক্তির মান \displaystyle -\frac{mV_0^2}{2\hbar^2}। শক্তির ঋণাত্মক মান থেকে বোঝা যাচ্ছে যে ওটা একটা বাউন্ড স্টেট, কেননা x = pm infty তে ডেল্টা পোটেনশিয়ালের মান V(pm infty)=0। কিন্তু যদি কণার শক্তি (E) ধনাত্মক হয়, তবে? এক্ষেত্রে যেহেতু E > V(pm infty), তাই কণাটি ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে বিক্ষিপ্ত (scattered) হবে, যাকে কোয়ান্টাম পদার্থবিদ্যার ভাষায় বলা হয় স্ক্যাটারিং স্টেট। স্ক্যাটারিং স্টেট ওয়েভ ফাংশন তোমরা আগেও দেখেছো – স্টেপ পোটেনশিয়াল ও পোটেনশিয়াল ব্যারিয়ারের ক্ষেত্রে। পোটেনশিয়ালের উপর আপতিত ওয়েভ ফাংশনের একটি অংশ প্রতিফলিত হয় ও অপর অংশ পোটেনশিয়ালের মধ্যে দিয়ে ট্রান্সমিটেড (transmitted – প্রেষিত) হয়।  Continue reading “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল থেকে স্ক্যাটারিং”

ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল (কূপ) – বাউন্ড স্টেট

ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের প্রকৃতি ও ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট বোঝার জন্য একটি সহজ,  সুন্দর এবং গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। আজ আমরা ডেল্টা ফাংশন ওয়েলের বাউন্ড স্টেট সম্মন্ধে আলোচনা করব। ডেল্টা ফাংশন (delta(x)) বা আরও ভালভাবে বললে, ডিরাকের ডেল্টা ফাংশনের সংজ্ঞা দিয়ে চল আজকের অপেক্ষাকৃত সহজ এই গল্পের সূচনা করি।

\displaystyle delta (x) = \left{ begin{matrix} 0 & text{ if } x neq 0 \ infty & text{ if } x = 0 end{matrix}\right.                                 (1a)
Continue reading “ডেল্টা ফাংশন পোটেনশিয়াল ওয়েল (কূপ) – বাউন্ড স্টেট”

গ্রুপ ভেলোসিটি ও ওয়েভ প্যাকেট

\displaystyle text{e}^{i(kx-omega t)} যদি কোন নির্দ্দিষ্ট তরঙ্গদৈর্ঘ (lambda) বিশিষ্ট চলতরঙ্গের সমীকরণ হয়, যেখানে k = 2pi/lambda ও omega কৌণিক কম্পাঙ্ক, তবে ওই তরঙ্গের ফেজ ভেলোসিটি

\displaystyle v_{text{phase}} = \frac{omega}{k}                         (1)

আগেই বলেছি ফেজ ভেলোসিটি হল ওই তরঙ্গের কোন স্থির দশাযুক্ত বিন্দুর গতিবেগ। অপরপক্ষে আজকের আলোচ্য বিষয় গ্রুপ ভেলোসিটি । “গ্রুপ” শব্দটি থেকেই বুঝতে পারছ যে এটি কোন গ্রুপ বা সমষ্টির গতিবেগ বোঝায়। আর আমরা আগের পোস্টে দেখেছি যে ওয়েভ প্যাকেট হল ভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ সম্পন্ন একগুচ্ছ চলতরঙ্গের সমষ্টি। সুতরাং হয়তো অনুমান করতে পারছ যে এইরকম ওয়েভ প্যাকেট যে গতিতে চলনশীল সেটাই ওই তরঙ্গগুচ্ছের গ্রুপ ভেলোসিটি। Continue reading “গ্রুপ ভেলোসিটি ও ওয়েভ প্যাকেট”

গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)

বিখ্যাত জার্মান গণিতজ্ঞ ও পদার্থবিদ্‍ কার্ল ফ্রিডরিশ গাউসের নাম তোমরা সকলেই হয়তো শুনে থাকবে। গাউসিয়ান শব্দটি এসেছে তারই নাম থেকে। পদার্থবিদ্যা ও গণিতে গাউসিয়ান সারফেস বা পৃষ্ঠতল, গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল, গাউসিয়ান ফাংশন ও গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশন অতি ব্যবহৃত শব্দাবলী। আজকে আমারা ফ্রী পার্টিকলের প্রারম্ভিক ওয়েভ প্যাকেট রূপে গাউসিয়ান ফাংশন ব্যবহার করব। অর্থাৎ,

\displaystyle Psi(x,0) = A text{e}^{-a x^2}                      (1)

তোমরা আরও জানো যে কোন নির্দ্দিষ্ট সময়ে ফ্রী পার্টিকলের ওয়েভ প্যাকেট নিম্নলিখিত দুটি সমীকরণ ব্যবহার করে লেখা হয়, Continue reading “গাউসিয়ান ওয়েভ প্যাকেট (ফ্রী পার্টিকল)”

ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স

ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার গতি ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে একটি মামুলী বিষয় – এতটাই যে কোন পাঠ্যবইতে ওর সম্মন্ধে আলাদা করে কিছু লেখা হয়না। অথচ ফ্রী পার্টিকলের কোয়ান্টাম মেকানিক্স একটি অত্যন্ত চমত্কার ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। নাম থেকেই বোঝা যাচ্ছে যে ফ্রী পার্টিকল হচ্ছে এমন একটি বস্তুকণা যার স্থিতিশক্তি সর্বদা শূন্য। আরও পরিষ্কার করে বললে – ওর জন্য বিশ্বব্রহ্মান্ডের সর্বত্রই পোটেনশিয়ালের মান শূন্য (V(x) = 0)। এর মানে এটাও হয় যে কণাটি আকর্ষণ বা বিকর্ষণ কোন রকম বল অনুভব করেনা। অর্থাৎ ফ্রী পার্টিকল যেন কোয়ান্টাম মেকানিকাল খোলা ষাঁড়। অথবা যেন স্থিতপ্রজ্ঞ সন্ন্যাসী – যেখানে খুশি সেখানে অবাধ গতি, কোন কিছুর প্রতিই কোন আসক্তি বা বিরক্তি নেই। যেহেতু আমাদের উদ্দেশ্য এইরকম একটি ফ্রী পার্টিকলের কোয়ান্টাম মেকানিক্স আলোচনা করা সুতরাং আর অধিক বিলম্ব না করে আমরা ওর জন্য একমাত্রিক শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি লিখে ফেলব। Continue reading “ফ্রী পার্টিকল বা অবাধ বস্তুকণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স”

বাউন্ড স্টেট ও স্ক্যাটারিং স্টেট

বাউন্ড স্টেট ও স্ক্যাটারিং স্টেট (bound states and scattering states) শব্দ দুটি তোমরা ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে হয়তো শুনে থাকবে। ধর E শক্তি সম্পন্ন একটি বস্তকণা V(x) পোটেনশিয়াল বিশিষ্ট স্থানে গতিশীল। যদি (কোন মুহুর্তে) বস্তুটি যেখানে আছে তার দুদিকেই V(x) -এর মান কণার শক্তি থেকে বেশী হয় তবে যে পোটেনশিয়াল ওয়েল তৈরী হবে বস্তুটি তার মধ্যেই আটকে থাকতে বাধ্য (যদি বাইরে থেকে অতিরিক্ত শক্তি বস্তুটিকে প্রদান করা না হয়)। ১ নং চিত্রে এটা দেখানো হয়েছে। বস্তুর মোট শক্তি যে বিন্দুদ্বয়ে ওর পোটেনশিয়াল শক্তির সমান হয়ে যায় সেই বিন্দুদের বলা হয় ক্লাসিক্যাল টার্ণিং পয়েন্ট (turning p\oint)। কারণ ওই দুটি বিন্দুতে কণার গতিশক্তি শূন্য হয় এবং ফলে বস্তুর গতির অভিমুখ উল্টে যায়। Continue reading “বাউন্ড স্টেট ও স্ক্যাটারিং স্টেট”

টানেলিং- কয়েকটি উদাহরণ

আজ টানেলিংয়ের কয়েকটি উদাহরণ দেব। এর থেকে বুঝতে পারবে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের এই উদ্ভট তত্ত্বের ব্যাবহারিক প্রয়োগ কতটা গুরুত্বপূর্ণ। প্রথম উদাহরণ একটি প্রাকৃতিক ঘটনা। দেখা গেছে যে কিছু কিছু তেজস্ক্রিয় মৌলের পরমাণুর নিউক্লিয়াস স্বতপ্রণোদিত ভাবে একটি আলফা কণা (হিলিয়াম নিউক্লিয়াস ^4_2text{He}) নির্গত করে অপাক্ষাকৃত কম ভর সংখ্যা (চার কম) ও পারমাণবিক সংখ্যা (দুই কম) বিশিষ্ট একটি নতুন নিউক্লিয়াসে পরিণত হয়। যেমন ইউরেনিয়ামের নিউক্লিয়াস ^{238}_{92}text U থেকে একটি আলফা কণা বিকিরীত হলে সেটা থোরিয়াম নিউক্লিয়াসে (^{234}_{90}text {Th}) পর্যবসিত হয়। Continue reading “টানেলিং- কয়েকটি উদাহরণ”

পোটেনশিয়াল ব্যারিয়ার – টানেলিং

টানেলিং ব্যাপারটি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি অন্যতম অদ্ভুত ঘটনা। ধর তুমি লোহার দেওয়ালে একটি পাথর নিক্ষেপ করলে। (যদি তুমি বাটুল দি গ্রেট না হও) তবে ক্লাসিকাল মেকানিক্স অনুসারে পাথরটি অবশ্যই দেওয়ালে ঢাক্কা খেয়ে ফিরে আসবে। কিন্তু কোয়ান্টাম ওয়ার্ল্ডে তুমি পিলে জ্বরে ভোগা ও রোজ পেঁপে দিয়ে শিঙি মাছের ঝোল খাওয়া পটলডাঙ্গার পটলা হলেও তোমার ছোড়া ঢিল লোহার দেওয়ালের অপর পাশে পৌছে যেতে পারে (সে তুমি যত আস্তেই ঢিল ছোড় না কেন)। এটাই টানেলিং। এবারে আমরা আরও গভীরে গিয়ে ব্যাপারটি বোঝার চেষ্টা করব। তোমরা দেখেছো যে যদি পোটেনশিয়াল স্টেপের উচ্চতার থেকে কম শক্তি সম্পন্ন কোন কণা স্টেপের উপর আপতিত হয়, তবে স্টেপের অপর পাশেও এক্সপোনেনশিয়ালি ক্ষয়িষ্ণু ওয়েভ ফাংশন তৈরী হয়। Continue reading “পোটেনশিয়াল ব্যারিয়ার – টানেলিং”

পোটেনশিয়াল স্টেপ – কণার শক্তি E < স্টেপের উচ্চতা

পোটেনশিয়াল স্টেপের কিছু আলোচনা আমরা এর আগের দুটো পোস্টে করেছি। তোমরা দেখেছো যে যদি কণার শক্তি স্টেপের উচ্চতার থেকে বেশি হয়, তবে কণাটির কিছু সম্ভাবনা যেমন থাকে স্টেপ পার হয়ে চলে যাওয়ার, তেমনি কিছু সম্ভাবনা থাকে স্টেপ থেকে প্রতিফলিত হয়ে ফিরে আসার। এটা অনেকটা আলো এক মাধ্যম থেকে আরেক মাধ্যমে গেলে যেমনটি হয়, ঠিক তেমন। আজকে আমরা দেখব যদি কণার শক্তি (E) পোটেনশিয়াল স্টেপের উচ্চতার থেকে কম হলে কি হবে। এখানে মনে রাখবে উচ্চতা বলতে আমি স্থিতিশক্তি বা পোটেনশিয়াল এনার্জির সর্ব্বোচ্চ মান বোঝাতে চেয়েছি, যাকে এর আগের দুটি পোস্টে V_0 দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে। যথারীতি আমরা টাইম ইনডেপেন্ডেন্ট শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ লিখে শুরু করব। Continue reading “পোটেনশিয়াল স্টেপ – কণার শক্তি E < স্টেপের উচ্চতা"

প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি ও স্টেপ পোটেনশিয়াল

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে কন্টিনিউইটি সমীকরণ থেকে প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটির ধারণা পাওয়া যায়। যেহেতু বস্তুকণার সংখ্যা সবসময় সংরক্ষিত থাকে, তাই একবার নর্মালাইজড করা ওয়েভ ফাংশন তা চিরকাল ধরেই নর্মালাইজড থাকবে। তার মানে,

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-infty}^{infty}Psi^* Psi dx = 0                             (1a)

\displaystyle \int_{-infty}^{infty}\frac{\partial}{\partial t}(Psi^* Psi) dx = 0

এখন, \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}(Psi^* Psi) = Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial t} + \frac{\partialPsi^*}{\partial t}Psi                                                  (1b) Continue reading “প্রবাবিলিটি কারেন্ট ডেনসিটি ও স্টেপ পোটেনশিয়াল”