অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ

গত পোষ্টের পর অনেকগুলি দিন অতিবাহিত হয়ে গেছে, অথচ নতুন পোষ্ট করা হয়ে ওঠেনি। আসলে এ-কয়েকদিন একটি ছোট্ট কোয়ান্টাম সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশন ক্যালকুলেট করাতে মগ্ন ছিলাম। এটা শুনে আবার আমাকে একটা দাম্ভিক পণ্ডিত ভাবতে বোসনা যেন; আমি একেবারেই সাদাসিধে মা-মাটির-মানুষ ! এই প্রসঙ্গটা তুললাম তার কারণ এর পরের কিছু পোষ্টে আমরা জানব কিভাবে কোন সিষ্টেমের ওয়েভ ফাংশন গণনা করা হয়। শুধু তাই নয়, আমরা এটাও জানব কিভাবে ওয়েভ ফাংশন থেকে কোয়ান্টাম সিষ্টেমের শক্তি নির্ণয় করা যায়। তবে তার আগে আমাদের অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ – কথা দুটির মানে ভালো করে বুঝে নিতে হবে।

এর আগে দেখেছো কিভাবে কোন পরীক্ষায় ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের বিন্যাস বা distribution থেকে নম্বরের গড় মান নির্ণয় করা যায়। ওই পদ্ধতি ব্যবহার করে যেকোন পরিমাপযোগ্য রাশির (যেমন নম্বর, ওজন, বয়স, দৈর্ঘ ইত্যাদি) গড় মান বের করা সম্ভব। শুধু একটি ছোট্ট অসুবিধা আছে! ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বর একটি discrete variable বা বিযুক্ত রাশি। সাদা বাংলায় (সবুজও চলতে পারে, কিন্তু লাল বাংলা একেবারেই নয় ;)। পরিবর্তনের জোয়ারে আমাদের মনে আবার লালভীতি জন্মেছে!) এর মানে হল নম্বরের শুধু কিছু নির্দিষ্ট মান থাকতে পারে, যেমন 34, 55, 62, 100 ইত্যাদি। পরীক্ষায় কেউ কোনদিন 34.005 বা 50.12 বা 99.99 পায়না। কিন্তু বাস্তব জগতে এই ডিসক্রিট (discrete) রাশি ছাড়াও এমন কিছু রাশি বা variable আছে যাদের মান নিরবচ্ছিন্ন (conti\nuous)। উদাহরণস্বরূপ কোন গতিশীল কণার অবস্থানের উল্লেখ করা যেতে পারে। কণাটির গতিপথের সমস্ত বিন্দুতেই কণাটি কোন না কোন সময়ে ছিল বা থাকবে, অর্থাৎ কণার অবস্থান একটি কন্টিনিউয়াস রাশি। এইরকম রাশির ক্ষেত্রে গড় নির্ণয়ের সূত্রটিকে সামান্য পরিবর্তন করার দরকার হয়। ধর একটি কোয়ন্টাম কণার অবস্থানের ( $x$ ) গড় মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে তোমাকে। তাহলে নম্বরের গড় বের করার সূত্রের মত করে আমরা লিখতে পারি $\langle x\rangle = \sum_i x_i P(x_i)$ । এখানে $P(x_i)$ হল $x_i$ বিন্দুতে কণাটিকে পাওয়ার সম্ভাবনা। কিন্তু সমস্যা হল যে $x$ একটি কন্টিনিউয়াস রাশি, তাই $x_i$ -এর অসংখ্য মান হতে পারে। তাহলে এই সমীকরণের যোগটিকে কিভাবে গণনা করবে? এছাড়াও আমরা শুধু একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর আশেপাশে সসীম পরিসরেই কণাটিকে পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করতে পারি; একেবারে (exactly) কোন নির্দিষ্ট বিন্দুতে কণাটিকে পাওয়ার সম্ভাবনা নগন্য। এই ব্যাপারটি একটি উদাহরণ দিলে পরিষ্কার হতে পারে। পয়লা বৈশাখ জন্ম হয়েছে এরকম লোকের সংখ্যা প্রচুর, পয়লা বৈশাখ বেলা দশটা নাগাদ জন্ম হয়েছে এমন লোকের সংখ্যা খানিক কম হবে, পয়লা বৈশাখ বেলা দশটা বেজে দশ মিনিটে জন্ম হয়েছে এরকম লোকের সংখ্যা আরও কম এবং পয়লা বৈশাখ ঠিক বেলা দশটা বেজে দশ মিনিট দশ সেকেন্ডে জন্ম হয়েছে এরকম লোকের সংখ্যা নগন্য।

এই সমস্যা অতিক্রম করার জন্য কোন একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ( $x$ ) কণাটির থাকার সম্ভাবনার পরিবর্তে $x$ বিন্দুর পার্শ্ববর্তী $mathrm{d}x$ দৈর্ঘের খুব ক্ষূদ্র পরিসরে কণাটিকে পাওয়ার সম্ভাবনা এক্ষেত্রে গড় নির্ণয়ের জন্য ব্যবহার করা হয়। যদি $Psi(x,t)$ কণাটির ওয়েভ ফাংশন হয়, তবে তোমরা জানো যে কোন নির্দিষ্ট সময় $t$ তে $x$ ও $x+mathrm{d}x$ বিন্দুর মাঝে কণার থাকার সম্ভাবনা $|\psi(x,t)|^{2}mathrm{d}x$ । তোমারা আরও জানো যে $\int_{-infty}^{infty}|\psi(x,t)|^{2} mathrm{d}x = 1$ (নর্মালাইজেশন শর্ত)। তাহলে আগের পোষ্টের নম্বরের গড়ের সূত্রটিকে কন্টিনিউয়াস রাশির ক্ষেত্রে ব্যবহার উপযোগি করার জন্য নিম্নলিখিতভাবে পরিবর্তিত করা যায়,

$\displaystyle \langle x\rangle = \int_{-infty}^{infty}x|\psi(x,t)|^{2} mathrm{d}x$

কোয়াণ্টাম মেকানিক্সে কোন পরিমাপযোগ্য রাশির গড় মানকে তার এক্সপেকটেশন ভ্যালূ (expectation value) বলা হয়। বুঝতেই পারছো যে এক্সপেকটেশন ভ্যালূকে কোণাকুণি ব্র্যাকেট দিয়ে লেখা হয়। যেহেতু ওয়েভ ফাংশন সাধারণত একটি জটিল রাশি (complex quantity), তাই $|\psi(x,t)|^{2} = \psi(x,t)^{*}.\psi(x,t)$ , যেখানে $\psi(x,t)^{*}$ হল $\psi(x,t)$ -এর complex conjugate (কমপ্লেক্স কনজুগেট)। সুতরাং অবস্থানের এক্সপেকটেশন ভ্যালূকে আমরা নিম্নলিখিতভাবে লিখতে পারি,

$\displaystyle\langle x\rangle = \int_{-infty}^{infty}\psi(x,t)^{*}.x.\psi(x,t) mathrm{d}x$

এবারে ধর আমরা কণাটির রৈখিক ভরবেগের ( $p$ ) বা linear momentum -এর গড় নির্ণয় করতে চাই। তোমরা জানো যে ক্লাসিকাল মেকানিক্সে $p = mv = m \frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}$ , যেখানে m ও v হল যথাক্রমে কণার ভর ও গতিবেগ। তাহলে আমরা লিখতে পারি যে $\langle p\rangle = m\frac{mathrm{d}\langle x\rangle}{mathrm{d}t}$ , কেননা গতিবেগের গড় মান কণাটির গড় অবস্থান পরিবর্তনের হারের সমান হওয়া উচিত। ক্যালকুলাস ব্যবহার করে এটা দেখানো যেতে পারে যে ভরবেগের এক্সপেকটেশন ভ্যালূ (প্রমাণ পোস্টের শেষে দেওয়া হয়েছে),

$\displaystyle\langle p\rangle = \int_{-infty}^{infty}\psi(x,t)^{*}.(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}).\psi(x,t) mathrm{d}x$

এই সমীকরণে $i = sqrt{-1}$ , $\hbar=h/2pi$ , যেখানে $h$ হল প্লাংক কনস্ট্যান্ট। $\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)$ -কে বলা হয় ভরবেগের অপারেটর $\left( hat p \right)$ বা momentum operator। $p$ -এর উপরে টুপির মত (hat) চিহ্নটি বোঝাচ্ছে যে ওটা একটা অপারেটর। ভরবেগের এক্সপেকটেশন ভ্যালূ বা গড় মান নির্ণয় করার জন্য ওয়েভ ফাংশন ও তার কমপ্লেক্স কনজুগেটের মাঝে ভরবেগ অপারেটরকে স্যান্ডউইচ করে পুরো জিনিসটিকে ইন্টিগ্রেট (\integrate) করা হয়। একইভাবে অবস্থানের এক্সপেকটেশন ভ্যালূ নির্ণয় করার জন্য ওয়েভ ফাংশন ও তার কমপ্লেক্স কনজুগেটের মাঝে $x$ কে জুড়ে দিয়ে ইন্টিগ্রেট করা হয়েছে। অতএব অবস্থানের অপারেটর $hat x$ (position operator) হল $x$ .

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে যেকোন পরিমাপযোগ্য রাশিকে তার অপারেটর দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এপর্যন্ত আমরা অবস্থান ও রৈখিক ভরবেগের অপারেটরের সাথে পরিচিত হয়েছি। যেহেতু কণার গতি সম্পর্কিত সমস্ত ক্লাসিকাল পরিমাপযোগ্য রাশিদের রৈখিক ভরবেগ ও অবস্থানের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তাই আশা করা যায় যে তাদের কোয়ান্টাম মেকানিকাল অপারেটরদেরও অবস্থান ও ভরবেগের অপারেটরের ফাংশন হিসেবে লেখা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ চল শক্তির অপারেটরদের সাথে করমর্দন করা যাক। তোমরা জনো যে গতিশক্তি $E_k =p^2/2m$ । তাহলে গতিশক্তির অপারেটর,

$\displaystyle hat{E_k}= \frac{{hat p}^2}{2m} = \frac{\left( -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$

স্থিতিশক্তি বা potential energy বস্তুর অবস্থানের একটি ফাংশন মাত্র, তাই স্থিতিশক্তির অপারেটরও অবস্থান অপারেটরের একটি ফাংশন $V(x)$ । সুবিধের জন্য একসাথে একটি লিস্টে কয়েকটি কোয়ান্টাম অপারেটরের ফরমূলা নিম্নে দেওয়া হল,

১. অবস্থান অপারেটর (position) $\displaystylehat x equiv x$

২. রৈখিক ভরবেগ অপারেটর (linear momentum) $\displaystylehat p equiv \left( -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right)$

৩. গতিশক্তি অপারেটর (kinetic energy) $\displaystylehat E_k equiv \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)$

৪. স্থিতিশক্তি অপারেটর (potential energy) $\displaystylehat E_p equiv V(x)$

এই অপারেটরগুলির গড় মান বের করার জন্য $Psi^*$ ও $Psi$ এর মাঝে অপারেটরটিকে বসিয়ে ইন্টিগ্রেট করে দিতে হবে, অর্থাৎ,

$\displaystyle \langle O\rangle = \int Psi^* hat{O} Psi dx$

এর আগেও তোমাদের কোয়ান্টাম পরিমাপ সম্মন্ধে বলেছি, আবারও বলছি যে কোন রাশির গড় মান বা এক্সপেকটেশন ভ্যালূ পরীক্ষা করে বের করার জন্য একই সিষ্টেমের উপর বারবার পরিমাপ করা যায়না। তার বদলে একই রকম অনেকগুলি সিষ্টেম তৈরি করে তাদের প্রত্যেকটিতে ওই রাশির মান পরিমাপ করে তাদের গড় মান থেকে ওই রাশির এক্সপেকটেশন ভ্যালূ নির্ণয় করা হয়। আর ওই পরিমাপের ফলগুলির স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন ওই সিষ্টেমের ক্ষেত্রে ওই রাশির আনসার্টেনটির পরিমাপ। যেমন যদি ভরবেগ মাপা হয়ে থাকে তবে ভরবেগের আনসার্টেনটি,

$\displaystyledelta p = sqrt{\langle p^2\rangle - \langle p \rangle^2}$ , যেখানে $\displaystyle\langle p^2\rangle = \int_{-infty}^{infty}\psi(x,t)^{*}.(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})^2.\psi(x,t) mathrm{d}x$

এর পরের পোষ্টে তোমাদের দেখাবো কিভাবে কোন ওয়েভ ফাংশন থেকে বিভিন্ন রাশির এক্সপেকটেশন ভ্যালূ নির্ণয় করা হয়। তদবধি ভালো থেকো।

[প্রমাণঃ যেহেতু $Psi(x,t)$ সময়ের উপর নির্ভর করে, তাই $\langle x\rangle$ -ও সময়ের উপর নির্ভর করবে। তবে মনে রাখবে যে কোয়ান্টাম সিস্টেমের জন্য $x$ সময়ের উপর নির্ভর করে না। সুতরাং,

$\displaystyle \frac{d\langle x\rangle}{dt} = \int_{-infty}^{infty}\frac{\partial Psi^*}{\partial t}.x. Psi dx + \int_{-infty}^{infty}Psi^*.x.\frac{\partial Psi}{\partial t} dx$ (1)

তোমরা জানো যে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ,

$\displaystyle i\hbar\frac{\partial Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2Psi}{\partial x^2} +VPsi$
$\displaystyle \frac{\partial Psi}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2Psi}{\partial x^2} -\frac{i}{\hbar}VPsi$ (2a)
এই সমীকরণের কমপ্লেক্স কনজুগেট করে,
$\displaystyle \frac{\partial Psi^*}{\partial t} = -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2Psi^*}{\partial x^2} + \frac{i}{\hbar}VPsi^*$ (2b)

(2a) নং সমীকরণকে $Psi^*$ দিয়ে ও (2b) কে $Psi$ দিয়ে গুণ করে পরষ্পরের সাথে যোগ করে
$\displaystyle \left(\frac{\partial Psi^*}{\partial t}Psi + Psi^*\frac{\partial Psi}{\partial t}\right) = \frac{i\hbar}{2m}\left(Psi^*\frac{\partial^2Psi}{\partial x^2} - \frac{\partial^2Psi^*}{\partial x^2}Psi\right)$
$\displaystyle = \frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial}{\partial x}\left(Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} - \frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi\right)$
সুতরাং (1) নং সমীকরণকে সাজিয়ে লিখে,
$\displaystyle \frac{d\langle x\rangle}{dt}= \int_{-infty}^{infty}x\left(\frac{\partial Psi^*}{\partial t}Psi + Psi^*\frac{\partial Psi}{\partial t}\right) dx$
$\displaystyle= \frac{i\hbar}{2m}\int_{-infty}^{infty}x \frac{\partial}{\partial x}\left(Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} - \frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi\right) dx$

$\displaystyle= \frac{i\hbar}{2m}\left[ \left. x \left(Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} - \frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi\right)\right|_{-infty}^{infty} -\int_{-infty}^{infty}\left(Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} - \frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi\right) dx\right]$
$\displaystyle= -\frac{i\hbar}{2m}\int_{-infty}^{infty}\left(Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} - \frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi\right) dx$
$\displaystyle= \frac{i\hbar}{2m}\left[ 0 -\int_{-infty}^{infty}\left(Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} - \frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi\right) dx\right]$ [ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টসের নিয়ম অনুসরণ করে।]
যেহেতু $xto pminfty$ তে $Psi(x, t)$ অবশ্যই শূন্য হবে, তাই উপরের সমীকরণের প্রথম পদটি শূন্য। অতএব,

$\displaystyle \frac{d\langle x\rangle}{dt}= -\frac{i\hbar}{2m}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} dx -\int_{-infty}^{infty}\frac{\partialPsi^*}{\partial x}Psi dx\right]$
বাদিকের দ্বিতীয় পদটিকে আরও একবার ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টসের নিয়মে ইন্টিগ্রেশন করে,

$\displaystyle \frac{d\langle x\rangle}{dt}= -\frac{i\hbar}{2m}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} dx - \left. Psi Psi^*\right|_{-infty}^{infty} + \int_{-infty}^{infty}Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} dx\right]$

$\displaystyle = -\frac{i\hbar}{2m}\left[\int_{-infty}^{infty}Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} dx - 0 + \int_{-infty}^{infty}Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} dx\right]$

$\displaystyle \langle p\rangle =m\frac{d\langle x\rangle}{dt} = -i\hbar\int_{-infty}^{infty} Psi^*\frac{\partialPsi}{\partial x} dx$
$\displaystyle = \int_{-infty}^{infty}Psi^*\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right) Psi dx$ ]

2 thoughts on “অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ”

shariful islam says:

August 26, 2014 at 3:19 pm

প্রমাণের শেষ দুইটা লাইন বুঝতে পারিনি। দয়া করে যদি আরও একটু বিশ্লেষণ করতেন…………..

1. admin says:
  
  August 26, 2014 at 5:07 pm
  
  তোমার অনুরোধ অনুসারে প্রমাণের শেষ দুটো লাইন আরও বিশ্লেষণ করে দিয়েছি।

অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ

Related

2 thoughts on “অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ”

Leave a Reply to shariful islam Cancel reply

Share this:

Related

2 thoughts on “অপারেটর ও এক্সপেকটেশন ভ্যালূ”

Leave a Reply to shariful islam Cancel reply