ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল – সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন

তোমাদের নিশ্চয় মনে আছে যে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ মূলত একটি সময় নির্ভর সমীকরণ। সুতরাং তার সমাধানও সময়ের উপর নির্ভর করবে সেটাই স্বাভাবিক। যেহেতু ইনফাইনাইট ওয়েলের পোটেনশিয়াল বা স্থিতিশক্তি সময়ের উপর নির্ভর করেনা তাই আমরা শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান ওয়েভ ফাংশনকে টেম্পোরাল (temporal – সময়ের উপর নির্ভরশীল) ও স্পেশিয়াল (spatial – স্পেস বা স্থানের উপর নির্ভরশীল) পার্টে আলাদা করে নিতে পেরেছি। তার মানে কিন্তু এটা নয় যে ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন সময় অনির্ভর! আজকের পোষ্টে আমরা দেখব কিভাবে ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের সময় অনির্ভর ওয়েভ ফাংশন থেকে সময় নির্ভরশীল ওয়েভ ফাংশন লেখা যায়। তোমরা জানো যে, যদি কোয়ান্টাম ওয়েলের কোন লেভেল বা স্টেটের প্ৰিন্সীপল কোয়ান্টাম নম্বর n হয়, তবে সেই লেভেলের স্টেশনারী ওয়েভ ফাংশন (Psi_n(x)) ও শক্তি (E_n) হল যথাক্রমে,

Psi_n(x) = sqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}\left(npi x/L\right)       ——     (1)

E_n =\frac{n^2pi^2\hbar^2}{2mL^2}                                    ——-  (2)

এই দুটি জানা থাকলে সময়ের উপর নির্ভরশীল ওয়েভ ফাংশন লেখা খুব সহজ। শুধু সময় অনির্ভর ওয়েভ ফাংশনকে e^{-iE_n t/\hbar} দিয়ে গুণ করে দিলেই হল (t হল সময়),

Psi_n(x, t) = sqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}\left(npi x/L\right).e^{-iE_n t/\hbar} ——– (3)

লক্ষ্য কর যে n = 1, 2, 3, 4 …. ইত্যাদি যেকোন ধণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্যই (3) নং সমীকরণ সময় নির্ভরশীল শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান। (যারা এই বাক্যটি সম্পর্কে সন্দিহান, তাদের উপদেশ দয়া করে খাতা কলম নিয়ে n এর যেকোন একটি মানের জন্য এই ওয়েভ ফাংশনটিকে সময় নির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণে বসিয়ে দেখ।) n এর বিভিন্ন মানের জন্য যে সমাধানগুলি পাওয়া যায় তাদেরকে যদি বিভিন্ন ধ্রুবক দিয়ে গুণ করে পরষ্পরের সাথে যোগ করা যায় (এক কথায় linear combination), তবে যে টোটাল ওয়েভ ফাংশন পাওয়া যাবে সেটাও সময় নির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান হবে। অর্থাৎ,

Psi(x, t) = a_1Psi_1(x, t) + a_2Psi_2(x, t) + a_3Psi_3(x, t) + .....=\displaystyle\sum_{n=1}^{infty} a_nPsi_n(x, t) -ও শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান। এখানে a_1, a_2, a_3…..a_n ইত্যাদি হল বিভিন্ন ধ্রুবক। এই সমাধানটিকে বলা হয় সময় নির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সবচেয়ে জেনারেল সলিউশান বা সাধারণ (বা সর্বজনীন) সমাধান (most general solution)। তোমাদের মনে হয়তো এইবেলা একটা প্রশ্ন মিষ্টির দোকানে রসগোল্লার চারধারে যেমন মাছি ভনভন করে সেরকম করে ঘুরছে; a_1, a_2, a_3…..a_n ইত্যাদি গা৺দাগুচ্ছের ধ্রুবকের মান বের হবে কি করে? ধ্রুবকগুলির মান নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজন ওয়েভ ফাংশনের উপর প্রযোজ্য একটি প্রারম্ভিক শর্ত বা initial condition। [অর্থাৎ t= 0 সময়ে ওয়েভ ফাংশন (Psi(x, 0)) জানা থাকতে হবে।] অবশ্য এর জন্য তোমাদের ফুরিয়ের সিরিজ নামে একটি গাণিতিক পদ্ধতি জানতে হবে। সে সম্মন্ধে পরে একদিন আলোচনা করা যাবে। তবে এখন এটা জেনে রাখো যে n এর বিভিন্ন মানের জন্য সমাধানগুলিকে পরষ্পরের সাথে যোগ করে (linear combination) জেনারেল সলিউশান বের করার উদ্দেশ্যই ছিল এই প্রারম্ভিক শর্ত বা initial condition পূরণ করা। n-এর শুধু একটি মানের জন্য যে ওয়েভ ফাংশন পাওয়া যায় তা দিয়ে যেকোনো প্রারম্ভিক শর্ত পূরণ করা সম্ভব নয়। (কেন? একটু ভেবে দেখ; বুঝতে না পারলে নিচের মন্তব্য অংশে প্রশ্ন কর।) নিচের ছবিটিতে ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের কয়েকটি সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন দেখানো হয়েছে।

InfiniteSquareWellAnimationচিত্র – ১:- (A) ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স অনুসারে কূপের মধ্যে বলের গতি। (B), (C) ও (D) যথাক্রমে n = 1, 2 ও 3 -র জন্য সময় নির্ভর স্টেশনারী স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশন। যেহেতু ওয়েভ ফাংশন একটি জটিল রাশি, তাই এই ছবিতে নীল রেখাগুলি ওয়েভ ফাংশনের real part ও লাল রেখাগুলো imaginary part প্রকাশ করে। লক্ষ্য কর যে এই তিনটি ক্ষেত্রে কোন এক বিন্দুতে তরঙ্গের দশা সময়ের উপর নির্ভর করেনা। (E) ও (F) হল দুটি সময় নির্ভর সাধারণ সমাধান (general solution), যেখানে কোন এক বিন্দুতে তরঙ্গের দশা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়। ছবি সৌজন্যেঃ Wikimedia Commons।

আজ এপর্যন্তই রইল। ভালো থেকো ও পড়তে থাকো।

4 thoughts on “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল – সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন”

    1. ধন্যবাদ সূজয়। এই টপিকে আরো লিখবো খুব শীঘ্রই।

      Reply

    1. ধন্যবাদ rifat ভাই। অনেকদিন পর আপনার কমেন্ট পেলাম। ভালো লাগলো। আরো পোষ্ট অবশ্যই করবো।

      Reply

Leave a Reply to sujoy Cancel reply

Your email address will not be published.