ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান – আরও একটু

এক ঝলকে একটু দেখা, আরও একটু বেশি হলে ক্ষতি কি? যদি কাটেই জীবন ফিজিক্স পড়ে, আরও একটু বেশি জেনে, ক্ষতি কি? তাই আজ আমরা কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধানটিকে নিয়ে আরও একটু নাড়াচাড়া করবো, আরও একটু বেশি জানবো। যেমন জেনারেল সমাধানের ধ্রুবকগুলির তাৎপর্য কি, ওগুলোর বৈশিষ্টই বা কি ইত্যাদি। তাহলে চটপট জেনারেল সমাধানটিকে লিখে ফেল,

Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}

যেখানে Psi_n(x) হল n-তম লেভেলের স্থানু ওয়েভ ফাংশন যাতে কণার শক্তি E_n। আশাকরি তোমাদের মনে আছে যে ওয়েভ ফাংশনকে সবসময়ই নর্মালাইজড থাকতে হবে (মনে কর কেন?)। সুতরাং,

\displaystyle\int Psi(x, t)^*Psi(x,t) mathrm{d}x = 1 ——- (1)

বা, \displaystyle\int \displaystyle\sum_n a_n^*Psi_n(x)^*e^{iE_nt/\hbar}.\displaystyle\sum_m a_mPsi_m(x)e^{-iE_mt/\hbar} mathrm{d}x = 1    ——- (2)

উপরোক্ত সমীকরণ দুটিতে * চিহ্ন মানে কমপ্লেক্স কন্জুগেট। a_n ধ্রুবকগুলি কিন্তু কমপ্লেক্স নাম্বারও হতে পারে, তাই ওদেরও কমপ্লেক্স কন্জুগেট নিতে হয়েছে। আরও একটা ব্যাপার লক্ষ্য কর যে ইন্টিগ্রেশনের ভেতরে Psi(x,t) লেখার জন্য সামেশন চিহ্নের মাঝে একবার n ও একবার m ব্যবহার করা হয়েছে। দুটো সামেশন চিহ্নযুক্ত রাশির গুণের ক্ষেত্রে এটা আবশ্যক নিয়ম, না হলে গুনফলের অনেকগুলো টার্ম বাদ পড়ে যাবে। (একবার খাতায় কলমে চেষ্টা করে দেখ।) যাই হোক, (2) নং সমীকরণকে সাজিয়ে লিখে আমরা পাই,

\displaystyle\sum_n\displaystyle\sum_m a_n^*a_me^{iE_nt/\hbar}e^{-iE_mt/\hbar}\int Psi_n(x)^*Psi_m(x)mathrm{d}x = 1 —— (3)

এবারে আমাদের দেখতে হবে \displaystyle\int Psi_n(x)^*Psi_m(x)mathrm{d}x = ?। তোমরা দেখেছো যে ইনফাইনাইট ওয়েলের ক্ষেত্রে স্থানু ওয়েভ ফাংশনগুলি হল,

Psi_n(x) = \displaystylesqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}(npi x/L)। অতএব,

\displaystyle\int Psi_n(x)^*Psi_m(x)mathrm{d}x = \displaystyle\int_0^L sqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}(npi x/L) sqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}(mpi x/L) mathrm{d}x —– (4)

এর আগের পোষ্ট থেকে তোমরা জানো যে, (4) নং সমীকরণের ইন্টিগ্রেশনের ফল delta_{mn}। সুতরাং

\displaystyle\int Psi_n(x)^*Psi_m(x)mathrm{d}x = delta_{mn}। যে সমস্ত ওয়েভ ফাংশন এই শর্ত মেনে চলে তাদের বলা হয় অর্থোনর্মাল (orthonormal) ওয়েভ ফাংশন। শুধু কোয়ান্টাম ওয়েলের ক্ষেত্রেই নয়, যেকোনো ক্ষেত্রেই শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের স্থানু বা stationary state সমাধানগুলো পরষ্পরের সাথে অর্থোনর্মাল। এই অর্থোনর্মালিটি শর্ত ব্যবহার করে যদি আমরা (3) নং সমীকরনকে একটু সহজ করে লিখি তবে,

\displaystyle\sum_n\displaystyle\sum_m a_n^*a_me^{iE_nt/\hbar}e^{-iE_mt/\hbar}delta_{mn} = 1            ———— (5)

\displaystyle\sum_n( a_n^*a_1e^{iE_nt/\hbar}e^{-iE_1t/\hbar}delta_{1n} + a_n^*a_2e^{iE_nt/\hbar}e^{-iE_2t/\hbar}delta_{2n} + a_n^*a_3e^{iE_nt/\hbar}e^{-iE_3t/\hbar}delta_{3n} + ...... + a_n^*a_me^{iE_nt/\hbar}e^{-iE_mt/\hbar}delta_{mn} + ...... = 1 ——— (6)

delta_{mn} থাকার জন্য (6) নং সমীকরণে যোগের মাঝে যে টার্ম (পদ) গুলি আছে তাদের মধ্যে শুধু n=m ছাড়া বাকি সবগুলই শূন্য। সুতরাং,

\displaystyle\sum_n a_n^*a_n = 1

বা, \displaystyle\sum_n |a_n|^2 = 1 ————– (7)

এই সমীকরণটির মানে বুঝতে গেলে আমাদের ফিরে দেখতে হবে জেনারেল সমাধানটিকে।

Psi(x, t) = a_1Psi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar} + a_2Psi_2(x)e^{-iE_2t/\hbar} + ...... + a_nPsi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar} + ..... ——- (8)

অর্থাৎ Psi(x, t) ওয়েভ ফাংশন তৈরীতে Psi_n(x) -এর অবদান কতটা, a_n ধ্রুবক সেটাই প্রকাশ করে। যদি তুমি Psi(x, t) স্টেট -এর শক্তি পরিমাপ কর তবে ফল হিসেবে E_n পাওয়ার সম্ভাবনা হল |a_n|^2। এই জেনারেল সমাধান বা স্টেটটির (Psi(x, t)) শক্তির পরিমাপ করলে স্থানু স্টেটগুলির কোন একটির শক্তিই (E_1, E_2 … ইত্যাদি) ফল হিসেবে পাওয়া যাবে, কারণ তোমাদের আগেই বলেছি যে পরিমাপের প্রক্রিয়া ওয়েভ ফাংশনে পরিবর্তন ঘটায়। এক্ষেত্রে পরিমাপের ফলে Psi(x, t) ওয়েভ ফাংশনটি Psi_1(x), Psi_2(x), …, Psi_n(x) ইত্যাদি স্থানু বা stationary স্টেটের কোন একটিতে পর্যবসিত হয় (wave function collapses) এবং সেই স্থানু স্টেটের শক্তিই পরিমাপের ফল হিসেবে পাওয়া যায়। আর এই ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হল |a_n|^2। তোমরা জানো যে সম্ভাবনার যোগ অর্থাৎ মোট সম্ভাবনা সবসময়ই 1। (7) নং সমীকরণ সেটাই প্রকাশ করে।

চল এবারে Psi(x, t) -তে কণার শক্তির এক্সপেকটেশন ভ্যালূ বা গড় মান নির্ণয় করা যাক। মনে আছে তো কিভাবে শক্তির গড় মান বের করতে হয়? আমাদেরকে হ্যামিল্টোনিয়ান অপারেটরের (H) এক্সপেকটেশন মান বের করতে হবে। অর্থাৎ,

\displaystyle\langle E\rangle = \int Psi(x, t)^* H Psi(x, t) mathrm{d}x

\displaystyle = \int (\sum_m a_m^* Psi_m(x)^* e^{iE_mt/\hbar}) H (\sum_n a_n Psi_n(x) e^{-iE_nt/\hbar}) mathrm{d}x

\displaystyle = \sum_n\sum_m a_m^*a_ne^{iE_mt/\hbar}e^{-iE_nt/\hbar}\int Psi_m(x)^* H Psi_n(x) mathrm{d}x   —— (9)

তোমরা জানো যে ইনফাইনাইট ওয়েলের ক্ষেত্রে সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ হল,

HPsi_n(x) = E_nPsi_n(x)

অতএব (9) নং সমীকরণকে সহজ করে লেখা যায়,

\displaystyle\langle E\rangle = \sum_n\sum_m a_m^*a_ne^{iE_mt/\hbar}e^{-iE_nt/\hbar} E_n \int Psi_m(x)^* Psi_n(x) mathrm{d}x

\displaystyle = \sum_n\sum_m a_m^*a_ne^{iE_mt/\hbar}e^{-iE_nt/\hbar} E_n delta_{mn} = \sum_n |a_n|^2 E_n —— (10)

যেহেতু E_n ও a_n রাশিগুলি সময়ের উপর নির্ভর করেনা, তাই Psi(x, t) -এর শক্তিও সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়না। অর্থাৎ কণাটির মোট শক্তি সংরক্ষিত থাকে। জেনারেল সমাধানের এই বৈশিষ্টগুলো শুধু যে কোয়ান্টাম ওয়েলের জন্যই প্রযোজ্য তা নয়, এগুলো যেকোন সিষ্টেমের ক্ষেত্রেই প্রয়োগ করা যেতে পারে (যেখানে পোটেনশিয়াল বা স্থিতিশক্তি সময়ের উপর নির্ভর করেনা)। ইনফাইনাইট কোয়ন্টাম ওয়েলের বিভিন্ন সমাধানগুলো কোয়ান্টাম মেকানিক্স শেখার জন্য একেবারে আদর্শ আদ্যস্থল। এসম্মন্ধে আরও অনেক কিছু এখনো জানার বাকি রয়ে গেছে বন্ধু।

আমাদের হীরক রাজা বলে গেছেন “জানার কোন শেষ নেই, জানার চেষ্টা বৃথা তাই”! তাহলে? বেশি জানতে গেলেই বেশি পড়তে হবে, চুল পেকে সব সাদা হবে। তার চেয়ে এমন কিছু জানা বা করা কি ভালো নয় যাতে সব দেখা, জানা ও খাওয়া একসাথে হয়ে যায়! বল তো কিসের কথা বলছি? আরে আমি গঞ্জিকার মহিমা কীর্ত্তণ করছি আর কি। “এক টানেতে যেমন তেমন, দুই টানেতে রুগি, তিন টানেতে রাজা উজির, চার টানেতে সুখি।…” গাঁজা দিতে এবং খেতে আর কার ভালো না লাগে বল? এই যে আমি কোয়ান্টাম ওয়েল নিয়ে লিখতে বসে মাঝে মধ্যেই একটু আধটু গে৺জিয়ে দিচ্ছি আর তোমরাও বেশ বাবু হয়ে বসে একমনে শুনে যাচ্ছো, সেটাই তো গাঁজার গ্রেটনেস প্রমাণ করে। তাই তো আমরা বাঙালীরা আদর করে গে৺জানোর ডাক নাম রেখেছি “ভাটানো”। এই গাঁজা দিয়ে আর খেয়ে যে কত শত সন্ন্যাসী তাদের জীবন নষ্ট করে ফেলেছে তার কোন ঠিক নেই। সূতরাং গে৺জানো বন্ধ করে আমি পরের পোষ্ট লিখতে বসি আর তোমরাও পড়ায় মন দাও। ভালো থেকো।

2 thoughts on “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান – আরও একটু”

  1. durdanto post.. R infinite potential well er general solution theke to position r momentum er expectation value bar kora jabe… Next post er oppekkay roilam..

    Reply

    1. অবশ্যই বের করা যাবে। পরবর্তি পোষ্ট তাড়াতাড়ি পাবে।

      Reply

Leave a Reply to sujoy Cancel reply

Your email address will not be published.