কোয়ান্টাম মেকানিক্স (Quantum Mechanics) – Page 3

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর

কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর সম্মন্ধে জ্ঞান পদার্থবিদ্যার চর্চা ও ব্যবহারিক প্রয়োগের জন্য অত্যন্ত প্রয়োজনীয়। নাম থেকেই বোঝা যায় যে কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর হল সরল দোলকের কোয়ান্টাম সংস্করণ। বস্তুর যেকোনো ধরনের গতি বা চলন, তা সে যতই জটিল হোক না কেন, সবসময়ই একাধিক সরল দোলগতির সমন্বয় হিসেবে প্রকাশ করা যায়। ফুরিয়ের ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে সেটা করা সম্ভব। তাই সরল দোলকের কোয়ান্টাম মেকানিকাল সমাধান কোয়ান্টাম পদার্থবিদ্যায় একটি বিশষ স্থান দখল করে। অজস্র ব্যবহারিক ক্ষেত্রে, যেমন কোয়ান্টাম ফিল্ড থিয়োরী, কনডেন্সড ম্যাটার ফিজিক্স ইত্যাদিতে এর প্রয়োগ হামেসাই হয়। এই পোস্টে আমরা সরল দোলক বা হারমোনিক অসিলেটরের কোয়ন্টাম মেকানিক্স নিয়ে আলোচনা করব। সরল দোলকের একটি খুব প্রচলিত দৃষ্টান্ত হল ভারহীন স্প্রীংয়ের এক মাথায় বাধা একটি বস্তু। যদি বস্তুটির ভর $m$ ও স্প্রীংয়ের বল ধ্রুবক বা force constant $k$ হয়, তবে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র প্রয়োগ করে তোমরা জানো যে Continue reading “কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর”

কমিউটেটর ও ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সূত্র (পরিবর্ধিত)

কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র আজ তোমাদের বলব। ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সূত্র বা সম্পর্ক (canonical com\mutation relation)। তোমরা হয়তো গণিতে কমিউটেশন কি সেটা জানো। তবুও এখানে সেটার একটু পুনরাবৃত্তি নেহাত অপ্রাসঙ্গিক হবেনা। ধর $a$ ও $b$ দুটি জটিল রাশি। এই দুটি রাশির পরষ্পরের সাথে গুণের একটি বৈশিষ্ট হল যে তা কমিউটেটিভ, অর্থাৎ,

$atimes b = btimes a$ ———– (1)

(1) নং সমীকরণকে অন্যরকম ভাষায় এরকম ভাবেও ব্যক্ত করা হয় – “গুণের ক্ষেত্রে $a$ , $b$ -এর সাথে কমিউট করে”। Continue reading “কমিউটেটর ও ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সূত্র (পরিবর্ধিত)”

স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট

এতদিনে তোমরা অবশ্যই জেনে গেছ যে স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনগুলি হল সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান। ওদের কিছু বৈশিষ্ট তোমাদের বলেও দিয়েছি। আজকের আলোচনার উদ্দেশ্য স্টেশনারি স্টেটগুলির সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্টগুলিকে একত্রিত করে সংক্ষেপে লেখা, যাতে কিনা যখনই প্রয়োজন পড়বে তখওনই চট করে ঝালিয়ে নেওয়া যায়। তোমাদের কারও যদি রান্না করার অভিজ্ঞতা থাকে তাহলে বুঝবে যে প্রয়োজনের সমস্ত জিনিস হাতের কাছে গুছিয়ে রাখার গুরুত্ব কতটা। নাহলে সেই রান্না করা খাবার ফ্রীতে দিলেও কেউ খাবেনা। পুরোটাই নর্দমার পেটে যাবে। অতএব $n$ তম স্থানু স্টেটের ওয়েভ ফাংশন লিখে চল শুরু করা যাক,

$\displaystylePsi_n(x,t) = Psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$ ———- (1) Continue reading “স্টেশনারি স্টেট বা স্থানু ওয়েভ ফাংশনের বৈশিষ্ট”

ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন – একটি উদাহরণ

তোমরা দেখেছো যে ষ্টেশনারি স্টেটগুলোকে মিশিয়ে আমরা ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর জেনারেল সমাধান লিখতে পারি। মনে কর ইনফাইনাইট ওয়েলে অবস্থিত কোন কণার প্রারম্ভিক ( $t=0$ ) ওয়েভ ফাংশন ওই ওয়েলের $m$ ও $n$ তম লেভেলের স্থানু বা ষ্টেশনারি স্টেটের সংমিশ্রণ। অর্থাৎ,

$\displaystylePsi(x, 0) = A\left[Psi_n(x) + Psi_m(x)\right]$ ———– (1)

যেখানে $A$ হল নর্মালাইজেশন ধ্রুবক। আমাদের আজকের আলোচনার বিষয়বস্তু হল উপরোক্ত প্রারম্ভিক ওয়েভ ফাংশন সময়ের সাথে কিভাবে পরিবর্তিত হয় সেটা দেখা এবং তার থেকে কণাটির অবস্থান ( $x$ ), রৈখিক ভরবেগ ( $p$ ) ও শক্তির গড় মান বা এক্সপেকটেশন মান নির্ণয় করা। Continue reading “ইনফাইনাইট ওয়েলের সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন – একটি উদাহরণ”

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান – আরও একটু

এক ঝলকে একটু দেখা, আরও একটু বেশি হলে ক্ষতি কি? যদি কাটেই জীবন ফিজিক্স পড়ে, আরও একটু বেশি জেনে, ক্ষতি কি? তাই আজ আমরা কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধানটিকে নিয়ে আরও একটু নাড়াচাড়া করবো, আরও একটু বেশি জানবো। যেমন জেনারেল সমাধানের ধ্রুবকগুলির তাৎপর্য কি, ওগুলোর বৈশিষ্টই বা কি ইত্যাদি। তাহলে চটপট জেনারেল সমাধানটিকে লিখে ফেল,

$Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar}$

যেখানে $Psi_n(x)$ হল $n$ -তম লেভেলের স্থানু ওয়েভ ফাংশন যাতে কণার শক্তি $E_n$ । আশাকরি তোমাদের মনে আছে যে ওয়েভ ফাংশনকে সবসময়ই নর্মালাইজড থাকতে হবে (মনে কর কেন?)। সুতরাং, Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান – আরও একটু”

ফুরিয়ের সিরিজ ও ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন

এর আগেরদিন আমরা ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন কিভাবে সময়ের উপর নির্ভর করে সেটা দেখেছি। আজ একটি উদাহরণ দিয়ে দেখানোর চেষ্টা করব কিভাবে ফুরিয়ের সিরিজ ব্যবহার করে কোয়ান্টাম ওয়েলের জেনারেল সমাধান কোন প্রদত্ত প্রারম্ভিক শর্ত বা initial condition -এর সাথে মেলানো যায়। তার জন্য চল প্রথমেই জেনারেল সমাধানটি লেখা যাক,

$Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x).mathrm{exp}\left(-iE_nt/\hbar\right)$ —- (1)

বা, $Psi(x, t) = \displaystyle\sum_n a_nPsi_n(x, t)$ —— (2) Continue reading “ফুরিয়ের সিরিজ ও ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন”

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল – সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন

তোমাদের নিশ্চয় মনে আছে যে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ মূলত একটি সময় নির্ভর সমীকরণ। সুতরাং তার সমাধানও সময়ের উপর নির্ভর করবে সেটাই স্বাভাবিক। যেহেতু ইনফাইনাইট ওয়েলের পোটেনশিয়াল বা স্থিতিশক্তি সময়ের উপর নির্ভর করেনা তাই আমরা শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সমাধান ওয়েভ ফাংশনকে টেম্পোরাল (temporal – সময়ের উপর নির্ভরশীল) ও স্পেশিয়াল (spatial – স্পেস বা স্থানের উপর নির্ভরশীল) পার্টে আলাদা করে নিতে পেরেছি। তার মানে কিন্তু এটা নয় যে ইনফাইনাইট ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন সময় অনির্ভর! আজকের পোষ্টে আমরা দেখব কিভাবে ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের সময় অনির্ভর ওয়েভ ফাংশন থেকে সময় নির্ভরশীল ওয়েভ ফাংশন লেখা যায়। তোমরা জানো যে, যদি কোয়ান্টাম ওয়েলের কোন লেভেল বা স্টেটের প্ৰিন্সীপল কোয়ান্টাম নম্বর n হয়, তবে সেই লেভেলের স্টেশনারী ওয়েভ ফাংশন ( $Psi_n(x)$ ) ও শক্তি ( $E_n$ ) হল যথাক্রমে, Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল – সময় নির্ভর ওয়েভ ফাংশন”

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন – আরও কিছু কথা

ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েল বা কূপের সম্মন্ধে কিছু মজার কথা আগের পোষ্টে তোমরা জেনেছো; আজ আরও কিছু কথা আজ তোমাদের বলব। ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ক্ষেত্রে সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান হল

$Psi_n(x) = sqrt{\frac{2}{L}}mathrm{sin}(npi x/L)$

যেখানে $L$ হল কূপের প্রস্থ (width)। যেহেতু ওয়েভ ফাংশন n-এর মানের উপর নির্ভর করে এবং বিভিন্ন n-এর মানের জন্য আলাদা আলাদা ওয়েভ ফাংশন পাওয়া যাবে, তাই ওয়েভ ফাংশনটিকে $Psi_n(x)$ হিসেবে লেখা হয়েছে। নিচের ছবিটিতে n এর কয়েকটি মানের জন্য ওয়েভ ফাংশন দেখতে কেমন হবে তা একে দেখানো হয়েছে। Continue reading “ইনফাইনাইট কোয়ান্টাম ওয়েলের ওয়েভ ফাংশন – আরও কিছু কথা”

কোয়ান্টাম অপারেটর, সহজ করে

আজকের বিষয়বস্তু খুব ছোট্ট। এদ্দিনে তোমরা “অপারেটর” – এই শব্দটা অনেকবার শুনেছো; অনেকে হয়তো ওটার মানে খুব ভালো করে বুঝেও গেছো। আমাদের আজকের আলোচনা শুধু সেইসব বন্ধুদের জন্য যাদের এখনো পর্যন্ত শব্দটা শুনলে মাথায় ঠিক “ঘন্টা” বাজেনা। বন্ধুগণ, চিন্তার কোনো কারণ নেই! কথায় আছেনা – “একবারে না পারিলে কর শতবার”। তাই আমি চেষ্টা করব আরো একটু সহজ করে এই অপারেটর শব্দটা তোমাদের মস্তিষ্কে প্রবেশ করানোর। আশাকরি তোমাদের মাথার খূলি আমার মত এত মোটা নয় যে আঠারোবার চেষ্টা করে তারপর সফল হতে হবে! আমার বিশ্বাস তোমরা একবারেই শিখে যাবে। Continue reading “কোয়ান্টাম অপারেটর, সহজ করে”

টাইম ইনডিপেনডেন্ট শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ

এর আগের পোষ্টে আমরা সময় নির্ভর শ্রোডিঙ্গারের সমীকরনের সাথে পরিচিত হয়েছি, যা সময় ( $t$ ) ও স্থান ( $x$ ) – উভয়ের উপরেই নির্ভর করে। কিন্তু বাস্তবে কিছু ক্ষেত্রে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণকে স্থান ও কালে (space and time coordinates) আলাদা করে নেওয়া সম্ভব; এই সব ক্ষেত্রে ওয়েভ ফাংশন নির্ণয়ের জন্য একটা অপেক্ষাকৃত সহজ সমীকরনের সাহায্য নেওয়া হয়, যা টাইম ইনডিপেনডেন্ট শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ নামে পরিচিত। ঠিক কোন কোন অবস্থায় এইরকম সময় অনির্ভর শ্রোডিঙ্গার ইক্যুয়েশন ব্যবহার করা যায় আমরা এবারে সেটাই দেখব। সময় নির্ভর একমাত্রিক শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণটি লিখে আমি আজকের আলোচনা শুরু করছি।

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}Psi(x,t) + VPsi(x,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}Psi(x,t)$ ——————– (1) Continue reading “টাইম ইনডিপেনডেন্ট শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ”