ডিরাকের সমীকরণ – গামা মেট্রিক্সসমূহ

এর আগের পোস্টের সাথে ধারাবহিকতা রক্ষার জন্য আমরা ডিরাকের সমীকরণ লিখেই আলোচনা শুরু করব।

\displaystyle \left (i\hbar\gamma^{\mu}\partial_{\mu} -mc\right)\psi = 0

আজকের বিষয়বস্তু হল উপরোক্ত সমীকরণে অবস্থিত ntimes n মাত্রার \gamma মেট্রিক্সগুলো ও তাদের ধর্ম বা বৈশিষ্ট। এর আগের পোস্টে দেখিয়েছি যে ওই মেট্রিক্সগুলো নিন্মলিখিত সম্পর্ক মেনে চলেঃ Continue reading “ডিরাকের সমীকরণ – গামা মেট্রিক্সসমূহ”

ডিরাকের সমীকরণ – আহরণ

এর আগের পোস্টের আলোচনা থেকে পরিষ্কার যে ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ রিলেটিভিস্টিক কণা যেমন ইলেক্ট্রন, প্রোটন ইত্যাদি, যাদের প্রবাবিলিটির ঘনত্ব ধনাত্মক, তাদের সঠিক কোয়ান্টাম মেকানিস্ক হতে পারেনা। আমরা দেখেছি যে ওই সমস্ত কণার সঠিক রিলেটিভিস্টিক সমীকরণে সময় ও স্থান উভয়ের সাপেক্ষেই ওয়েভ ফাংশনের ডেরিভেটিভ প্রথম ক্রমের হতে হবে। সেরকম একটি সমীকরণ বের করার জন্য ডিরাক একটি চমৎকার পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন। তিনি রিলেটিভিস্টিক শক্তির সমীকরণ E^2 -p^2c^2 -m^2c^4=0 এর বামপাশের রাশিমালাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেন যাতে যে উৎপাদক দুটি পাওয়া যায় তাদের প্রত্যেকের মধ্যে E ও p একঘাত বিশিষ্ট হয়। তাহলে তাদের অপারেটর ব্যবহার করে যে সমীকরণ পাওয়া যাবে সেটাতেও সময় ও স্থান উভয়েরই প্রথম ডেরিভেটিভ থাকবে। চল ব্যাপারটিকে প্রত্যক্ষ্য করা যাক। Continue reading “ডিরাকের সমীকরণ – আহরণ”

রিলেটিভিস্টিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স

শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ হল নন-রিলেটিভিস্টিক কণার কোয়ান্টাম মেকানিক্স যা কেবল সেই সকল ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য যখন কোন কণা বা কণাসমষ্টির গতিবেগ আলোর বেগের চেয়ে অনেক কম হয়। এটা শুনে মনে যদি প্রশ্ন ওঠে, তবে একটু ভাবার চেষ্টা কর। তোমাদের নিশ্চয়ই মনে আছে যে m ভরের কোন কণার শক্তি ও ভরবেগ যদি যথাক্রমে E ও p হয় তবে E = p^2/2m + V, (V হল স্থিতিশক্তি) । এই সমীকরণ অপারেটরের মাধ্যমে লিখে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ পাওয়া যায়। আর এই সমীকরণ যে মূলত নিউটনের নন-রিলেটিভিস্টিক মেকানিক্স থেকেই আসে সেটা বলাই বাহুল্য। এছাড়াও শ্রোডিঙ্গার সমীকরণে স্থানের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভসমূহ দ্বিতীয় ক্রমের এবং সময় সংক্রান্ত ডেরিভেটিভ প্রথম ক্রমের। Continue reading “রিলেটিভিস্টিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স”

প্রশ্নোত্তরঃ আরও কিছু

১) বোর পরমাণু মডেল থেকে আমরা জানি ইলেক্ট্রনগুলো নির্দিষ্ট কক্ষপথে নিউক্লিয়াসের চারপাশে ঘুরছে। বোরের এই কক্ষপথের অস্তিত্ব কি সত্যিই আছে?

উঃ বোরের মডেল পরমাণুর কিছু বৈশিষ্ট ব্যাখ্যা করতে পারে। এই মডেলে সৌরজগতের গ্রহদের মত ইলেকট্রনগুলিও পরমাণুর কেন্দ্রকে নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের কক্ষপথে নির্দিষ্ট ভরবেগ সহ প্রদক্ষিণ করছে। কিন্তু হাইজেনবার্গের নীতি থেকে জানা যায় যে ইলেকট্রনের অবস্থান ও ভরবেগ একসাথে নির্ভুলভাবে নির্ণয় করা সম্ভব নয়; অথচ বোরের কক্ষপথে তো সেটাই করা হয়েছে! প্রকৃতপক্ষে বোরের মডেল হল মোটামুটি ভাবে ঠিক। আধুনিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স অনুসারে পরমাণুর কেন্দ্রের চারধারে ইলেকট্রনগুলি মেঘের (electron cloud) মত অবস্থান করে, Continue reading “প্রশ্নোত্তরঃ আরও কিছু”

প্রশ্নোত্তরঃ বিবিধ

১) আলো যদি তড়িৎ-চুম্বকিয় তরঙ্গ হয় তাহলে তড়িৎ বা চৌম্বক ক্ষেত্র প্রয়োগে কেন এর দিক পরিবর্তিত হয়না?

উঃ আলো তড়িৎ-চুম্বকিয় তরঙ্গ, এই কথাটার মানে হল যে আলো মূলত দোদুল্যমান তড়িৎ ও চুম্বকক্ষেত্র যা শূন্যে প্রায় 3times10^8 m/s গতিতে চলে। কিন্তু আলোর (বা ফোটনের) কোন আধান নেই। আর যেহেতু আধান নেই তাই তা শূন্যস্থানে তড়িৎ বা চুম্বক কোন ক্ষেত্রের দ্বারাই প্রভাবিত হয়না। তবে হ্যাঁ, কিছু কিছু পদার্থের মধ্যে তড়িৎ বা চুম্বক ক্ষেত্রের প্রভাবে আলোর পোলারাইজেশনের পরিবর্তন হয় (Kerr এফেক্ট ও ফ্যারাডে এফেক্ট), তবে সেটা সরাসরি আলোর সাথে তড়িৎ বা চুম্বক ক্ষেত্রের ক্রিয়া-প্রতিক্রিয়ার ফলে হয় না। তড়িৎ বা চুম্বক ক্ষেত্রের প্রভাবে ওই পদার্থসমূহের ধর্মের পরিবর্তন হবার ফলেই তার মধ্যে দিয়ে অতিক্রান্ত আলোর পোলারাইজেশনের পরিবর্তন ঘটে। Continue reading “প্রশ্নোত্তরঃ বিবিধ”

প্রশ্নোত্তরঃ পাঠক বন্ধুর করা বিবিধ প্রশ্নের উত্তর

এই পোস্টে এক পাঠক বন্ধুর করা কয়েকটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হল। প্রশ্নগুলি বিবিধ বিষয়ের।

১) সীরিজ বর্তনীর মধ্যে দিয়ে তড়িৎ প্রবাহ সমান ও সমান্তরাল বর্তনীর দুই প্রান্তের বিভব পার্থক্য সমান কেন?

উঃ- যেহেতু তড়িৎ আধান একটি সংরক্ষিত রাশি, অর্থাৎ আধান সৃষ্টি বা ক্ষয় করা সম্ভব নয় তাই বর্তনীর কোন অংশে (যদি বর্তনীতে কেবল রোধ থাকে) যে পরিমান তড়িৎ প্রবাহ বা কারেন্ট ঢুকবে ঠিক সেই পরিমানই বাইরে বেরিয়ে যাবে। কারণ কারেন্ট বা তড়িৎ প্রবাহ মূলত আধানের প্রবাহ ভিন্ন আর কিছুই নয়। Continue reading “প্রশ্নোত্তরঃ পাঠক বন্ধুর করা বিবিধ প্রশ্নের উত্তর”

প্রশ্নোত্তরঃ ল্যাগরেঞ্জিয়ান ও ন্যুনতম অ্যাকশন নীতি

পদার্থবিদ্যায় ল্যাগরেঞ্জিয়ান ও ন্যুনতম অ্যাকশ নীতি (principle of least action) অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। কোন সিস্টেম স্থান ও কালে কিভাবে পরিবর্তিত হবে সেটা ন্যুনতম অ্যাকশ নীতি ব্যবহার করে খুব সুন্দরভাবে ব্যাখ্যা করা সম্ভব। ক্লাসিক্যাল ও কোয়ান্টাম মেকানিক্স, ফিল্ড তত্ত্ব ইত্যাদি সর্বত্রই এর বহুল ব্যবহার প্রচলিত। বাঙালীদের কাছে ভাত মাছের যে গুরুত্ব, পদার্থবিদের কাছে ন্যুনতম অ্যাকশ নীতি ও ল্যাজরেঞ্জিয়ান সেই একই গুরুত্বময়। তবে এই দুটো জিনিস স্পষ্টভাবে বুঝতে হলে ভ্যারিয়েশনাল ক্যালকুলাস নামে গণিতের একটি বিষয় সম্মন্ধে প্রথমে কিছুটা জানতে হবে। Continue reading “প্রশ্নোত্তরঃ ল্যাগরেঞ্জিয়ান ও ন্যুনতম অ্যাকশন নীতি”

প্রশ্নোত্তরঃ তিনটি ভেক্টর A, B ও C এর জন্য A.(BxC) শূন্য হলে কেন বলা হয় যে ওরা একই সমতলে অবস্থিত?

তিনটি ভেক্টর {\bf a, b , c} এর জন্য {\bf a.(btimes c)} প্রকৃতপক্ষে একটি আয়তঘনকের (parallelopiped) আয়তন প্রকাশ করে যার প্রত্যেকটি তল একটি করে সামন্তরিক এবং {\bf a, b , c} ভেক্টর তিনটি ওই আয়তঘনকের একই শীর্ষবিন্দুর মধ্যগামী তিনটি বাহু। যদি {\bf a.(btimes c)}=0 হয় তবে স্বভাবতই ওই আয়তঘনকের আয়তনও শূন্য। আর এটা হতে পারে কেবল যদি তিনটি বাহু {\bf a, b , c} একই সমতলে অবস্থান করে যাতে ওদের দিয়ে কোন আয়তঘনক তৈরি করাই সম্ভব নয়। Continue reading “প্রশ্নোত্তরঃ তিনটি ভেক্টর A, B ও C এর জন্য A.(BxC) শূন্য হলে কেন বলা হয় যে ওরা একই সমতলে অবস্থিত?”

তড়িৎচুম্বকিয় ক্ষেত্রের লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ

ফিল্ড টেন্সরের মাধ্যমে কিভাবে ম্যাক্সওয়েলের তড়িৎচুম্বকিয় সমীকরণগুলিকে ব্যক্ত করা যায় তা আমরা দেখেছি। তড়িৎ ও চুম্বকক্ষেত্র যে মূলত ফিল্ড টেন্সরের উপাদানমাত্র সেটাও প্রতিপন্ন হয়েছে। এবারে আমাদের উদ্দেশ্য লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণের মাধ্যমে এক ইনার্শিয়াল ফ্রেম থেকে অপর ফ্রেমে গেলে কিভাবে তড়িৎ ও চুম্বক ক্ষেত্র পরিবর্তিত হয় সেটা জানা। সত্যি কথা বলতে গেলে টেন্সরের রূপান্তরণের সূত্র ব্যবহার করে এটা সহজেই বের করে ফেলা যায়। ধর O (x^{\mu}) ফ্রেমের সাপেক্ষে O' (x'^{\mu}) ফ্রেম {\bf v} বেগে গতিশীল। ওই দুটি ফ্রেমে যদি ফিল্ড টেন্সর যথাক্রমে F^{\mu \nu} এবং F'^{\mu \nu} হয় তবে, Continue reading “তড়িৎচুম্বকিয় ক্ষেত্রের লোরেন্‍ৎস রূপান্তরণ”

প্রশ্নোত্তরঃ শক্তিশালী মহাকর্ষ বলের প্রভাবে কি বস্তুর ভর পরিবর্তিত হয়?

পাঠক বন্ধুর প্রশ্নের উত্তরঃ বিষয়টি বিতর্কিত। এখওনো পর্যন্ত মূলধারার পদার্থবিদ্যায় ভরকে একটি অপরিবর্তনশীল রাশি বলেই গন্য করা হয়। কিন্তু গতবছর এক চাইনীজ গবেষক একটি বিজ্ঞান বিষয়ক পত্রিকাতে প্রবন্ধ লিখে দাবী করেন যে শক্তিশালী মহাকর্ষ বলের ক্ষেত্রে বস্তুর ভর পরিবর্তিত হয়। তার দাবী এখনো পর্যন্ত একটা প্রকল্প বা হাইপোথেসীসের (অনুমান) পর্যায়েই আছে। ওই ভদ্রলোকের বক্তব্য অনুসারে যদি কোন বস্তুর ভর (ওজন নয়) মহাকর্ষ শূন্য স্থানে m_0 এবং মহাকর্ষযুক্ত স্থানে m হয় তবে, Continue reading “প্রশ্নোত্তরঃ শক্তিশালী মহাকর্ষ বলের প্রভাবে কি বস্তুর ভর পরিবর্তিত হয়?”